专题08：整式的乘法与因式分解-2026年中考数学专项

专题08：整式的乘法与因式分解-2026年中考数学专项 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 3．若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 4．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 5．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 6．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．已知整式（，，，，，都为自然数） 下列说法： ①不可能为二次四项式； ②若对于任意的自然数，都有，且为奇数，记，，则当时，满足条件的不同共有2个； ③记，，，，，（为正整数），若且，则存在，使得中的最高次项的系数为； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 10．计算：_______． 11．因式分解______. 12．已知：，，则__________． 13．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 14．要使的展开式中不含x一次项，则_________． 15．已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 16．日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 三、解答题 17．计算：． 18．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 19．先化简再求值：，其中，． 20．给出以下等式： (1)观察以上各式的规律，可以得到： ________（直接写结果，其中n为正整数） (2)利用以上等式，完成下列两题： ①对任意的实数a，试比较与1的大小关系； ②求值： 21．阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； (2)已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ (3)多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值． 22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题08：整式的乘法与因式分解-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C A A C B B D B 1．B 【分析】分别根据对应运算法则判断各选项即可，用到同底数幂乘除、幂的乘方、合并同类项的相关法则． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A选项错误； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，C选项错误； ∵与不是同类项，不能合并， ∴不能计算为，D选项错误． 2．C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 3．A 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 5．C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 6．B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 7．B 【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系． 【详解】解：如下图： 则空白部分的面积， ， ， ， 代入化简得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴． 8．D 【分析】将三个等式相加后配方，利用非负数的性质求出m、n、p的值，再计算和即可． 【详解】解：将三个已知等式左右分别相加，得， 整理得， 对左边配方得， 即， ∵ 任意实数的平方为非负数，三个非负数的和为0， ∴ 每个平方均为0， ∴，，， ∴． 9．B 【分析】本题考查了多项式的相关概念、整式乘法的规律、因式分解的应用，理解题意是解题的关键． 当的次数为2时，即时，则，可判断①；根据题意可得都为自然数，且，由求出，再分情况讨论可判断②；根据题意列举出中的最高次项的系数的变化规律，可判断③，即可得出答案． 【详解】解：当的次数为2时， 即时，，最多有三项， ∴不可能为二次四项式，故①正确； 由题意得，都为自然数，且， ∵， ∴，即， ∴或 解得或（舍去）， 当时，则，，此时，符合题意； 当时，则，， ∵， ∴，， 当，则，此时，符合题意； 当，则，此时，符合题意； 当时，不存在符合题意的情况，舍去； ∴满足条件的不同共有3个，故②错误； ，， ∴，， ∴， ∴中的最高次项的系数为， 同理可得，中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 依此类推，当时，中的最高次项的系数大于， ∴不存在，使得中的最高次项的系数为，故③错误； 综上，正确的个数是1． 故选：B． 10．1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 11． 【详解】解：． 12． 【分析】根据幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的除法的逆运算将转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 13． 【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为， ∴ 它的另一边长为：． 14．3 【分析】根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后令一次项的系数为，即可求解的值． 【详解】解： ， 展开式中不含一次项， 一次项的系数为，即， 解得． 15．11 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 17． 【分析】先根据多项式除以单项式法则、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 18．(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 19．化简的结果是，当，时值为． 【分析】先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 20．(1) (2)①；② 【分析】（1）观察所给等式，即可总结出规律； （2）①把看作，即可利用所得规律计算； ②将原式变形为，根据所得规律计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：① ， ∵， ∴，即． ② 21．(1)1525425 (2)125 (3) 【分析】本题主要考查因式分解，新定义问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）先将多项式分解因式，再根据题意排序，由前两个因式码可得方程组，解方程组代入第三个因式码即可得解； （3）先将多项式分解因式，再根据已知数据及密码101213排序，得出对应方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 当取，时，，，， ∴生成的密码是1525425． 故答案为：1525425； （2）解：， 、q都是正整数， ． ，，解得． 第三个因式码为； （3）解：． 根据题意，当，时，三个因式码为10，12，． 又∵密码为101213， ∴三个因式码为10，12，13， ∴， ． 22．(1)见解析； (2)；； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $