专题13：二次函数-2026年中考数学专项

专题13：二次函数-2026年中考数学专项 一、单选题 1．二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 2．二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 3．已知抛物线（为常数），当时，，当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象经过点，，图象上有三个点，，，且．当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知中，，，P是边上一个动点，过点P作，交其他边于点D．若设为x，的面积为y，则与之间的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 10．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的表达式为____________． 11．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 12．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 13．直线的解析式为，直线与轴分别交于不重合的两点，且点与点的横坐标之积为4，则原点到距离的最大值为______． 14．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 15．小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关．设瓶底离液面的距离，小孔离液面的距离，则喷射距离满足关系式：．现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为，为使水的喷射距离最大，则小孔离液面的距离应为_____． 16．新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 三、解答题 17．已知抛物线． (1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点； (2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围． 18．已知二次函数（b，c为常数），图象经过点，且． (1)若，二次函数对称轴为直线， ①求二次函数的表达式； ②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标； (2)若A为该二次函数图象的顶点，为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为6，求k的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、． (1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示） (2)求证：； (3)若直线与二次函数的图像交于点A、C． ①求二次函数的表达式； ②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标； ③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由． 21．如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题13：二次函数-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C C B B B A D 1．D 【详解】解：对二次函数配方得， ∵ 二次项系数， ∴ 二次函数开口向上，函数存在最小值， ∵ 的顶点坐标为， ∴ 取得最小值， 综上，该二次函数开口向上，最小值为． 2．B 【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各个选项即可． 【详解】解：抛物线过和， 设抛物线表达式为， 抛物线过， ，解得， 即抛物线表达式为， 由，可知抛物线开口向上，A错误；由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确；由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误；由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误． 【点睛】此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式再求解是最优方法． 3．C 【分析】先将代入抛物线解析式得到关于的不等式，再根据抛物线的开口方向和时随增大而减小的性质，确定对称轴与的关系，进而求出的取值范围． 【详解】解：把代入，得 ． ∵当时，， ∴，解得． ∵抛物线中，二次项系数， ∴抛物线开口向上． ∵当时，的值随值的增大而减小， ∴抛物线的对称轴． 对于抛物线，，， ∴对称轴为． ∵， 两边同时乘以（不等号变向），得，解得． 综上，的取值范围是． 4．C 【分析】先根据二次函数与x轴的两个交点求出对称轴，结合函数增减性判断开口方向，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵二次函数图象过x轴上两点， ∴二次函数的对称轴为 ， 由对称轴公式， 可得，即，故B错误． ∵当时y随x的增大而增大，对称轴为， ∴抛物线开口向上，即，故A错误． ∵，开口向上，抛物线与x轴上两点， ∴可得或时，时， ∵，∴，，， ∴，故C正确． 当时，，把代入得， 即， ∴， ∵， ∴，即，故D错误． 5．B 【分析】过点A作于点E，可求出，当和时，，当时，如图1所示，点D在上，当时，如图2所示，点D在上，分别用含x的式子表示出的长，再根据三角形的面积公式表示出y，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，过点A作于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 当时，此时点B，点P和点D重合，则， 当时，如图1所示，点D在上， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，点D在上， 同理可得， ∴， ∴； 当时，此时点C，点P和点D重合，则， ∴故B选项中的函数图象符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，连接交轴于点，过A作轴于H，根据正方形的性质得到，得到，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论． 【详解】解：连接交轴于点，过A作轴于H，过C作轴于Q， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，,， ∴， ∴， 设， ∴， ∵,轴， ∴, ∴四边形是矩形， ∴， 同理得， ∴， 又， ∴， 把，，代入得： ∴， 解得，， ∴的值为， 故选：B． 7．B 【分析】设降价元，可得每件利润为元，销售量为件，依次验证三个结论，利用一元二次方程和二次函数的性质即可判断． 【详解】解：设商品降价元，则售价为元．，每件利润为元，每星期销售量为件． ①：∵售价为57元， ∴，得， ∴销售量（件），故①正确； ②：当利润为5850元时，根据题意，得， 整理得， 若零售价为55元，即，则，代入方程左边得， 若零售价为59元，即，则，代入方程左边得，故②错误； ③：设每星期利润为y元，则， 整理得， 配方得， ∵， ∴当，y取得最大值6125，故③正确； 综上所述，正确结论共2个． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值、对称轴、与坐标轴的交点以及直角三角形的存在性等知识点；解题的关键是利用二次函数的对称性和性质，结合代数运算与几何条件进行推理判断． 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线，顶点在第二象限． ①当时， 抛物线开口向下，顶点在处取得最大值， ， 即，此结论正确． ②若且， 则， ， ， ， 又， ， 代入得， ， ，此结论错误． ③若，，，点坐标为， 对称轴， ， ，即， 将代入，得 ，即， ， ， ， ，此结论正确． ④若，， 对称轴， ， 设抛物线解析式为， 代入，得， ， ， 设， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，此结论正确． 综上，①③④正确． 10．（或） 【分析】根据二次函数图象与几何变换，结合平移规则“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线表达式为， 将抛物线向右平移2个单位长度，得到：， 再将所得抛物线向上平移3个单位长度，得到：. 整理得，化为一般式可得． 11． 【分析】由条件得到恒成立，令，可得恒成立，即要小于的最小值，列不等式解题即可． 【详解】解：根据题意，若时，不等式恒成立， ∴若时，不等式恒成立， 当时，式子可化为，舍去； 当时，有， 令， 则有恒成立， ∵， ∴， 令， ∴， ∵函数与轴的两个交点横坐标分别是0和， ∴时，， 即， ∴． 12． 【分析】首先由抛物线的对称轴为得到，将要求的代数式恒等变形为，结合抛物线图象与性质确定关于直线的对称点是，且抛物线过点，从而得到当时，，即可得到答案． 【详解】解：抛物线关于直线对称， ，即， 则， 抛物线过点，且关于直线对称， 关于直线的对称点是，且抛物线过点， 则当时，， 即． 【点睛】对于抛物线中求系数构成代数式的值，通常需要根据代数式的特征来取值，对于缺少某项系数的时候，通常利用对称轴得到恒等式去变形还原出含有的式子后再取值求解． 13． 【分析】先根据直线的解析式设出点的坐标，结合、横坐标的关系得到点的坐标，再推导直线的解析式，再利用等面积法表示出原点到的距离，最后通过二次函数的最值性质求出距离的最大值． 【详解】解：设点的横坐标为，∵点在直线上， ∴点的坐标为 ∵点与点的横坐标之积为， ∴点的横坐标为， ∵点在轴上， ∴点的坐标为，且（否则、两点重合，不符合题意）， 将、两点的直线为，可得方程组： 两式相减消去，得，解得（，否则两点重合）， 将代入，得， 因此直线的解析式为， 作图如下：直线与y轴交于点，过点作于点， ∴点坐标为：， ∴， 在中，利用等面积法可得： ， ∴， 通过化简可得到， 对二次函数进行配方： 因为二次项系数，所以当时，取得最小值， 此时分母的最小值为，则的最大值为：． 14． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 15． 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据喷射距离公式，其中，为求的最大值，需最大化根号内的表达式，该表达式为二次函数，通过求顶点坐标可得最大值点． 【详解】解：令． 此二次函数开口向下，顶点横坐标． 当时，取最大值，则最大． 因此小孔离液面的距离应为cm． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了新定义、待定系数法求抛物线解析式、二次函数的平移，理解新定义是解题的关键． 先根据“半垂点”的定义确定点坐标，进而求出抛物线的解析式，再根据平移的性质即可求出新抛物线的对称轴． 【详解】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，则，再证明即可； （2）先确定抛物线的解析式，再结合函数图像开口方向，得到最值即可得解； 【详解】（1）证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）解：抛物线的对称轴为，解得， ， 时，取得最大值，最大值为； ， 时，取得最小值，最小值为； 综上，． 18．(1)①；②点B的坐标为或 (2) 【分析】（1）①由二次函数过点可知，再根据对称轴为直线可得即可解答；②设，由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数，然后分、两种情况求解即可； （2）设，然后分、分别求出最大值和最小值，进而得到关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵二次函数过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数的表达式为． ②设， 由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数， a．当时， 解得：，，即点B的坐标为或； b．当时， 则，即方程无解． 综上所述，点B的坐标为或． （2）解：∵点A为该函数图象的顶点，为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1， ∴设，，即 当时， ∵， ∴函数在处取到最小值2，在处取到最大值， ∴ ，解得：（舍）； 当时， ∵， ∴函数在处取到最小值，在处取到最大值， 则， 解得：． 综上所述，． 19．(1) (2)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）先根据已知条件求得、，然后代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出平移后的函数解析式为，然后分点在轴下方和上方两种情况，分别根据等腰三角形的判定与性质以及一次函数与二次函数的综合求解即可． 【详解】（1）解：∵中， ∴当时，，即， ． ， ，， ，． 将，代入， 得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：， ， 直线的解析式为， 抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 新抛物线的解析式为． ①如图：当点在轴下方时． ，， ， 是的平分线． 点关于轴的对称点为， 直线的解析式为． 当时，解得（舍去）或， 点的横坐标为； ②如图：当点在轴上方时． ， 是等腰三角形， ． 设， ，解得或舍去， ， 直线的解析式为． 令，解得或舍去， 点的横坐标为． 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想使解答全面是解题的关键． 20．(1) (2)见解析 (3)①；②或；③． 【分析】（1）根据抛物线轴对称的性质即可得出其对称轴为，据此列式计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后结合即可证明结论； （3）①由点在直线上先求出m的值，然后结合（2）求出a，b的值，进而求出二次函数表达式；②设点P坐标为，根据三角形面积公式得到，解方程求出n值即可得到答案；③根据平移规律求出平移后的二次函数表达式，联立直线得到一元二次方程，再由根与系数的关系求出，即可得出线段为定值． 【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为． （2）证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴和是一元二次方程的两个根． 由根与系数的关系可得：，， 两式联立可得：， ∴， ∵， ∴， 整理得． （3）解：①∵点在直线上． ∴，则． 由（2）可得． 故二次函数表达式为：． ②联立直线和二次函数可得：． 解得：或2， ∴， 设点P坐标为． ∴． 整理得：． 解得：或1． ∴点P的坐标或． ③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度． 对于二次函数：，其顶点式为：． ∴根据平移的性质新的抛物线解析式为， 联立直线可得：， 整理得：． 设，，则，， 由根与系数的关系可得：，． ∴． ∴． ∴ ， ∴． ∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值． 21．(1)，， (2)①无人机飞行的最大高度为；②按钮设置的这条曲线符合条件，理由见解析 【分析】（1）根据题意，再利用待定系数法求解即可； （2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； ②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称，只需验证点E，G即可． 【详解】（1）解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线， ∴，则解析式为， ∵以为起点，且过点， ∴， 解得， 故答案为：，，； （2）解：①当，，时， 则， 当时，无人机飞行的最大高度为； ②由题可得，在平面直角坐标系中，点，， 而点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称． 所以只需验证点E，G即可． 当时，，， 当时，，，． 当时，，， 而点G到抛物线的水平距离大于长，即大于5． 所以按钮设置的这条曲线符合条件． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $