专题10：四边形-2026年中考数学二轮练习

专题10：四边形-2026年中考数学二轮练习 一、单选题 1．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 2．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 4．如图，在菱形中，，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线交于点E，连接，若．且直线恰好经过点A，则的长（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 7．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，点为线段的中点，点为线段的中点，连接、．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 12．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 13．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 14．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 15．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 16．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 三、解答题 17．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 19．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 20．[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 21．截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图1，在中，点E为上的一点，连接，作的平分线交于点F，若点F为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点M，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图2，在正方形中，点E为上的一点，连接，作的平分线交CD于点F，求证：； 【综合应用】如图3，在菱形中，，延长至点E，使，连接，点F为上一点，连接，作的平分线交于点G，连接，若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C C A C D B 1．B 【分析】本题考查多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质．先根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形，． 故选：． 2．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 4．C 【分析】根据三角形的中位线定理求出的长，证明是等边三角形，得到，进而求出菱形的周长即可． 【详解】解：、F分别是、的中点，． ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长为． 5．C 【分析】利用基本作法得到垂直平分，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出，然后计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分，即，， 四边形为菱形，， ，， ，， 在中，， 在中，． 6．C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 7．A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 8．C 【分析】由是正五边形可得，，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出，从而得解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9．D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 10．B 【分析】取的中点，连接，过点作，设，则，利用正方形的性质，易证，从而得出，由是的中位线，得到，证明四边形是矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作， 设， ， ， ， 点为线段的中点， ， 正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， 点为线段的中点，点为线段的中点， 是的中位线，， ，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 11．60 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 先根据菱形的周长求出边长，再根据较短对角线与边长相等，得出由对角线和两边组成的三角形是等边三角形，进而求解． 【详解】解：由题意知，菱形的边长为， 又∵较短的对角线也为， 如图，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 12．48 【分析】如图：连接，利用三角形中位线定理可求出的长度，再通过勾股定理的逆定理判断平行四边形的一个内角为直角，最后计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴是直角三角形，即， ∵在中，, ∴平行四边形是矩形， ∴． 【点睛】掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 13．/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为， 故答案为：． 14．2 【分析】本题主要运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理来求解．通过构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长，交于点M， ∵平分，， ∴， ∴，， 又∵F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 15． 【分析】分别延长与直线交于点，证明，所以，，同理可得，，故有是的中位线，然后通过中位线性质定理可得，再求出的长即可求解． 【详解】解：如图，分别延长与直线交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 18．(1)证明见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可． （2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F、G分别为线段、、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴ 四边形为平行四边形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 20．[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 21．【探索发现】详见解析； 【类比迁移】详见解析； 【综合应用】． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 探索发现：先根据平行四边形的性质，得，，进一步证明，得出，通过角平分线的定义，再导角得出，从而求证； 类比迁移：先延长至点，使得，连接，由正方形的性质，进一步证明，得出，再根据平分，进一步导角可证，从而求证； 综合应用：先证是等边三角形，再延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点，进一步证出，再导角得出，再通过设，利用勾股定理和勾股定理的逆定理，从而判定，则，进行计算即可． 【详解】解：【探索发现】证明：如图，延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 【类比迁移】证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 令，则，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 【综合应用】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 如图，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴，． ， ∴，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴，（舍）， ∴，，，，， ∴， 在中，． ， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $