9.3.1 平面向量基本定理课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3.1 平面向量基本定理 在物理学中，我们学过力的分解，如图G＝F1＋F2，那么平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示呢？ 由共线向量定理知b与e(e≠0)共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λe. 若e≠0，则b与e共线的充要条件是什么？ 讨论：共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ b a A B C D 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， 如果 ，，则 ，； 由此向量 和 都写成了向量 ， 的线性运算. 但它们都不能单独用 ， 表示出来， 也就是说，要表示平面内任意一个向量，只选定一个向量有时是不能实现的． 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. (1)类比力的分解，你能把a用e1，e2表示出来吗？ (2)用e1，e2表示向量a的表示方法是唯一的吗？为什么？ (2)用e1，e2表示向量a的表示方法是唯一的吗？为什么？ 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 平面向量基本定理 两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底⁠. 基底 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解. 正交分解 思考1：作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？ 思考2： 一组平面向量的基底有多少对？ 一组不共线的向量可以作为基底. 零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底. 无数多对 思考3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？ O C F M N E 以 为基底 以 为基底 以 为基底 思考3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？ 可以不同，也可以相同 练习：设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： B 例1 如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a， ＝b，试用a，b表示向量，. 解：＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝a－b. ＝ ＋ ＋ ＝－＋ ＋ ＝b－ a. 例2 如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b， ＝ ，点N是OA的中点．若OM与BN相交于点P，试用a，b表示 . 解：＝ －＝ －＝ b－a， ＝－＝ － ＝ a－b. ∵A，P，M三点共线，∴存在实数λ使得＝λ＝ b－λa， ∴＝ ＋ ＝(1－λ)a＋ b. 例2 如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b， ＝ ，点N是OA的中点．若OM与BN相交于点P，试用a，b表示 . ∵B，P，N三点共线，∴存在实数μ使得＝μ＝ a－μb， ∴＝＋＝ a＋(1－μ)b. 即 ，解得， ∴＝ a＋b. 回顾本节课内容，回答下列问题： 1.平面向量基本定理的内容是什么？ 2.作为一组基底的条件是什么？ 1.(多选)设 e1， e2是平面内两个不共线的向量，则以下 a ， b 可作为该平面内一组基底的是 ( 　 　) A. a ＝ e1＋ e2， b ＝ e1 B. a ＝2 e1＋ e2， b ＝ e1＋ e2 C.a ＝ e1＋ e2， b ＝ e1－ e2 D.a ＝ e1－2 e2， b ＝－ e1＋4 e2 2.设向量 e1与 e2不共线，若3xe1＋(10－ y )e2＝(4y －7)e1＋2xe2，则实数 x ， y 的值分别为(　 　) A.0，0 B.1，1 C.3，0 D.3，4 ACD D 3.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝(　 　) A. －2e1－4e2 B. －4e1－2e2 C. e2－3e1 D. －e2＋3e1 4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－ 3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(　 　) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 C C (1)＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2， ＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. (2)是唯一的.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0， 由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2，由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)， 即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，表示方法是唯一的. ①{，}；②{，}；③{，}；④{，}. 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ ＝－＝5e1－4e2－3e1－2e2＝2e1－6e2， ∴＝， 又，有公共点B，∴B，C，D三点共线. 例3 设e1，e2是平面内的一组基底，＝3e1＋2e2，＝4e1－e2，＝5e1－4e2，求证：B，C，D三点共线. 证：∵＝－＝4e1－e2－3e1－2e2＝e1－3e2， $