专题15：反比例函数-2026年中考数学专项

专题15：反比例函数-2026年中考数学专项 一、单选题 1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3．在电压一定的条件下，电流与电阻成反比例关系，电流与电阻之间的函数关系如图所示．当时，I的值可以是（   ） A．0.24 B．0.27 C．0.45 D．0.5 4．反比例函数与一次函数（其中为自变量，为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A．B． C． D． 5．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 10．反比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则_______ ． 11．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 12．如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 13．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为__________． 15．如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 三、解答题 17．如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的表达式． (2)直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离． 18．如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线：经过点，与图象交于，两点． (1)求的值，并在图中画出直线； (2)当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点． ①求点的坐标； ②连接，若，求的取值范围． 19．如图，点在反比例函数的图象上，正比例函数也经过点A．以A为顶点作等腰直角三角形，使点C在x轴上且其坐标为，，． (1)填空： ， ． (2)求点B的坐标． (3)当时，直接写出关于x的不等式的解集． 20．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点，以为边作正方形，反比例函数的图象在第一象限经过点A． (1)直接写出点的坐标及k的值； (2)如图，将直线向下平移得到直线，交x轴于点E，交y轴于点F，交的图象于点G，若，求直线EF的解析式； (3)如图，将直线绕点O顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点P，求点P的横坐标． 21．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题15：反比例函数-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B C D A B 1．A 【分析】对于反比例函数，图象上的点横纵坐标乘积一定等于，只需计算各点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数中，若点在该反比例函数图象上，需满足， A、，满足，因此该点在函数图象上； B、，不满足条件； C、，不满足条件； D、，不满足条件． 2．D 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数图象位于第一、第三象限的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴ 故选：D． 3．C 【分析】先求出电流与电阻之间的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设电流与电阻之间的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴I关于R（）的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴I的值可以是0.45． 4．B 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：A：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，且交点在y轴的正半轴上,则，矛盾，不符合题意； B：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，且交点在y轴的正半轴上，故，且，符合题意； C：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，矛盾，不符合题意； D：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得,且交点在y轴的负半轴上矛盾，不符合题意． 5．C 【分析】由得，，由反比例函数的图象和性质得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∴，， ∴． 6．D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定和性质，先利用一次函数可得，，即得，，过点作轴于点，可证，得到，，进而求出点坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点， ∴，， ∴，， 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：． 7．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，连接，，设与轴交于点，由平行线间的距离可得，然后由，，，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 8．B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 9．一、三 【分析】由方程没有实数根可得，从而得到的取值范围，根据的符号判断反比例函数的图象所在的象限即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 10． 【分析】本题考查反比例函数的性质； 根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时，； 当时，； 所以， 解得：， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的下方、函数图象的上方， 不等式组的解是． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得矩形面积为矩形的面积减去矩形的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形的面积为，矩形的面积为 ∴矩形的面积为， 故答案为：． 13．丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 14． 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，连接，设反比例函数的解析式为，先得到，再根据求出k的值解答即可． 【详解】解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 15．/0.4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设的面积为S，利用反比例函数系数k的几何意义可知，，进一步求得，则，，结合，得到，解得，即可求解． 【详解】解：设的面积为S， 由题意得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 16．3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 17．(1)的值为；反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点的纵坐标代入直线解析式求出横坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出系数，即可确定表达式； （2）先利用反比例函数解析式求出点坐标，再设平移距离为写出平移后的直线解析式，最后将点坐标代入解析式解方程求出． 【详解】（1）解：把代入中，得，解得， 故点的坐标是； 把代入，得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：设直线向下平移了个单位长度， 则平移后的直线表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， 令，解得， ∴点的坐标为， 将代入直线， 可得，解得， ∴直线向下平移的距离为． 18．(1)，见解析 (2)①；② 【分析】（1）把点代入解析式求出b，即可； （2）①求出图象的解析式，再联立两函数解析式，即可；②根据题意可得，，再由，列出不等式，即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线过点， 画出直线如下： （2）解：①根据题意得：点， 把点代入得：， ∴图象的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； ②如图， ∵点在第一象限内且在直线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 19．(1)1；1 (2)点B的坐标为 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再代入，即可解答； （2）过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，证明，得到，则，推导出，即可解答； （3）根据一次函数与反比例函数的交点，得到在第一象限，当时， ，即，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，得 ， ∴，代入，得： ． 故答案为：1，1； （2）解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，如图 ， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ∴． （3）解：由图可知，在第一象限，当时， ，即， ∴当时，． 20．(1)，，， (2) (3)点P的横坐标是 【分析】（1）先求一次函数与x轴、y轴交点的坐标，得的长度，过点A作y轴垂线构造直角三角形，利用正方形性质证，求出的长度，进而得A点坐标，将点A代入反比例函数解析式求k值； （2）由直线平移得，利用平行线间距离相等推出，结合三角形面积公式求出的长度和E点坐标，先求出直线的解析式，根据平行线斜率相等设直线的解析式，代入E点坐标求参数，得的解析式； （3）作辅助线构造直角三角形，由是顺时针旋转所得，证为等腰直角三角形，得，再证，求出点坐标，求直线的解析式，与反比例函数解析式联立，求解并结合第一象限条件得点P的横坐标． 【详解】（1）解：，，，；理由如下： 一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点， 当时，得：； 当时，得：， 解得：， ，， ，， ∵以为边作正方形， ，， 如图，过点A作轴于点L，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ， ，，，； （2）如图，连接， ∵将直线向下平移得到直线，则， ∴点E到的距离等于点G到的距离，且，同底， ， 又，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 又， ， 设， 又∵过点， ， ， ； （3）（3）过A作交的延长线于点M，作x轴的平行线，交y轴于点G，过M作y轴的平行线，交于点H，如图， ， 又， ， 又， ， ， ， 又，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 设的解析式为，将点M的坐标代入得： ， 解得：， 的解析式为， 联立得：， ， 又， ∴， ∴点P的横坐标是． 【点睛】本题是一次函数、反比例函数与几何图形的综合题，解题关键在于利用函数性质求交点坐标，结合正方形、等腰直角三角形的性质构造全等三角形转化线段长度，进而确定点的坐标；同时掌握一次函数平移的斜率不变性质、平行线间的面积转化技巧，以及函数解析式联立求解交点的方法，将几何图形的位置关系与函数的数量关系相互转化． 21．(1)， (2)M点的坐标为或 (3)Q点坐标为 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式； （2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ∵直线与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴， ∴O是的中点， ∵的面积为8， ∴的面积， 设， ∴的面积， 当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； 综上所述：M点的坐标为或； （3）解：存在点Q，理由如下： 设，， 当为对角线时，， 解得， ∴； 当为对角线时，，无解； 当为对角线时，， 解得， ∴； 点在反比例函数的图象的右支上， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $