中档题专项突破(7) 反比例函数综合题-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

中档题专项突破（七)反比例函数综合题 考情分析 反比例函数是中考的常考考点，考查内容主要涉及到用待定系数法求反比例函数、一次函 数的解析式、点的坐标、三角形的面积、比例系数的几何意义的应用、根据图象写出反比例函 数的值大于或小于一次函数的值的自变量的取值范围等. ○解题策略 (1)反比例函数的解析式的计算只需要反 比例函数图象上一个点的坐标，把此点代入即 可求k;一次函数的解析式的计算需要它的图象 上两个点的坐标，代入得到二元一次方程组即 【方法指导】本题考查反比例函数与一次函 可求解；(2)以反比例函数图象与一次函数图象 数的交点问题，解答本题的关键是明确题 的交点与坐标原点为顶点的三角形的面积，通 意，利用数形结合的思想解答.(1)根据点 常用分割法计算，以x轴或y轴为分割线，计算 A(1,a)在y=2x上，可以求得点A的坐标， 割得的两个三角形的面积之和（或差）；(3)求反 再根据反比例函数y=飞(k≠0)的图象与正 比例函数的值大于或小于一次函数的值的自变 量的取值范围，就是求反比例函数的图象高于 比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),即 或低于一次函数的图象时对应的x的取值范 可求得k的值；(2)因为B是反比例函数y= 围；(4)求线段的长，可利用平面内两点之间的 E比例函数y=2x的交点，列方 距离公式：如A(xy1),B(x2,y2),则AB B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐 √(x1一x2)2+(y1一y2);(5)解决反比例函数 标 与一次函数的图象有（无）交点时，参数的取值 范围问题可把它们的解析式联立成方程组，进 【解答】解：(1)，点A(1,a)在直线y=2x上， 而转化得到一个一元二次方程，然后利用根的 .∴a=2X1=2. 判别式解答. 即点A的坐标为(1,2)， “点A(1,2)是反比例函数y-(k≠0)的图象 【例】(2020·黄石)如图，反比例函数y= 与正比例函数y=2x图象的交点， (k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象 .k=1×2=2. 相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限， 即k的值是2： BC∥x轴， (2)由题意，得2=2x. (1)求k的值； (2)以AB,BC为边作菱形ABCD,求D点 解得x=1或-1， 经检验x=1或一1是原方程的解， 坐标. ∴.B(-1,-2). 193 点A(1,2), .AB=√1+1)2+(2+2)2=25」 菱形ABCD是以AB,BC为边，且BC∥x轴， ∴.AD=AB=2√5 .D(1+25,2). 对点训练 1.(2024·黄冈模拟)如图，在平面直角坐标 系xOy中，直线AB:y=x十m与反比例 2.(2020·咸宁)如图，已知一次函数y1=kx 函数y=的图象交于A,B两点，与x轴 十6与反比例函数y:=的图象在第一、 相交于点C,已知点A,B的坐标分别为 第三象限分别交于A(6,1),B(a,一3)两 (3,1)和(-1，n). 点，连接OA,OB, (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式x十m>冬的解集： (2)△AOB的面积为； (3)直接写出y1>y2时x的取值范围. (③)点P为反比例函数)=图象上的任 意一点，若S△oc=3S△AoC,求点P的 坐标. 194 3.(2024·阳新县二模)如图，一次函数y= 4.(2024·枣阳二模)如图，反比例函数y= 分十与反比例函数色（为常数。 (m≠0)与一次函数y=红十b(≠0)的 k≠0)的图象相交于A(1,m),B(4,n)两 图象交于点A(1,3),点B(n,1),一次函数 点. y=kx十b(k≠0)图象与x轴，y轴分别相 (1)求m,n,k的值； 交于点D,C. (2)当1<x<4时，对于x的每一个值，函 （1)填空：m= ,n= ； 数y=一2x十p(p为常数)的值大于 (2)求一次函数的解析式和△AOB的面 积； 函数y=2的值，直接写出力的取值范 (3)当x+≤%时，直接写出自变量x的 围. 取值范围 195 5.(2024·兰州)如图，反比例函数y=(x 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问 >0)与一次函数y=m.x+1的图象交于 题：如何求不等式x2一x一6<0的解集？ 点A(2,3),点B是反比例函数图象上一 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1方程x2一x一6=0的两根为x1=一2， 点，BC⊥x轴于点C,交一次函数的图象 x2=3,可得函数y=x2一x一6的图象与x轴 于点D,连接AB. 的两个交点横坐标为一2、3，画出函数图象，观 (1)求反比例函数y=与一次函数y= 察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是 不等式x2-x一6<0的解集。 mx+1的解析式； 方法2不等式x2一x一6<0可变形为x2<x (2)当OC=4时，求△ABD的面积. 十6，问题转化为研究函数y=x2与y=x+6 的图象关系.画出函数图象，观察发现：两图象 的交点横坐标也是一2、3；y=x2的图象在y x十6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不 等式的解集 方法3当x=0时，不等式一定成立；当x>0 时，不等式变为x-1<6:当1<0时，不等式 交为x一1八 .问题转化为研究函数y=x一 与y=的图象关系… 任务： (1)不等式x2一x-6<0的解集为 (2)3种方法都运用了 的数学思想方 法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图 象的简图，并结合图象作出解答. 6.【新课标·核心素养】(2023·泰州)阅读 下面方框内的内容，并完成相应的任务. 196中，∠A=45°，∴.∠B=45°.∴.BC=AC=20cm 答：BC的长为20cm;(2)由题可知ON=EC 合AC=10cm,NB=0N-=10cm,又∠D0N =32°，∴.DN=ON·tan∠DON=10Xtan32°≈ 10×0.62=6.2(cm).∴.BD=BN-DV=10 6.2=3.8(cm).答：B,D之间的距离为3.8cm. 中档题专项突破（六）统计与概率 对点训练 1.(1)240.30(2)108°(3)解：1200×30% =360(人).答：最喜爱乒乓球这项运动的约360 人.2.(1)50(2)13(3)93(4)八(5)160 3.号 解：(2)列表如下： 第二轮 物理 化学 历史 第三轮 (物理， (历史， 道法 (化学， 道法) 道法) 道法) (物理， (化学， (历史， 地理 地理) 地理) 地理) 生物 (物理， (化学， (历史， 生物) 生物) 生物) 由表可知共有9种等可能结果，其中抽到的学科 恰好是历史和地理的只有1种结果，所以抽到的 学科恰好是历史和地理的概率为。· 1 4.(1)5 (2)144°(3)解：画树状图如下： 女 男 男男 女男 女男 共有6种等可能的结果，其中所选2名同学均为 男生的结果有2种，∴.所选2名同学均为男生的 既率为号 走进中考 5.)号 解：(2)列表如下： A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分 到同一个班的结果有3种，.甲、乙两位新生分 4 到同一个班的概率为子-了 6. “商家服务”评价分值的条形统计图 解：(1)由 ·评价分值个数个 12 10g 出中 3 4 5评价分值分 口甲商家口乙商家 题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个 评价分值，从乙商家抽取了3÷15%=20个评价 分值.∴.甲商家4分的评价分值个数为30一2一1 一12一5=10个，乙商家4分的评价分值个数为 20一1一3一3一4=9个.补全条形统计图如图. ②0e=360X0=120°.(3)a=3.5,b=4.乙商家 平均数x= 1×1+2×3+3×3+4×9+5×4 20 3.6;(4)小亮应该选择乙商家.理由：由统计表可 知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商 家的，方差较接近，小亮应该选择乙商家. 7. ↑人数 (1)24035解： 72 6 48 2412 麻跷脚钵甜美食 辣 牛肉 钵 皮分类 烫 鸡 (2)喜好甜皮鸭的人数为：240一48一72一84=36 (人)，补全条形统计图如图；(3)把四种美食分别 记为A:麻辣烫，B:跷脚牛肉，C:钵钵鸡，D:甜皮 鸭，画树状图如下： B 个 个N cDm ABC 共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和 跷脚牛肉”的结果有2种，选到“钵钵鸡和跷脚 牛肉”的概率为2一6 21 中档题专项突破（七）反比例函数综合题 对点训练 1.解：(1)把点A(3,1)代入直线y=x+m,得m =一2，.直线AB:y=x一2.即一次函数的解 析式为y=2-2,把点A(3,1D代入y=冬，得1 夸=3X1=3.即反比例函数的解析式为 y=3;(2)由图象，可得不等式x十m>的解集 为一1<x<0或x>3;(3)把y=0代入y=x 2,得x=2,即点C的坐标为：C(2,0),.S△c 号×0CX1=号×2X1=1.:S6m=3Sar, ÷S%m=3×0CX1n=2×2X1yn=3. ·=3.当点P的纵坐标为3时，则3=3 解得x=1,当点P的纵坐标为一3时，则一3= 3,解得=一1，点P的坐标为(1,3)或(-1， 一3).2.解：(1)把A(6,1)代入y=中，解得 m=6,故反比例函数的解析式为=：把B (a,-3)代人为=，解得a=-2,故B(-2, -3),把A(6,1),B(-2,-3)代入y1=kx+b, 6k+b=1, 得26+6-3.解得 k=豆'故一次函数解 b=-2. 析式为=7-2：(2)8(3)由图象可知， 当一2<x<0或x>6时，直线y1=kx十b落在 双曲线y=上方，即>，所以y>2时 的取值范围是-2<x<0或x>6.3.解：(1)把 A1,m),B4,m)两点坐标代入y=一合x十号， 得 m=名+ m=2, ”=二2×4+点，解得 1.A(1,2),B 1n2 (4,2).把点A1,2)代人y=名，=2：(2由函 数图象知：当1<x<4时，对于x的每一个值，函 数y=- 2十号的值大于函数y=子的值直 1 线y=一2x十p(p为常数)在直线AB的上方 或与AB重合.p≥号.4.(1)33解：(2) 将A(1,3),B(3,1)代入y=kx+b,得 。1解阳合+：一次面数的解析式 13k+b=1, 为：y=一x十4；对于y=-x+4,当x=0时，y= 4,∴.点C(0,4)..OC=4..S△oAB=S△x Sm=×4X3-号×4X1=4:(3)由图象可 知，当x+心时，x的范围为0<≤1或≥ 3.5.解：(1)：反比例函数y=(x>0)与一 次函数y=mx十1的图象交于点A(2,3),.3= 会，3=2m十1解得k=6,m=1.一次函数的 解析式为y=x+1,反比例函数的解析式为y= :(2)将x=4代入一次函数的解析式，得y 5.∴.D(4,5).将x=4代入反比例函数的解析 式，得y=多B(4,2)BD=5-号- 5am-2×受×4-2》-是. 6.(1)-2<x <3(2)D(3)解：如图，作函数y=x一1与y 一只的图象。 由图象可得，x2一x一6<0的解集为一2<x<0, 或0<x<3,综上，x2一x一6<0的解集为一2< x<3. 中档题专项突破（八）圆的综合题 对点训练 1. 解：(1)△BDE为等腰直角三角 形.证明：：AE平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴.∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC :∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC 十∠CBE,∴.∠BED=∠DBE.∴.BD=ED. :AB为直径，.∠ADB=90°.∴.△BDE是等腰 直角三角形；（另解：计算∠AEB=135°也可以得 证.)(2)连接OC,CD,OD,OD交BC于点F. :∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD.∴.BD= DC..OB=OC..OD垂直平分BC.,△BDE 是等腰直角三角形，BE=2√0，∴.BD=2√5. .AB=10,∴.OB=OD=5.设OF=t,则DF= 5-t.在Rt△BOF和Rt△BDF中，52-t2= (25)2-(5-t)2,解得t=3,∴.BF=4..BC=8. (1)证明：连接OD,OA,作 B E OH⊥AB于H,如图，，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，∴.AO⊥BC,AO平分 ∠BAC.AC与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AC, 而OH⊥AB..OH=OD..AC是⊙O的切线； (2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中，CD=4, OC=OF+CF OD+2,OD2+CD2=OC2, .OD2+42=(OD+2)2..OD=3..OC=5.