专题06：二元一次方程组与不等式（组）-2026年中考数学专项

专题06：二元一次方程组与不等式（组）-2026年中考数学专项 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 3．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 5．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 8．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 9．已知整式，其中，为正整数，均为自然数，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式不唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有27个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 10．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 11．某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是大客车10元，小客车6元，某日通过该收费站的大小客车之比为，共收取过路费602元，则共有客车______辆． 12．不等式组的整数解是________． 13．如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 14．如果方程组的解，则方程组的解为______． 15．已知关于x的方程的解为非负数，且关于a、b的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 16．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则________． 三、解答题 17．解二元一次方程组：． 18．解不等式，并写出最小整数解． 19．解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 20．陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 21．关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 22．为满足市场需求，某花店准备从花卉市场购进A，B两种牡丹花盆栽，已知购买2盆A盆栽和3盆B盆栽共需170元，购买4盆A盆栽和1盆B盆栽共需190元． (1)求A，B两种盆栽单价分别为多少元； (2)该花店计划购入200盆牡丹花盆栽，花卉市场推出两种折扣方式． 方案一：每买一盆A盆栽送一盆B盆栽； 方案二：A盆栽7折优惠，B盆栽6折优惠． 如果你是花店老板，应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 23．在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题06：二元一次方程组与不等式（组）-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D D D C A A A A 1．B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 2．D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 3．D 【分析】根据不等式两边加、减、乘（或除以）同一个数（或式子）时不等号方向的变化规律，进而判断出各式是否成立． 【详解】解：， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故一定成立． 故选：． 4．D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 5．C 【分析】根据已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元，列出方程组即可． 【详解】解：设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，由题意： ． 6．A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 7．A 【分析】利用3小时完成的任务量不小于列不等式即可． 【详解】解：由题意可得3小时完成的任务量不小于， 设剩余时间每小时平整， 如果工作3小时，则3小时总平整面积为， 可得不等式． 8．A 【分析】根据流程图结合程序操作进行了两次后停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 9．A 【分析】①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论；②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一；③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解：①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ，故①错误； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②错误； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，此时，且，，中恰有一个为0，另两个为正整数； 分情况讨论（如时，的正整数解有6组），则共有个， 当时，同理，满足条件的组合共有9个， 当时，同理，满足条件的组合共有3个， 所以满足条件 和 的三次三项式共有（个）， 故③错误． 10． 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 11． 77 【分析】设出大、小客车的数量，根据题意列出二元一次方程，求解后计算总客车数量即可． 【详解】解：设大客车数量为辆，则小客车数量为辆， 由题可列，， 解得， （辆） 则共有客车辆． 12． 2 【分析】先单独求解每个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分作为不等式组的解集，再在这个解集中筛选出所有整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以不等式组的解集为， 在这个范围内的整数只有2， 所以该不等式组的整数解是． 13． 【分析】根据题意可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由已知得：， 得：， ∴． 即x与a的数量关系为． 14． 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 15． 【分析】先解关于的方程，根据解为非负数求出的取值范围；再解关于、的方程组，用表示出，根据解为整数确定的可能整数值，最后计算这些整数的和． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负数， ∴， ∴， 解方程组， 由得， 把代入得 ， 解得， ∵方程组的解为整数，且， ∴是的正因数， ∴，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为． 16． 8 【分析】将方程组两式相加消去. 根据取整运算的定义，可得. 设（为整数），求出的值后代入方程求出，再根据定义计算即可． 【详解】解：， 得 ． 设，为整数，根据表示不大于的最大整数，可得， 因此，，故． 代入得 ， 去括号得 ， 移项合并同类项得 ， 解得，即． 将代入①得 ， 解得 ． 因为，，所以，， 根据的定义，得． 17． 【分析】运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 18．，最小整数解为 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 19．，数轴见解析． 【分析】先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示如图： 20．(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； (2)该班共有2种购进这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【分析】（1）设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元，根据购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件，根据该班决定花330元购进这两种文创产品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； （2）解：设该班购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 整理得， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该班共有2种购进这两种文创产品的方案： ①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件； ②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 21．(1)不是 (2)具有“友好关系”；理由见解析 (3)2 【分析】（1）根据方程组的解得 ，可判定不是“友好关系”； （2）先求方程组的解，再计算看是否满足，求解即可； （3）两式相减，再根据定义，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，不具有“友好关系”； （2）解：与具有“友好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ， ， 与具有“友好关系”； （3）解：， 由得，， 与具有“友好关系”， ， 解得，， 的值为2． 22．(1)A盆栽单价为40元，B盆栽单价为30元． (2)当购进A种盆栽少于80盆或多于120盆时，选择方案二更省钱；当购进A种盆栽为80盆或120盆时，两种方案费用相同；当购进A种盆栽在80盆到120盆之间（不含80和120）时，选择方案一更省钱． 【分析】（1）设A、B两种盆栽单价分别为元、元，根据“2盆盆元”“4盆盆元”列二元一次方程组求解； （2）设购进A盆栽盆，则B盆栽盆，分别列出方案一、方案二的总费用函数，分情况讨论费用大小，选择更省钱的方案． 【详解】（1）解：设A种盆栽单价为元，B种盆栽单价为元． 根据题意得 由，得． 将代入，得， 解得． 将代入，． 答：A种盆栽单价为40元，B种盆栽单价为30元． （2）解：设购进A种盆栽盆（），则购进B种盆栽盆． 方案一：买一盆A送一盆B， 当时，B盆栽只需购买盆，， 当时，B盆栽全部赠送，． 方案二：A盆栽7折，B盆栽6折，． 当时，令，，，． 当时，，选方案二； 当时，，两种方案均可； 当时，，选方案一． 当时， 令，，，． 当时，，选方案一； 当时，，两种方案均可； 当时，，选方案二． 答：当购进A种盆栽少于80盆或多于120盆时，选择方案二更省钱；当购进A种盆栽为80盆或120盆时，两种方案费用相同；当购进A种盆栽在80盆到120盆之间（不含80和120）时，选择方案一更省钱． 23．(1)①；② (2) (3)， 【分析】（1）把代入，把代入即可求解； （2）代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，所以，整理即可； （3）由题意可得，整理后列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：①：，故填； ②：，故填； （2）解：依题意，得． （3）解：依题意，得， 则有， 解得，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $