专题04：相交线与平行线-2026年中考数学专项

专题04：相交线与平行线-2026年中考数学专项 一、单选题 1．下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 2．如图所示，直线l与直线、相交，，若是的2倍，则大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 8．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 二、填空题 9．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 10．如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 11．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．若____________（添加一个条件即可），则能得到． 12．如图，，交于点，于点．若，则_____°． 13．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 14．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，由图可知，科技馆位于小明家的南偏西方向，则科技馆位于小亮家的________． 15．如图是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数是_____． 16．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 三、解答题 17．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 18．某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若，，证明：． (1)证明：（已知）， ①__________________（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②__________________（③__________________） （④__________________） (2)模仿（1）题，写出推理过程． 19．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 20．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 21．综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题04：相交线与平行线-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C B D C C 1．B 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 2．C 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得出，再根据，求出即可． 【详解】解：如图所示， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 3．B 【分析】本题主要考查了图形的平移，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是平行四边形，如图所示： 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 6．D 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两直线平行同位角相等． 由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， 故选：D． 7．C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 8．C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 9．（答案不唯一，即可） 【详解】解：当时，，满足条件， ，不满足命题结论， ∴命题“如果，那么”是假命题． 10． 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 11．（答案不唯一） 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则． 12．25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 13．/64度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 14．南偏东的方向 【分析】本题考查方位角的概念及平行线的性质，关键是利用南北方向直线互相平行的性质，结合已知角度推导目标方位角． 【详解】解：如图，射线为正北方向， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴科技馆位于小亮家的南偏东方向． 故答案为：南偏东方向． 15． 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，延长，交于点，由题意可得，，，从而得出，结合图形计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ∵，，重力的方向，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．或或 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质、角的动态定义，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，根据题意画出所有可能情况是解题关键． 【详解】解：如下图所示， 当时，延长交于点， ， 在中，， ， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， 在中，， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， ， ， ， ， 绕点旋转的度数为， 秒； 综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行． 17．(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：； 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ， ． 18．(1)①；②；③等量代换；④内错角相等，两直线平行 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，平行线的判定等解答即可； （2）延长，相交于点，然后类似（1）解答即可． 【详解】（1）证明：（已知）， ①（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②（③等量代换） （④内错角相等，两直线平行） （2）证明：延长，相交于点， ，（已知） （两直线平行，内错角相等） ，（已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 19．(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 20．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 21．(1) (2)①55°；②125°； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $