专题17：锐角三角函数-2026年中考数学二轮练习

专题17：锐角三角函数-2026年中考数学二轮练习 一、单选题 1．如图，两条宽度均为的矩形长纸条，相交成角，则重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，用于汽车训练的某成佛坡的坡比是，小汽车在成佛坡面上爬行了米，则小汽车上升的高度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 5．在中，，，，分别是，，的对边．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是上两点，于点，若，则（   ） A．10 B．5 C．6 D．3 8．如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 10．在中，，，，则的正切值为______． 11．如图，在中，，，，则的值是______． 12．若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 13．如图，在中，，，，点D和点E分别是边和边上的动点，且始终满足．当最小时，线段的长为______． 14．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 15．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转一周得到，是的中点，是的中点，连接，若，，在旋转的过程中线段的最大值是__________． 16．如图，是半圆的直径，点是圆上一点，交的反向延长线于点，则弧长为__________（保留）． 三、解答题 17．计算：． 18．先化简，再求代数式的值，其中． 19．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； (2)在图②中，线段上找一点，使． 20．如图，直线与相离，于点，与相交于点，，是直线上一点，连接并延长，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 21．【问题背景】 如图1，在中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和三角形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于三角形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交于点F，如图3所示； ②延长交线段于点，如图4所示； 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图3，若是的中点，求证：是等边三角形； (3)如图4，若，求的值． 22．综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，、、的对边长分别为a、b、c，则有，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头A、B之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点C处（点A、B、C在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头A处测得无人机的仰角约为，在码头B处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头A到无人机C之间的距离约为． 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算码头A、B之间的距离（精确到）；（参考数据：，） (2)请用你所学过的解直角三角形知识求码头A、B之间的距离．（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题17：锐角三角函数-2026年中考数学二轮练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A B B C A A A 1．B 【分析】过点A作于点E，由题意易得四边形是平行四边形，，，然后根据三角函数可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 由题意得：，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 2．D 【分析】首先利用勾股定理求出的邻边的长度，再根据余弦定义计算的值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 又∵， ∴． 3．A 【分析】在网格中作辅助线构造直角三角形，利用网格边长确定直角边长度，再根据正切定义计算． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ，， ． 故选：A． 4．B 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比求解. 【详解】∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∴（米）． 5．B 【分析】本题考查正弦的定义和勾股定理，掌握正弦的定义是解题关键． 在直角三角形中，利用正弦定义和勾股定理，求出a与b的比值即可． 【详解】解：由题意，可知， 设（），则， 由勾股定理，得， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．由题意知，，解得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的性质．连接，根据垂径定理得出，根据，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：或（舍去）， 即，， ∴， ∴． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，勾股定理及解直角三角形等知识，连接，解直角三角形求出、，的度数，再根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查新定义运算与锐角三角函数的基本关系，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再对照题目给出的公式代入计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵根据规定，α为锐角时，， 令，α为锐角，可得． 故选：A． 10． 【分析】先通过勾股定理求出直角边的长度，再依据正切的定义计算的正切值． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 11．/ 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】∵，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 12．45（答案不唯一） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据锐角余弦函数的增减性，结合特殊角的余弦值确定的取值范围，再选取符合条件的角度． 【详解】解：在到的锐角范围内，余弦函数值随角度的增大而减小， 由特殊角的余弦值可知：，， ， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 13．/ 【分析】在中利用正切的定义得到，设，利用勾股定理得到，结合得到，；过点作于点，过点作，使得，连接，通过证明得到，则，进一步分析可知当三点共线时，最小，证明得到，设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 如图，过点作于点，过点作，使得，连接， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小； ∵， ∴， ∴， 当三点共线时，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次根式的运算，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．48米/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的相关定义和运算是解题关键．作于，过点作于点，根据题意可得，然后利用勾股定理求出米，得出米，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得米，进一步可得米，米，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：作于，过点作于点，如图所示： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴米， ∴在矩形中，米，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得：， 答：大树的高度约为48米． 故答案为：48． 15． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，锐角三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，在中，利用可求得，根据含角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可知，，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，，从而根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ，即， ， ， 由旋转的性质可得，，， 是的中点是的中点， ，， 又，即， 的最大值为6（此时P，C，M三点共线）． 16． 【分析】如图，连接，证明，，可得，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧长为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17． 【分析】先化简二次根式、绝对值、三角函数，再计算加减即可． 【详解】解：原式 18．， 【分析】根据分式的混合运算法则先把除法变成乘法，再利用乘法分配律去括号，然后通分化简，接着根据特殊角三角函数值求出a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ； ； ∴原式． 19．(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：作图如图，点即为所求的点， ，， ，且相似比为． （2）解：作图如图，点即为所求作的点， 取，与交于， 此时． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的证明，连接圆心与切点是必要操作． （1）利用等腰三角形的性质和对顶角的性质可推断出，，因此，从而得证； （2）作，垂足为，设，则，，在直角中，利用勾股定理构造方程并解出．由垂径定理可得，容易证明，则，从而得出与的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，作，垂足为，设， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 21．(1)25° (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据题意得出，进而证明垂直平分，得出，根据平行线分线段成比例，中位线的性质可得，即可得出，进而求得，即可得证； （3）设，，根据已知得出，根据得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴ （2）证明：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴是等边三角形， （3）解：如图， 设，， ∵， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 22．(1)码头A、B之间的距离约为． (2)码头A、B之间的距离为． 【分析】（1）由题意可知，，，，利用阅读材料中的结论：，可直接求解； （2）过点作交于点，在直角三角形中求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， ， ， 答：码头A、B之间的距离约为． （2）解：如图，过点作交于点， 由题意可知， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 答：码头A、B之间的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $