专题11：一次函数-2026年中考数学专项

专题11：一次函数-2026年中考数学专项 一、单选题 1．已知直线与直线交于x轴上一点，则（   ） A．2 B． C．6 D． 2．在探究“某金属导体的电阻随温度变化”的实验中，控制该金属导体的长度和横截面积不变，测得金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）满足我们学过的某种函数关系，实验数据如下表．根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 温度/ 10 20 30 40 50 金属导体的电阻 22 24 26 28 30 A． B． C． D． 3．将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数（a为常数），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 5．一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．已知一次函数的图象经过点，则_____ ． 11．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 12．在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 13．神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 5 6 … 火箭速度 100 150 200 250 300 … 火箭发射后第13秒时火箭的速度是____________． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 15．函数的最小值为________． 16．某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，将函数的图象经过平移得到函数的图象，已知平移后的图象经过点． (1)求函数的表达式； (2)当时，的值总是小于的值，求的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 19．瑞雪兆丰年，银装点新春．某冰雪主题乐园为迎新年特采购两款雪趣玩具：雪球枪与滑雪车．已知第一次购进4把雪球枪和3辆滑雪车共花费215元，第二次购进2把雪球枪和5辆滑雪车共花费195元． (1)求每把雪球枪和每辆滑雪车的进价各是多少元？ (2)由于这两种商品畅销，商店决定第三次购进雪球枪和滑雪车共200件，其中雪球枪的数量不低于30把，且两种玩具的进价保持不变．若雪球枪的售价为40元，滑雪车的售价为35元，第三次购进的全部商品都能售出，请问如何采购才能使第三次的商品获得最大利润？最大利润是多少元？ 20．在平面直角坐标系中，点的“衍生点”的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“衍生点”坐标为________，点的“衍生点”坐标为________． (2)已知点在一次函数的图象上，且点的“衍生点”为点D． ①若点的坐标为，求的值． ②设所有的点的“衍生点”组成的新图形记为图形． （i）请求出图形的函数表达式，并注明对应的自变量的取值范围； （ii）当满足什么条件时，一次函数的图象与图形有且仅有一个公共点，请直接写出答案． 21．如图①，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离厘米与秤钩所挂物体重量斤之间的关系，进行了次称重．表为称重时所记录的一些数据． 4 12 16 24 28 36 0 1 1.5 2.5 3 4 (1)在图②的平面直角坐标系中，描出以表格中的值为横坐标、的值为纵坐标的各点． (2)观察（1）所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，求秤钩所挂物体的重量． (4)若这个秤最大的秤重量是斤，直接写出秤砣到秤纽的水平距离的取值范围． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若点正好落在线段上，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题11：一次函数-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A D A C C C B C 1．D 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，先求出第二条直线与x轴的交点坐标，再将交点代入第一条直线方程，即可求出a的值． 【详解】解：∵两条直线交点在x轴上，x轴上点的纵坐标都为0， ∴在直线中，令，可得方程，解得 ∴交点坐标为， ∵该交点也在直线上， ∴， 解方程得． 2．A 【分析】由表格数据可知，R随t均匀变化，R与t满足一次函数关系，用待定系数法即可求解． 【详解】解：设R与t的函数关系式为， ∵ 当时，，当时，， ∴ ，解得， ∴ R与t之间的函数关系式为． 3．D 【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键．根据平移规律得到平移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度， 平移后直线解析式为， 当时，，即平移后直线与轴交点为； 当时，，解得，即平移后直线与轴交点为， 直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和， 三角形面积为． 4．A 【分析】本题利用一次函数的增减性得到一次项系数的取值范围，再判断常数项的符号，最终根据一次项系数和常数项的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，y随x的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得 ， 常数项 ， 即该一次函数中，，， ，函数图象过第二、四象限， ，函数图象与y轴交于正半轴，过第一象限， 这个函数的图象经过第一、二、四象限． 5．C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 6．C 【分析】根据临界点求出直线解析式． 【详解】解：如图2所示，此时，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 如图3所示，此时，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上，． 7．C 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 8．B 【分析】先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离，利用待定系数法可求解析式，分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：， 解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 9．C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 10．7 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知点的坐标代入函数解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入得，， 解得：． 11． 【分析】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 12． ； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 13．650 【分析】由速度随时间均匀变化可得与满足一次函数关系，求出函数解析式后代入对应t的值即可得到结果． 【详解】解：设函数表达式为， 将，和，代入表达式，得，解得， ∴与的函数表达式为， 当时，． 14． 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 15． 【分析】对x分类讨论，去掉绝对值符号，利用函数的单调性即可得出． 【详解】解：对x分类讨论： ①时，， 时，取得最小值为10； ②时，， 时，取得最小值为； ③时，， 时，取得最小值为2； ④时，， 时，取得最小值为； ⑤时，， 时，； ⑥时，， 时，； 综上，函数的最小值为． 16．14 【分析】本题考查一次函数的应用．由图象交点个数可知比赛途中两组同学相遇了2次，然后根据待定系数法分别求出函数解析式，求解交点坐标即可． 【详解】解：如图， ， 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 同理段的函数表达式为； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得， 甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为， 故答案为：14． 17．(1) (2) 【分析】（1）先根据平移得出，再将点，代入求出即可； （2）先求出直线与直线的交点坐标为，然后结合图形得出答案即可． 【详解】（1）解：将函数的图象经过平移得到函数的图象， ，即． 平移后的图象经过点， ， 解得：， 函数的表达式为． （2）解：由题意联立方程，得， 解得：， 直线与直线的交点坐标为． 如图，当时，的值总是小于的值， 的取值范围为． 18．(1) (2)点Q坐标为 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式． （2）联立两直线方程求出点P的坐标，作轴于点F，先由直线解析式求出点B坐标，再由求解． 【详解】（1）解：将与代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立两直线方程得， 解得， ∴点P坐标为． 作轴于点F， 把代入得， ∴点B坐标为， ∴， 又∵，， 则 ， 解得， ∵点Q在y轴负半轴， ∴点Q坐标为． 19．(1)每把雪球枪的进价为35元，每辆滑雪车的进价为25元 (2)购进雪球枪30把，滑雪车170辆时利润最大，最大利润为1850元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每把雪球枪进价为x元，每辆滑雪车的进价为y元，根据第一次购进4把雪球枪和3辆滑雪车共花费215元，第二次购进2把雪球枪和5辆滑雪车共花费195元，列出方程组，解方程组即可； （2）设雪球枪购进把，则购进滑雪车辆，获得的利润为w元，列出一次函数解析式，根据一次函数增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设每把雪球枪进价为x元，每辆滑雪车的进价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每把雪球枪的进价为35元，每辆滑雪车的进价为25元； （2）解：设雪球枪购进把，则购进滑雪车辆，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，且最大值为（元）， （辆）， 答：购进雪球枪30把，滑雪车170辆时利润最大，最大利润为1850元． 20．(1)； (2)①； ②（i）当时，；当时，； （ii）且或或 【分析】本题结合平面直角坐标系中新定义问题考查一次函数的图象与性质、分类讨论思想的应用．关键是理解“衍生点”的定义，分情况讨论点的坐标关系，结合一次函数的性质求解． （1）根据“衍生点”的定义，分别计算两点的的正负，代入对应公式求解即可； （2）①设点的坐标为，根据“衍生点”的定义分和两种情况，结合点纵坐标为列方程求解，舍去不符合条件的解； ②（i）设点的坐标为，分和两种情况，将衍生点的坐标用表示，消去参数得到函数表达式，并确定自变量的取值范围； （ii）先分析一次函数过定点，再分直线与图形的两段的交点情况，结合一次函数的平行、交点位置等条件，确定的取值范围． 【详解】（1）解：对于点，， 其“衍生点”坐标为； 对于点，， 其“衍生点”坐标为； 故答案为：；． （2）①设点的坐标为，分两种情况讨论： 情况1：当时，即，解得， 此时点的坐标为． ，解得(满足)， ； 情况2：当时，即， 此时点的坐标为． ，解得(不满足，舍去)； 综上，的值为； ②（i）设点的坐标为，分两种情况： 情况1：当时，即，此时点． 由得，代入得：， ，，即当时，； 情况2：当时，即，此时点． 将代入得：， ，，即当时，； 综上，图形的函数表达式为：； （ii）对于图形：， 当，，当时， 而一次函数，其图象过定点，分情况讨论： 情况1：如图，当直线与第二段的图象有一个交点，且与第一段的图象无交点时， 需要且， 或，即； 情况2：如图，当直线与第一段的图象有一个交点，且与第二段的图象无交点时， 需要，解得； 综上，的取值范围是且或或． 21．(1)描点见详解 (2) (3)斤 (4) 【分析】直接在平面直角坐标系中描点，得到各点在同一条直线上，由待定系数法求出这条直线所对应的函数表达式，最后根据已知求值、已知求值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：（1）中所描各点在同一条直线上， 设这条直线的表达式为， 将代入表达式得， 解得， 这条直线所对应的函数表达式为； （3）解：由（2）知， 当时，， 即秤钩所挂物体的重量为斤； （4）解：由（2）知， 当时，，解得， 即秤砣到秤纽的水平距离的取值范围为． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即可求解； （3）若，即，则，进而求解； 【详解】（1）解：将、代入直线得：， 解得， ∴； （2）解：如图， ∵、， ∴， ∴， 由折叠得：． ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点， 由翻折可得：≌，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的表达式为：， 延长到，使，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的表达式为：， 联立： 解得：， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $