专题07：三角形-2026年中考数学专项

专题07：三角形-2026年中考数学专项 一、单选题 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 7．如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 8．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 9．等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 10．一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________． 11．如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 12．如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 13．如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________． 14．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，，过点作于点H，若，，则五边形的面积为____． 15．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 16．如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 三、解答题 17．已知、、分别是的三边长，化简：． 18．如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 19．在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 20．凡凡在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，如图①，凡凡在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置，如图②，凡凡用发声物体靠近小球，当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，当小球摆到位置时，于点，此时与恰好垂直，小球在两次摆动中点和点的高度差，求小球摆动到位置时，小球到的水平距离的长．（图中所有的点在同一平面上） 21．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 22．【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题07：三角形-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B B C A A 1．D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 2．C 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．C 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， ∴． 4．B 【分析】先利用非负数的性质求出已知两边的长度，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得， 由三角形的三边关系可知， ∴， ∴选B． 5．B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：在和中， ，， 当时，满足“”判定定理，可证明； 当时，属于“”，不能证明； 当时，，即，满足“”判定定理，可证明； 当时，满足“”判定定理，可证明． 6．C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 7．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、大角对大边等知识点，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键．根据是的高，得到，结合是的角平分线，平分，得到，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明得出，判断④错误，即可得出结论． 【详解】解：是的高， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， ∴，故①正确； 是的高，， ， 又， ， 又， ， 又，， ， ， 又，， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； 延长交于点， 在和中，， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选：A． 9．4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 10． 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，关键是熟练运用平行线的角的性质以及三角板的固定角度进行角度计算．首先利用三角形内角和定理求出中的度数；再根据平行线的内错角相等，结合等腰直角三角板的角度求出的度数；最后通过角度的差计算出的度数． 【详解】解：在中，，， ； ，， ， ∵， ∴； ； 故答案为：． 11． 【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ， ∵是的中点， ， 是的中点， ， 同理可得：，， ∴． 12．7 【分析】证明，得出，，即可得解． 【详解】，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 13．/62度 【分析】在上截取，连接，证明，得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】通过线段的转化及垂线段最短是解决此类问题常用的方法． 14． 【分析】延长至点，使得，容易证明，则，，进而证明，则五边形的面积等于面积的两倍． 【详解】解：如图，延长至点，使得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】“半角”模型一般借助旋转构造全等三角形来解题． 15．2或3 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可. 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 16．①③⑤ 【分析】此题主要考查角平分线的性质定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 由，得，再由三角形外角的性质得，得；根据角平分线的性质，得，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出；等量代换得，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 且， ∴，①正确； ∴， 又平分，，于F， ∴． ∵E到与的距离相等， ∴，③正确； ∵， ∴，⑤正确． 无法证明以及． 故答案为：①③⑤． 17． 【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可． 【详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 18． 【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 19．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 20． 【分析】证明即可解答． 【详解】解：根据题意知，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 21．(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长到，使，连接． 当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ∴； 当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $