9.3.1 平面向量基本定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦“平面向量基本定理”，通过斜面上重力分解的情境导入，衔接向量共线定理，构建从具体实例到抽象定理的学习支架，帮助学生理解基底含义及向量分解的唯一性。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，结合典型例题（如平行四边形向量表示、三角形中线交于一点证明）与通性通法总结，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达的能力。学生能提升抽象与推理能力，教师可获得系统教学资源，提高教学效率。

9.3.1　 平面向量基本定理 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例抽象出平面向量基本定理 数学抽象 2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的 含义 数学抽象 3.能应用平面向量基本定理解决相应问题 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向 下的力，则G＝F1＋F2（如图），即重力G分解为力F1和F2，从而 G可以用力F1和F2来表示.这里F1和F2是不共线的两个力. 【问题】　平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　平面向量基本定理 1. 定理：如果e1，e2是同一平面内两个 的向量，那么对于 这一平面内的 向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ ⁠. 2. 基底：两个 的向量e1，e2叫作这个平面的一组 ⁠ ⁠. 不共线　 任一　 λ1e1＋λ2e2　 不共线　 基 底　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都 可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的； （2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确 定的数值. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　平面向量的正交分解 　平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝ ⁠ 的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直 线 时，这种分解也称为向量a的 ⁠. λ1e1＋ λ2e2　 互相垂直　 正交分解　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【想一想】 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上 有什么区别和联系吗？ 提示：由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线 的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本 定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 下列说法正确的个数是（　　） ①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一 组基底；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量 的基底；③零向量不能作为基底向量. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为一个平面内的基底不唯一，即可以有无数对不共线 向量组成该平面的基底，所以说法①不正确，说法②正确；因为零 向量与任一向量都共线，所以它不能作为基底中的向量，说法③正 确.故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不 能作为一组基底的是（　　） A. e1－e2，e2－e1 B. e1－e2，e1＋e2 C. 2e2－e1，－2e2＋e1 D. 2e1＋e2，4e1＋2e2 √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　不共线的向量能作为基底，对于A，因为e1－e2＝－ （e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共线，故A正确；对于B，e1 －e2与e1＋e2不共线，能作为一组基底，故B错误；对于C，因为 2e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，故C正 确；对于D，因为2e1＋e2＝ （4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋ 2e2共线，故D正确.故选A、C、D. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 ⁠. 解析：如图， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2. 4e1＋3e2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 平面向量基本定理的理解 【例1】　（1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2 与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是 ⁠ （填序号）； ①②④　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： ①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解， ∴e1＋e2与e1不共线，即e1，e1＋e2能作为一组基底；②设e1－ 2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2， ∴无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2， e2－2e1能作为一组基底；③∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1）， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2，4e2－2e1不能作为一组 基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），则e1＋e2＝ne1－ ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2， e1－e2能作为一组基底. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）（2024·镇江月考）已知a，b是一组基底，实数x，y满足（3x －4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ ⁠. 解析： 因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，由平面 向量基本定理得所以所以x－y＝3. 3　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若 共线，则不能作基底，反之，则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线 的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （多选）设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作 为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是 （　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析： 　寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中， 与 不共线， 与 不共线；而 ∥ ， ∥ ，故A、C选项 可作为基底. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作 为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则 a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实 数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）. （－∞，4）∪ （4，＋∞）　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 用基底表示向量 【例2】　（链接教科书第27页例1）如图，在平行四边形ABCD中， 设 ＝a， ＝b，用a，b表示 ， . 解：法一　设AC，BD交于点O， 则有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b. 所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b， ＝ ＋ ＝ a＋ b. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y. 又所以 解得x＝ a－ b，y＝ a＋ b， 即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 用基底表示向量的两种基本方法 （1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底 表示为止； （2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即 若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方 程（组），使得问题获解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 如图，在正方形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则以 a，b为基底时， 可表示为 ，以a，c为基底时， 可表示为 ⁠. a＋b　 2a＋c　 解析：以a，b为基底时， ＝ ＋ ＝a＋b；以a，c为基 底时，将 平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形 法则即得 ＝2a＋c. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用 ＝e1， ＝e2表示 . 解： ＝ － ＝e1－e2， 因为D，E，F依次是边AB的四等分点， 所以 ＝ ＝ （e1－e2）， 所以 ＝ ＋ ＝e2＋ （e1－e2）＝ e1＋ e2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 平面向量基本定理的应用 【例3】　（1）（链接教科书第29页练习3题）如图，在正方形 ABCD中，F是边CD上靠近D的三等分点，连接BF交AC于点E，若 ＝m ＋n （m，n∈R），则m＋n＝（　　） A. － B. C. － D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵△ABE∽△CFE，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ （ － ）＝ ［－ －（ － ）］ ＝ （－ ＋ ）＝－ ＋ .又∵ ＝m ＋n ， ∴m＝－1，n＝ ，∴m＋n＝－ .故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）用向量法证明三角形的三条中线交于一点. 证明：如图，设 ＝a， ＝b，D，E，F 分别为△ABC三边的中点，则 ＝a－b， ＝a－ b， ＝－ a＋b. 设AD与BE相交于点G1，且 ＝λ ， ＝μ ， 则 ＝λa－ b， ＝－ a＋μb. 因为 ＝ ＋ ＝（1－ ）a＋（μ－1）b， 目录 数学·必修第二册 (SJ) 所以解得即 ＝ . 再设AD与CF相交于点G2， 同理可得 ＝ ， 故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点， 故三角形的三条中线交于一点. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一 向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向 量和的形式，且分解是唯一的； （2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将 条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·南京月考）已知△ABC中，点D在BC边上，且 ＝4 ＝r ＋s ，则3r＋s＝（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图所示， ＝ － ， ＝ － ，∵ ＝4 ，∴ － ＝4（ － ），∴ ＝ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ）－ ＝ － .又 ＝r ＋s ，∴r＝ ，s＝－ ，∴3r＋s＝3× － ＝ .故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解：设 ＝e1， ＝e2， 则 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ ＝2μe1＋μe2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2. 而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得 解得 ∴ ＝ ， ＝ ， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是 （　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析： 由题图可知 与 ， 与 ， 与 共线，不能 作为基底， 与 不共线，可作为基底.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，以b，c 作为基底，则 ＝（　　） A. b＋ c B. c－ b C. b－ c D. b＋ c 解析： 　如图， ＝ ＋ ＝c＋ （b－c） ＝ b＋ c.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·徐州月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线 段AM的中点， ＝λ ＋μ ，求λ＋μ＝ ⁠. 解析：∵M为BC边上任意一点，∴可设 ＝x ＋y （x＋y ＝1）.∵N为线段AM的中点，∴ ＝ ＝ x ＋ y ＝ λ ＋μ .∴λ＋μ＝ （x＋y）＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　） A. －2e1－4e2 B. －4e1－2e2 C. e2－3e1 D. －e2＋3e1 解析： 　如图所示，a－b＝ ＝ － ＝e2 －3e1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·无锡月考）已知非零向量 ， 不共线，且2 ＝x ＋y ，若 ＝λ （λ∈R），则x，y满足的关系式是 （　　） A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0 C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0 解析： 　∵ ＝λ ，∴ － ＝λ（ － ），即 ＝（1＋λ） －λ ＝ ＋ ，∴∴x＋y －2＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在△ABC中， ＝ ，DE∥BC，且与AC相交于点E， △ABC的中线AM与DE相交于点N，设 ＝a， ＝b，则用 a，b表示 ＝（　　） A. （a－b） B. （b－a） C. （a－b） D. （b－a） 解析： 　如图所示，∵DE∥BC，∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ × ＝ （b－a）.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－ 3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋2b－4a－b－5a－3b ＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2 ，即 ＝2 ，所以 AD∥BC且AD≠BC. 故四边形ABCD为梯形.选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法 中不正确的是（　　） A. a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量 B. 对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ） 有无穷多个 C. 若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 ＝ D. 若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于 B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平 面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝ λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中 点，且 ＝a， ＝b，则有（　　） A. ＝－ a－b B. ＝a－ b C. ＝ a＋ b D. ＝－ a √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，在△ABC中， ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝－b－ a，故A正确； ＝ ＋ ＝a＋ b，故B错误； ＝ ＋ ＝－b－a， ＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝－ a＋ b，故C错误； ＝ ＝－ a，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 在四边形ABCD中， 与 平行，P是BC的中点，AP∩DC＝ Q，则 ＝ （用 ， 表示）. 解析： ＝2 ＝2（ ＋ ）＝2 ＋ . 2 ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若 ＝x ＋y ，则x＝ ⁠. － 　 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以 ＝ ＋ .又E为AD的中点，所以 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝－ ＋ .所以x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·淮安月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝ 6，｜ ｜＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝ ⁠. 解析：考虑以 ， 为基底来计算.∵ ＝3 ， ＝ 2 ，∴ ＝ ＋ ， ＝ － ＝－ ＋ ， ∴ · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ － ＝ ×36－ ×16＝9. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. （1）证明：a，b可以作为一组基底； 解： 证明：假设a＝λb（λ∈R）， 则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）. 由e1，e2不共线，得方程组无解， 所以λ不存在. 故a与b不共线，可以作为一组基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2. 解： 设c＝ma＋nb（m，n∈R）， 则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1 ＋（－2m＋3n）e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a， b，c，若c ＋a ＋b ＝0，则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形但不是等边三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为P是BC边的中点，所以 ＝ － ＝－ － .因为c ＋a ＋bPB＝0，所以c（－ － ）＋a ＋b ＝0.所以（a－c） ＋（b－c） ＝0.因为 与 不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC 为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线 段AB交于圆内一点P，若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ， 则（　　） A. P为线段OC的中点时，μ＝ B. P为线段OC的中点时，μ＝ C. 无论μ取何值，恒有λ＝ D. 存在μ∈R，λ＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ）＝（1－λ） ＋λ ，因为 与 共线，所以 ＝ ，解得λ＝ ，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则 ＝ ＝ μ ＋ ×3μ ，则1－λ＝ μ，λ＝ ×3μ，解得μ＝ ，故A正确，B错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. （2024·常州月考）已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝ 0，点P是OC上异于端点的任意一点，且 ＝m ＋n ，则 m＋n的取值范围是 ⁠. 解析：依题意，设 ＝λ （0＜λ＜1），由 ＋ ＋ ＝0，知 ＝－（ ＋ ），所以 ＝－λ －λ ，由 平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2， 0）. （－2，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ＝ 2 ， ＝2 . （1）求CD的长； 解： 因为 ＝2 ，所以 ＝ ， 所以 ＝ － ＝ － ， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ，即CD的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求 · 的值. 解： ＝ － ＝－ ＋ ＝－ （ － ）＋ ＝ ＋ ， 所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ＝ ＋ ×2×3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. （2024·扬州质检）已知O是线段AB外一点，若 ＝a， ＝b. （1）设点G是△OAB的重心，证明： ＝ （a＋b）； 解： 证明：设AB的中点为E，则 ＝ ＝ × （a＋b）＝ （a＋b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及 △OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示 ＋ ＋ ； 解： 点A1，A2是线段AB的三等分点， ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）， 则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）＋ （ ＋ ）＝ （a＋b）＋ ［a＋ （b－a）＋a＋ （b－a）］＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结 论？（不必证明） 说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分. 解： 设A1是AB的二等分点，则 ＝ （a＋b）， ＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （a＋ b）＋ ＝ （a＋b）＋ × （a＋b）＝ （a＋b）， 设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＝a＋b（k＝1，2，…，n－1）， 设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＋…＋ ＝ （a＋b）， 设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＋…＋ ＝ （a＋b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $