第四章 三角恒等变换 章末总结课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

章末总结 第四章 三角恒等变换 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 知识框图 03 01 02 专题归纳 命题点分析 知识框图 01 4 专题归纳 02 专题1 三角函数最值的常见求法 三角函数的最值是函数最值问题的重要组成部分，也是历年高考命题的重点.三角函 数的最值问题，不仅可以考查三角函数自身的基础知识，也可以与一次函数、二次 函数、不等式等重要知识进行综合考查,解题方法灵活多变，下面我们来探讨三角函 数最值的常见求法. 6 1 一次函数模型 对于,型的函数，显然此时 ， ，利用一次函数的单调性便可以得到所求函数的最值. 例1 求函数 的最值. 【解析】 . ，（三角函数有界性的应用） 当时， ; 当时， . . . 7 2 二次函数模型 对于 ，我们可以采用换元法转化为二次函数来 求解.事实上，令，则 ，显然原函数可化为二次函 数，问题转化为求二次函数在某一区间上的最值.注意的取值应与 的取 值保持一致. 例2 若，求函数的最值及取得最值时相应的 的值. 8 【解析】 ，令 ，（在利用换元法解决问题时，要特别注意新元的取值范围）则 . ,则 ， .（在此求出新元的取值范围） 从而原函数可化为 ， 则问题转化为求关于的二次函数在区间 上的最值. 显然，由二次函数的性质可知,当，即 时，函数取得 最小值 ； 当，即时，函数取得最大值 . . . . . 9 当与 同时存在于一个式子里时，我们经常用上面的方法来得到 二次函数，从而求得最值.注意设时， 是有范围限制的，这是很多 同学容易忽略的，必须重视. 10 3 化为某个角的一种三角函数的一次式 对于三角函数，我们研究其性质一般是化为或 的形式，然后利用正、余弦函数的性质研究.我们采用的方法有：①对于 型的函数，利用公式 其中, ；②对于 型的函数，利用降幂公式，将高次的式子转化 为低次的；③对于 型的函数，利用和差化积公式来解 决；④对于 型的函数，利用积化和差公式来解决. 11 例3 已知函数 . （1）求 的最小正周期和最小值; 【解析】 , 因此的最小正周期为 ,最小值为 . 12 （2）将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函 数的图象.当,时，求 的值域. 【解析】由条件可知, . 当,时，有，从而函数的值域为, ，则函数 的值域为, . 故在区间,上的值域是, . 13 4 利用有界性求最值 对于形如 的函数，我们可以反解，然后利用三角函数的有界性得到最值. 例4 求函数 的最大值. 14 【解析】将原式整理可得， ， 所以其中， ， 故 . 由，可得 . 下面验证等号可以取到： 当,即时,可取，令 ，则 成立. 故时，函数有最大值, . 15 专题2 利用互余关系巧解一类三角函数题 近几年的高考由于淡化了三角变换的人为技巧，因此对互余角的变换的考查便放在 了比较显著的位置，而恰到好处地利用角的互余关系常常能使我们的思路豁然开朗. 鉴于此，对于此类问题有关方法的探究就显得十分必要.互余关系有隐性与显性两种， 从高考试题来看，考查方式主要集中在三角求值与三角函数的性质上，下面举例加 以说明. 16 1 显性的互余关系 这类问题中角的互余关系比较明显，解决这类问题只需将角满足互余关系的函数换 名即可，积累一些常见互余关系的角能使我们的解题事半功倍.如 与 ； 与 等. 17 例5 若（ ），则（ ） ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知， ， 又 ，且 ， 则 ， 即 . 18 例6 (2025·四川省泸县第二中学期末)函数 是( ) A A.周期为 的奇函数 B.周期为 的偶函数 C.周期为 的奇函数 D.周期为 的偶函数 【解析】因为，所以 ， 所以 ]= ,所以函数是周期为 的奇函数. 19 2 隐性的互余关系 这类问题中角的互余关系不是很明显，需要结合条件和结论中函数名和角的关系去发现. 例7 已知,,,,则 的值为 ___. 思路点拨 本题如果直接求出 ， ,则比较烦琐；如果从整体上考虑，化 繁为简，则事半功倍.若能注意到 ,将会为我们解决问 题打开突破口.这里发现 是解题的关键，这也是我们 所说的隐性的互余关系. 20 【解析】， ， ， ， ， ， ， ， . 21 在三角变换中，要注意已知角与待求式中的角之间的关系，以确定角的变换方式.本 题的难点很多，首先是要发现 这一关系;其次，在解 题过程中还要时刻注意着角的范围这一隐含条件，如由 ,得到 等.这些都是成功解题不可或缺的.值得提及的是角的另外一些常见的 互余变换方式，如， . 22 一题一课·学一题会一类 一题看尽解三角形最值或范围问题 例8 在中，,,分别为三个内角,, 的对边，且满足 . （1）若，，求 的面积. 【解析】由,,得, . 由正弦定理得,解得 , . 23 （2）若，求 的面积的最大值. 【解析】由余弦定理得 , ,当且仅当时取等号， , 故面积的最大值为 . （3）若，求 的周长的最大值. 【解析】由余弦定理得, ,即 ,即,当且仅当 时等号成立，则 . 的周长为，故 周长的最大值为6. 24 （4）若,求 的最大值. 【解析】 , , , ,即, , 故的最大值为 . 25 （5）若为锐角三角形，求 的范围. 【解析】 , 为锐角三角形， , 又 , , , ,即, . 26 （6）若，求 的最大值. 【解析】由正弦定理得， , , . （由（5）可知， ,代 入即可） ， 其中 . 故的最大值为 . . . 27 说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景，在本章 节题型4中的 例20我们已经详细讲解过（得出 ），由题干及第（1）问我们可以发现在解三 角形的过程中，往往需要已知三个条件才能得出一个定值（如面积能直接求解出 来），若是只给出了两个已知条件，则会产生最值或取值范围问题，我们不妨研究 一下，借此体会数学问题中一题多变的奥秘. 28 学思维知创新 例9 新定义 友好角 (2025·北京市清华大学附属中学测试)若 ，则称 为 的“友好角”.已知 为锐角，则 在, 内的“友好角”的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 29 【解析】由 ， 可得 ， 则有 ， 所以 .（倍角公式的应用） 因为 为锐角，所以也为锐角，所以 ， 所以 ①. 又 ， 当或 ，即或 时， ，则①式成立，满足题意； 当且 ，即或 时， ， 30 则由①可得， ， 因为,, 均不等于零， 所以，所以 ， 因为，所以 ， 所以，即 . 综上，, , ，共有3个取值. 例10 新定义 切比雪夫多项式 [多选题] (2025·山东省A9联盟开学考试)由倍角公式 可知，可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一 个次多项式 ，使得 ，这种多项式 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项 式的方法可得( ) ABD A. B. C. D. 32 【解析】对于A， . 由切比雪夫多项式可知， ， 即 ， 令,可知 ，故A正确. 对于B， ． 由切比雪夫多项式可知， ， 即 ， 33 令,可知 ，故B正确. 对于D，因为 ， ，由 ,可得 ， ． 又 ，所以 ， 所以 ． 令，可知 ， 展开即得 ， 所以，解得 . 因为，所以 ， 所以 ， 所以 ，故D正确. 对于C，假设，因为 ， ，所以假设不正确，故C错误． 故选 ． 命题点分析 03 命题点1 三角恒等变换 例11 (2025·北京大学强基计划)若 , 是 的两解，且 ，求 . 37 【解析】因为, ， 所以两式作差可得， ,（和差化积公式的运用） 即， ， 所以或 ， 即或 . 当时， ， ， 与 矛盾，舍去； 当时， . 故 . 38 例12 (2025·山东大学强基计划)已知,，， ， 求 的值. 【解析】 ①， ②， 由得 ， 化简得 . 由 得 ， 即 ， 所以 . 39 例13 (2024·全国高中数学联赛A卷一试)在 中，已知 ，求 的值. 40 【解析】由条件知， ， 则或 ，即或 . 假设，则，则，但 ，相互矛盾， 因此只能是，由，可得 ，所以 ， ， 所以 ， 又，所以化简得 ， 解得 . 41 命题点2 三角恒等变换与解三角形的综合 例14 (2025·山东大学强基计划)在中，， ，最长边的边长为 1，求最短边的边长. 【解析】记中，，，所对的边分别为,, .由 ,得 ， 所以（大角对大边），因为,所以，即 是最短边. 由， ， 解得 ， 由正弦定理得,即 , 解得,即最短边的边长为 . . . . . . . 42 例15 (2022 ·全国高中数学联赛重庆市初赛选拔)已知，，分别为三个内角 ， ，的对边，，且，若为 的中点， 求 长的最小值. 43 【解析】由正弦定理可知 即为. 再由和差化积公式可知 ，即 ， 再由积化和差公式可知 ，即，即，则 ， 此时 ， 44 再由余弦定理和基本不等式可知 ， 即 ， 此时，所以 , 当且仅当 时，等号成立. 故长的最小值为 . 谢谢观看 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 46 $