专题09：分式与二次根式-2026年中考数学专项

专题09：分式与二次根式-2026年中考数学专项 一、单选题 1．当时，下列分式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 3．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．某球形病毒的直径约为，该直径用科学记数法表示应为______________． 10．要使分式有意义，则x的取值范围是_______． 11．若，则的值等于 _______ ． 12．计算：________． 13．已知，则______． 14．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 15．对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 16．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则________． 三、解答题 17．解分式方程： (1)； (2)； (3)． 18．计算： (1)； (2)． 19．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 20．某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 21．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 22．对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 23．阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题09：分式与二次根式-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C C B C D 1．B 【分析】本题根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，将代入各选项判断即可得到结果． 【详解】分式值为0需要满足分子为0，且分母不为0，将分别代入各选项： 选项A ∵分子，分母，分式无意义， ∴A不符合要求； 选项B ∵分子，分母，满足分式值为0的条件， ∴B符合要求； 选项C ∵分母，分式无意义， ∴C不符合要求； 选项D ∵分子， ∴分式值不为0， ∴D不符合要求． 2．A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 3．C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 4．C 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 6．B 【分析】将跑道一圈长度设为单位1，利用行程问题中路程、速度、时间的关系，根据“秒后哥哥比弟弟多跑一圈”的条件列等式即可． 【详解】解：把跑道一圈的长度看作单位1， ∵哥哥跑一圈需要120秒，弟弟跑一圈需要150秒， ∴哥哥的速度为，弟弟的速度为， ∵秒后哥哥比弟弟多跑一圈， ∴， ∴． 7．C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 8．D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 9． 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键，当原数绝对值小于时，为负数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：． 10． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得. 11． 【分析】先将所求分式化简为，再将条件的等式变形成后，整体代入即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 12．/ 【分析】先运用完全平方公式展开完全平方式，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．12 【分析】先化简二次根式，从而求出的结果，进而得到和b的值，最后计算的结果． 【详解】解：， ， 又∵， ∴，， ． 14． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划速度为，根据去程行驶情况建立方程，求解得，再计算去程实际时间和返回时间，求时间差即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ， 所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为， 则实际总时间为 ， 又因为提前到达，即 ，所以， 化简得， 两边同乘得， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原计划速度 ， ∴实际总时间：， 又返回速度 ，则返回时间， 所以时间差， 故答案为：． 15． 【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果． 【详解】解：． 16． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，设，，根据完全平方公式可求出的值，进而求出的值，再根据条件确定、、、的值，最后计算的值即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∵为正整数，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∴ ， ∵为正整数且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴． ∴ ， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】解分式方程的基本步骤：先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． （2）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． （3）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． 【点睛】注意解分式方程时，最后要对方程的解进行检验． 18．(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先进行乘除运算，再算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 20．(1)甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 (2)共有4种购买方案， 甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用： （1）设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元） 答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 由题意得： 解得： 为整数， ， 共有4种购买方案如下：甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 22．(1) (2)①；②当时，；当时，； (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $