4.1同角三角函数的基本关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

1 同角三角函数的基本关系 第四章 三角恒等变换 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 必备知识解读 知识点1 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系与商数关系 基本关系式 语言描述 平方关 系 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关 系 当时,同一个角 的正弦和余弦的商等 于角 的正切. 6 特别提醒 (1) 是的简写,读作 的平方,不能将 写成 ,前者是角 的正弦的平方,后者是角 的平方的正弦. (2)同角三角函数的基本关系中的角都是“同一个角”,而 1不一定 成立.“同角”与角的表示形式无关,如成立,这里的同角是指 . . . 7 2 基本关系式的变形公式 (函数值的正负由角 终边所处的 象限决定) 8 典例详解 例1-1 (2025 江苏省南通市月考)若锐角 满足,则 _. 【解析】因为,所以,又 为锐角,所以 . 例1-2 [教材改编P148 T1(2)] 已知 是第二象限角,且,则 _. 【解析】因为 是第二象限角, 所以 , 则 . 9 例1-3 化简下列各式: (1) ; 【解析】原式 . (2) ; 【解析】原式 . (3) . 【解析】原式 , . 10 重难拓展 知识点2 同角三角函数的基本关系的关联恒等式 教材深挖 从教材第149页【例6】可以看出,就是 的一个变形.事实上,利用同角三角函数的基本关系可以推导出更多的恒等式. (1); ; ; . (2) ; ; ; . 11 (3) ; ; ; . 说明 利用平方差公式 、立方和公式 、立方差公式 降幂、 变形,再结合 化简. (4) ; ; . 说明 变形的关键是利用分子分母的齐次结构,通过各项同除,再利用 整体消元. “利用等量关系消元”“对等式进行代数运算”这些代数变形的方法技巧,同样也 适用于三角关系式的变换.#1.5 典例详解 例2-4 [教材改编P151 T1] 已知 ,则 的值为_. 【解析】由已知得 , 解得 . 14 例2-5 (2025 江西省全南中学期末)已知, ,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】,解得 , 故 , 且 , , , ,故 . 15 例2-6 [教材改编P150 T4(2)] 已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】, . 16 题型解析 03 题型1 利用同角三角函数的基本关系求值 1 已知某个三角函数值,求其余三角函数值 例7 [教材改编P148 T1] (1)已知,求 和 . 18 【解析】, 是第一或第二象限角.(注意角 是第几象限角不确 定,需要进行分类讨论) 当 是第一象限角时, , 求 需要知道 的值,因此应先用平方关系求 ,再求 ; 当 是第二象限角时, , . . . . . 19 (2)已知,,求 和 . 【解析】由解得 , ,, , .(注意到角 的正切值为正,可缩小角 范围,判断出角 的余弦 值为负.求解此类题时一定要注意隐含条件的使用,避免增解) . . . . . 20 名师点评 当已知某个三角函数值时,可以借助直角三角形求其余三角函数值的绝对 值,再根据具体条件考虑符号.例如,例7第(1)小题,构造直角三角形,一条直角 边长为5,斜边长为13,根据勾股定理可得另一条直角边长为12,故 ,因 为题目的条件没有给出角 的范围,所以要讨论 的正负. 21 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限; 第二步:依据角的终边所在象限进行分类讨论; 第三步:利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式,求出其余三角函数值. 注意:熟记下面几组“勾股数”,有时可快速解决这类问题:, , ,,,,,,1,7,5 . 22 【变式题】 1.[多选题] (2025 山东省济宁市第一中学月考)已知, ,则下列 结论正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】因为,,所以 , 所以, , 则, , 则.故选 . 23 2 齐次式的求值问题 母题 致经典 母题探究 例8 [教材改编P150 T4] 已知 ,则 (1) _; 【解析】注意到分式的分子和分母均是关于 , 的一次齐次式,(只有分子, 分母为正余弦的齐次式时,才可化弦为切进行求值计算)由题意得 , 所以可将分子分母同时除以 ,然后整体代入 的值, . . . 24 (2) _; 【解析】注意到分式的分子和分母均是关于 , 的二次齐次式, 因为,所以分子分母可同时除以 , 则 . 25 (3) _. 1 【解析】似乎跟前两题没什么联系,但若能注意到 , 则有 , 这样便使得分子分母均为二次齐次式. 同(2)有 . 26 子题 子题1 设,且,则 的值 是( ) C A. B.2 C. 或2 D.不存在 27 【解析】 , , 即,化简得 , , , 即,解得或 . 28 子题2 已知,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为,所以 . 29 齐次式求值的基本方法 (1)形如的分式,可将分子、分母同时除以 ; 一次齐次式除以 形如的分式,可将分子、分母同时除以 ,将正、余弦 转化为正切,从而求值.二次齐次式除以 (2)形如 的式子,可将其看成分母为1的分式,再将 分母1变形为 ,转化为形如 的分式求解. 30 【变式题】 2.(2025 江西省南丰一中期末)若,则 ( ) C A. B. C. D. 31 【解析】 (求值代入法) 因为,所以角 的终边在第二、四象 限,(根据正切值的正负,确定角 可能所在的象限) 所以或 (弦化切法) 因为,所以 . 所以 . 32 3 利用 与 之间的关系求值 例9 新考法 开放创新 [教材改编P148例4] 从已知条件 ,且 可以得到以下结论: (1)_; (2)_; (3)_. 33 【解析】本题的结论是开放的.由 可以得出的结论是多样的,为此需 明确方向.从同角三角函数的基本关系入手. 因为,所以 , 即 , 所以得 ①; 注意到 , 因此 ②; 由,且可知, , 34 从而 ③; 可将③式与条件联立得, ④; 由④式可得 ⑤,等等. 从①②③④⑤中选择任意三个填上即可. 名师点评 求三角函数值的时候,通常是利用同角三角函数的基本关系和已知条件把 问题归结为解正弦(或余弦)函数值的一个一元二次方程,或者解正弦函数值和余 弦函数值的二元方程组. 利用 与 之间的关系求值的“三剑客” 由 , ,可知:如 果已知 , , 三个式子中任何一个的值,就可以利 用平方关系求出其余的两个.因此,我们常称 , , 为三角“三剑客”. 图4-1-1 注意: 的符号的判定方法: 由三角函数的定义知,当 的终边落在直 线上时, ,即 ;当 的终边落在直线 的上半平面区域内时, ,即;当 36 的终边落在直线的下半平面区域内时,, 即 .如图 4-1-1(1)所示. 的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当 的终边落在直线 上时,,即;当 的终边落在直线 的 上半平面区域内时, ,即;当 的终边落在直线 的下半平面区域内时, ,即 .如图4-1-1(2) 所示. 【变式题】 3.(2025 黑龙江省大庆中学期末)已知 . (1)求 的值; 【答案】由,两边平方得 ,则 . 38 (2)若 ,求 的值. 【答案】 , 由 , 得 , ,,,则 , 即 . 39 题型2 三角函数式的化简 1 根式型化简 例10 化简: (1),其中 是第二象限角; 【解析】因为 是第二象限角,所以, . 故 . 40 (2) ; 【解析】因为 ,所以 . 原式 . (3) . 【解析】 ,,所以,0, . 41 2 高次型化简 例11 化简: (1) ; 【解析】原式 利用 分解因式.注意 . (2) . 【解析】原式 . . . 42 三角函数式的化简思路 1.化简原则: 三角函数式的化简就是代数式的恒等变形,使结果尽可能简单,也就是项数尽可能少, 次数尽可能低,函数种类尽可能少,式子中尽量不含根号,能求值的一定要求值. 43 2.化简常用的方法: (1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成平方数(式),然后去根号达到化 简的目的; (2)化切为弦,减少函数种类,达到化简的目的; (3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或利用 ,以 降低次数,达到化简的目的. 44 【变式题】 4.(2025 山东省潍坊第一中学月考)化简: (1) ; 【答案】原式 . 45 (2)其中 . 【答案】当 时,, , 所以 . 46 题型3 三角恒等式的证明 1 一般恒等式的证明 例12 求证: . 教材深挖 教材例题的多角度证明 本题实际上是教材第149页【例6】,所证等式是一个十分经典的恒等式,此处再列 举几种不同的证明方法,体会一题多解的思想. 47 【解析】 因为右边分母为 ,故可将左边分子分母同乘以 左边 右边. 因为左边分母是 ,故可将右边分子分母同乘以 右边 左边. (只需证明等式两边都与某个中间结果相等即可,因此可先将它们的分母变 为相同) 因为左边 , 右边 , 所以左边 右边,原等式成立. 证明三角恒等式的基本方法 三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有: (1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简; (2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子; (3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异; (4)变更命题法,如要证明,可证或证 等; (5)比较法,即证明“左边-右边”或“ ”. 49 【变式题】 5.求证: . 50 【答案】 左边 右边. 所以原等式成立. 左边 , 令,,则,即 . 故左边 右边. 所以原等式成立. 右边 . 左边 右边,所以原等式成立. 51 2 条件恒等式的证明 例13 已知,求证: . 【解析】由,可得 , 即 ,(化切为弦) 故 , 整理得 , 即 , 化简可得 . 52 含有条件的恒等式的证明方法 证明含有条件的三角恒等式时应注意条件的应用,常用的方法、技巧如下:(1)直 推法,从条件直接推得结论;(2)代入法,将条件代入结论中,转化为三角恒等式 的证明;(3)换元法. 53 【变式题】 6.已知,求证: . 【答案】, , ,(分离出 ,然后化弦为切) , 等式成立. 54 核心素养聚焦 考情揭秘 本节知识是三角恒等变换的基础内容,常与前面所学的诱导公式内容或与后续的二 倍角等内容综合考查.一般以选择题、填空题的形式呈现,试题难度简单或中等. 核心素养:数学运算(利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值等). 55 考向1 利用同角三角函数的基本关系求值 例14 (2024 全国甲卷改编)已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意有,即,所以 ,所以 . 56 例15 (2023 全国乙卷)若,,则 _ _. 【解析】由且 , 解得 故 . 57 考向2 与三角函数性质综合的问题 例16 (2023 全国甲卷)设甲:,乙: ,则( ) B A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】甲等价于 ,等价于 ,所以由甲 不能推导出乙,所以甲不是乙的充分条件;由,得 , 两边平方可得 ,即 ,所以由乙可以推 导出甲,则甲是乙的必要条件. 58 例17 (全国 卷)函数 的最大值是_. 1 【解析】依题意得, , 因为,所以,因此当时, . 59 高考新题型专练 1.[多选题]已知,,且, ,下面选项正确的是 ( ) ACD A. B.或 C. D. 【解析】因为,,所以 ,因为 ,所以,解得或 .因为 ,,经检验,当时, ,不合题意,所以 ,此时,,.故选 . 60 2.新考法新定义题 [多选题] (2025 江苏省南京市期中)在平面直角坐标系 中,角 以坐标原点为顶点,以轴的非负半轴为始边,其终边经过点 , ,定义, ,则( ) BC A. B. C.若,且,则 D.若,且,则 61 【解析】角 终边经过点,则角 终边经过点 ,所以 ,所以A选项错误; 因为, , 所以 , 因为,,所以 , 所以 ,所以B项正确; 因为,且 ,由三角函数定义可知, , 62 所以 , 又,解得, , 所以 ,所以C项正确; 因为,且,所以 , 又,解得, , 所以 , 所以,所以D项错误.故选 . 知识测评 04 建议时间:20分钟 1.(2025 辽宁省沈阳市月考)若 是三角形内角,且 ,则此三角形一定 是( ) D A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【解析】由,得 . 因为 是三角形内角,所以,,故 ,则此三角形一定是钝 角三角形. 65 2.已知,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 66 3.若,则 ( ) B A. B.2 C. D. 【解析】 由解得 所以 . 因为,所以 , 则,即 , 所以,解得 . 67 设,则 ,代入 中,得 , , 又,所以 . 注意到本题中的“勾股数”为,因此可以用, 代入条件式验证, 注意到,因此有所以 . 图4-1-1 4.新情境 黄金分割 要得到美观的照片,构图是很重要 的,用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒 适.“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式,是指把 画面横、竖各分三部分,横、竖三部分的三段线段长 度的比例都为 ,4个交叉点即为黄金分割 点.如图4-1-1,分别用,,, 表示黄金分割点, B A. B. C. D. 若照片长、宽比例为,设 ,则 ( ) 69 【解析】依题意,所以 , 所以 . 70 5.[教材改编P151 T2]已知,,则 的值为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】,,,即, ,, , 则 . 71 6.[多选题](2025 安徽省亳州市期初)若,且 为锐角,则下列选项中正确的 有( ) AB A. B. C. D. 【解析】,且 为锐角, ,故B正确; ,故A正确; ,故C错误; ,故D错误.故选 . 72 7.已知,.若 是第二象限角,则实数 的值为_. 【解析】依题意得解得 . 8.已知 ,化简: . 【答案】因为 ,所以, , 所以原式 . 73 高考模拟 05 建议时间:25分钟 9.(2025 北京市中央民族大学附属中学月考)在同一平面中的角 和角 满足“ ”是“ , ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 75 【解析】判断充分性:若 , 因为,所以 , 当 时, ,或 , , 当 时, ,或 , ,所以充分 性不成立. 判断必要性:若 , , 则 , 所以 ,必要性成立. 所以“”是“ , ”的必要不充分条件. 76 10.新定义 正割余割 (2025 山东省聊城第一中学月考)正割及余割这两个概念是由阿 拉伯数学家、天文学家阿布 瓦法首先引入, 这两个符号是荷兰数学家基拉德在 《三角学》中首先使用,后经瑞士数学家欧拉采用得以推广.在三角中,定义正割 ,余割.已知为正实数,且 对任意的 实数均成立,则 的最小值为( ) B A.1 B.4 C.8 D.9 77 【解析】依题意得,, , 因为 , 所以 , 当且仅当时等号成立,即的最小值为 ,所 以,解得,即 的最小值为4. 78 11.[多选题]已知, ,则下列说法中正确的有 ( ) BD A.是第二象限角 B. C. D. 或3 79 【解析】对于A, , , ,, 为第三象限角, , , 当为偶数时,为第二象限角,当为奇数时,为第四象限角, 可能为第二或第四 象限角,故A错误; 对于B, , ,, , ,故B正确; 80 对于C,由 , , , 可能为正,也可能为负, ,故C错误; 对于D,当, 时, ,,故 , 当, 时, ,,故 , 故或3,故D正确.故选 . 12.[易错题]计算: _. 1 【解析】 . , . . 82 13.(2025 广东省惠州市月考)已知向量,,若 ,则 _. 【解析】因为,, , 所以 ,所以 . 所以 . 83 14.已知,求证: . 【答案】由条件,得 , 构造向量, , ,则,,即 , . 设与的夹角为 , 则,即,故与 同向. ,即 , , , , . 84 谢谢观看 数学北师大版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 85 $