第5章 分式与分式方程（考点梳理对点练）-【千里马·单元测试卷】2025-2026学年八年级下册数学(北师大版·新教材)

单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 第五章 分式与分式方程 考点11分式及其基本性质 ⊙建议用时：20分钟答案P28 考点梳理 简分式有 个 1.分式的定义T1 7.(山东淄博期未)已知分式5x+”(m,n为常 2.分式有意义的条件T2 x+m 3.分式值的有关问题T7,T9 数)满足如下表格中的信息： 4.分式的基本性质T3,T4 x的取值 -2 0.4 2 5.约分T5,T8 分式的值 无意义 0 q 6.最简分式T6 则表中的g值为 1.下列各式中，属于分式的是 8.约分： A.x-1 B号 (1)2m-8 m2-16 C.(mn) 2若分式有意义，则x的取值范图是( a2-b2 A.x≠0 B.x≠-1 (2)a+2b+B C.x≠1 D.x=1 3.下列各式中，从左到右的变形正确的是 ( A.x+1 Bx=- y+1-y -Y C.= D.、x2 0y 4.如果把分式3y中的x和y都扩大为原来的2 9当x取什么值时，分式2x+4 x-1 x-V (1)没有意义？ 倍，那么分式的值 (2)有意义？ A.不变 B.缩小为原来的 1 (3)值为零？ C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍 5.要将，竖化成最简分式，应将分子分母同时 20x2y 约去它们的公因式，这个公因式为 6下列分式品品共长器其最 —16 第五章分式与分式方程 考点12分式的运算 ⊙建议用时：25分钟答案P28 考点梳理 上的平均速度为 ( 1.分式的乘法T2 A.m+n千米/时 2 B.mn千米/时 2.分式的除法T3,T7,T10 m +n 3.通分T4 C.2mn千米/时 D.m+n千米/时 4.最简公分母T1,T4 m +n mn 5.分式的加法T6,T7,T8,T10 6计算2+2 4 6.分式的减法T8,T10,T13 7.分式的化简求值T9,T11,T12 7.新考法试卷上一个正确的式子 8.分式的简单应用T5 (6+。动÷★子6被小额同学不小 1 1分式6品，和的最简公分是 心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 A.6xyz B.6xyz C.12x2yz D.12xyz 1+60 8.若a,b为实数，且ab=1,设P=a 2化简安· ah+6中则P Q.（填“>” “<”或“=”) x2 B.xy2 C.x D.y'z 9已知+3x-1=0,则代数式x-士+1的值 3化简2÷ag二业的结果是 为 (a-1)2 10.计算： ) (1)y+x-1: AI x-Y Y-x B.a a C.a+1 D.a-1 a-1 a+1 4把，2-2z+5✉子3通分的过程 2 中，不正确的是 （) A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 2 B.1 (2)2,÷2a-41 a-1÷a2-i+2-a 2 2x-2 x+3)=(-2)(x+3) C.- x+3 D.(x-2)(x+3=(x-2)(x+3)7 5.小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为 m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的 平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路 -17 单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 1(a先化筒，再求值（品-2 13.【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m >n>0,若分式的分子、分母都加上1，所 其中x=2. m 得的分式”+1的值增大了还是减小了？” m+1 小明的思路是“用品诚去只号判断差的正 负性”； 小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分 母相同的形式，再比较分子的大小”.两人的 (2)先化简（千+刂子产24+再从 解题思路都正确 -1,0,1三个数中选择一个你认为合适 【问题】 的数作为x的值代入求值 (1)小亮提出问题：已知m>n>1,分式”的 m 分子分母都减去1后所得的分式”-1 m-1 的值增大了还是减小了？请你解答这个 问题； (2)小明进一步提出问题：已知m,n,a均不 为0，且m>n>a,分式”的分子、分母都 m 减去a后，所得分式”二a的值增大了还 "m-a 是减小了？请你解答这个问题 2若a+-1=0,求代数式6 2的值 -18 第五章分式与分式方程补 考点13分式方程及其解法 ⊙建议用时：20分钟答案P29 考点梳理 1.分式方程的定义T1 22+22 2.解分式方程T4,T6 3.含参分式方程的解T2,T3,T7 4.新定义问题T5 1.下列方程不是分式方程的是 B.10=5 x x-1 7已细关于x的方程，2+”2-2 (1)当m=5时，求方程的解； c-2 D-若-3 (2)当m取何值时，此方程无解？ (3)当此方程的解是正数时，求m的取值 2若=1是分式方程)+中=受的根，则m 范围. 的值是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3若关于x的方程子=1产无解，则的 值为 A.3 B.1 C.0 D.-1 4已知分式2与，4的值互为相反数，则：的值 为 5.对于非零实数m,n,规定m☆n= 2 m+1+n-1' 若(3x+2)☆x=1,则x的值为 6.解下列分式方程： -19 需单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 考点14分式方程的实际应用 ⊙建议用时：30分钟答案P29 考点梳理 3.随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒 1.行程问题T1 精也逐渐成为家庭中的必备品.药店可以买到 2.工程问题T8 75%和95%两种浓度的酒精，人们通常选用 3.销售问题T5,T7 75%的酒精对皮肤和一般物体表面消毒.现要 将2kg浓度为95%的酒精，稀释为75%的酒 4.几何图形问题T4 精，设需要加水xkg根据题意，下列方程正确 5.航行问题T6 的为 6.数学文化问题T2 A.2×0.95=0.75x B.2×0.75=0.95x 7.其他问题3，T9 C.2×0.95=0.75 D.2×0.75=0.95 2+x 2+x 1.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450千 4.新情境《千里江山图》是宋代王希孟的作品. 米的普通公路，一条是全长330千米的高速公 如图，它的局部画面装裱 路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在 前是一个长为2.4米，宽 普通公路上快35千米/时，由高速公路从甲地 为1.4米的长方形，装裱 到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙 后，这幅图画宽与长的比 4题图 地所需时间的一半.如果设该客车由高速公路 是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽 从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足 度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题 的分式方程是 意可列方程 ( 4.450、330 +35×2 B.450=330-35 A14-8-8 B.1.4+x8 2x 2.4-x13 2.4+x13 c.450.30-35 D.330_450=35 C.14-2x=8 D .4+2x8 2x 2x 2.4-2x13 2.4+2x13 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问 5.某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育 器材，已知A类器材比B类器材的单价低 题.一组人平分10元钱，每人分得若干；若再 10元，用150元购买A类器材与用300元购 加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与 买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为 第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次 元 分钱的人数为x,则可列方程为 ( 6.轮船顺水航行80km所需要的时间与逆水 A.10x=40(x+6) B.10(x-6)=40x 航行60km所需要的时间相同，已知水流的 C.10、40 D.10-40 速度是3km/h,则轮船在静水中的速度为 xx+6 x-6=x km/h -20 第五章分式与分式方程 7.黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于：9.某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经 明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被 济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊 列为贡品.某特产店批发了A,B两种不同型 位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方 号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比 米的费用为20元，建B类摊位每平方米的费 B型黄元米果的单价多1.5元，且用120元购 用为40元，用150平方米建A类摊位的个数 买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄 恰好等于用90平方米建B类摊位的个数： 元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是 (1)求每个A,B类摊位占地面积各为多少平 元 方米； 8.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲 (2)该社区拟建A,B两类摊位共100个，且 队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完 B类摊位的数量不少于A类摊位数量的 成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天 2倍，求建造多少个A类摊位，多少个B类 和乙队单独施工30天的工作量相同！ 摊位，才能使总费用最少，并求出建造这 (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需要几天？ 100个摊位的最少费用. (2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设 备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不 影响工程进度，甲队的工作效率提高到原 来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙 队的工作量的2倍，甲队至少再单独施工 多少天？ -21需单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 11.6或4√5或25 [解析]：∠ABC=90°，AB=4,BC=3, .AC=√32+42=5. D H D. 11题答图 ①如答图，当LABD1=90°时，连接BD1 AD1=AC,∠ABC=90°， .点D1,B,C在同一直线上， ∴.BD1=√AD-AB2=3,.CD1=BC+BD1=6; ②当∠BAD2=90°时，连接BD2,CD2,过点D2作D2H1 CA的延长线交AC于点H, 则∠D2HA=∠ABC=90. ∠D2AH+∠BAC=90°，∠D2AH+∠AD2H=90°， ..∠AD,H=∠BAC. AD2=AC,∴.△AD2H≌△CAB, .D2H=AB=4,AH=BC=3,..CH=AH+AC=8, ∴.CD2=√HD+HC=√42+82=45； ③当∠BAD3=90°时，连接BD3,CD3,过点C作CE⊥ AD3于点E. AB⊥AD3, .AB∥EC,∴.∠BAC=∠ACE. 又∠ABC=∠AEC=90°，AC=CA, .△ABC≌△CEA, .CE=AB=4,AE=BC=3,..ED3=AD3 -AE=5-3= 2,.CD3=√CE2+ED=√42+22=25； ④当∠BD4A=90°时，AB为Rt△ABD4的斜边，AD4和 BD4为两直角边，则有AB>AD4. AB=4,AD4=AC=5,∴.矛盾，故此情况不成立. 综上所述，CD的长为6或4√5或2√5. 故答案为6或45或25. 12.解：(1)如答图，△AB'C即为所求。 LZ701707-3712 B --1---7--1 A 12题答图 (2)由题易知B'C'=4,BB'=8,∠BB'C'=90°， .BC=√42+82=45. 13.解：(1)①60°②4 ③.：△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD, ∴.CD=OA=3,B0=BD=4,∠OBD=60°， ,△OBD为等边三角形， ∴.∠BD0=60 在△0CD中，CD=3,0D=4,0C=5, .CD2+0D2=0C2. .△OCD为直角三角形，∠ODC=90°， ∴.∠BDC=∠BD0+∠ODC=150°. (2)当0A2+20B2=0C2时，∠0DC=90° 证明：·△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD, .∴.∠OBD=∠ABC=90°，OB=BD,OA=CD, ∴.△OBD为等腰直角三角形， .0D2=0B2+BD2=20B. ·∠0DC=90°， .CD2+0D2=0C2 .0A2+20B2=0C2, .当0A,0B,OC满足0A2+20B2=0C2时， ∠0DC=90°. 第四章因式分解 考点10因式分解 1.D2.B3.C4.4780005.(2a+b)(2b+a) 6.解：(1)原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2. (2)原式=(x-y)(9a2-4b2) =(x-y)(3a+2b)(3a-2b). 7.解：a-b=1且ab=2,.a3b-2a2b2+ab3=ab(a2- 2ab+b2)=ab(a-b)2=2×12=2. 8.解：△ABC是等边三角形.理由如下： .a2+2b2-2b(a+c)+c2 =a2+2b2-2ab-2bc+c2 =(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2) =(a-b)2+(b-c)2, ∴.(a-b)2+(b-c)2=0, .a-b=0,b-c=0, ∴.a=b,b=c,∴a=b=c,∴.△ABC是等边三角形. 第五章分式与分式方程 考点11分式及其基本性质 1.D2.C3.C4.C 5.5xy6.27.2 2(m-4) .解：（①）原式=m+4)(m-4) (2)原式=(a+b)(a-b)=a-b (a+b)2a+b 9.解：(1)由题意，得x-1=0,解得x=1. (2)由题意，得x-1≠0，解得x≠1. (3)由题意，得2x+40解得x=-2 1x-1≠0， 考点12分式的运算 1.A2.D3.A4.C5.C 627a268=9-2 10解（原武=六y产，1-11-1-2 x-y 2)原式=品02号 = a-2 业解：)原式-（品动青· x+1 (x+1)2=-(x-12.(x+1)2 x-1x+1x-1 =-x-1. 当x=2时，原式=-2-1=-3. 2)式--]Ψ =1(x+1)2 x+1x-1 飞+1 x-1 要使分式有意义，x不能取-1,1，.x=0. 当=0时，原式8片-1 =02-2.1262 462a-b =（a+b)(a-b),12b2 462 a-b =3(a+b). a+b-1=0, .a+b=1, .原式=3×1=3. 13.解：(1)”--l=n(m-)-m(n-1=m-n m m-1 m(m-1) m(m-1) m>n>1,.m-n>0,m(m-1)>0, m(m-1>0,即n>n-】 m-n m m-1' 小分式品的分子、分每都减去1后所得的分式员引的 值减小了 (2)”-n-a-n(m-）-m(n-a-_(m-n)a m m-a m(m-a) m(m-a) 'm>九>a, .当m>n>a>0时，(m-n)a>0,m(m-a)>0, （m-m>0,”>-a,减小了； m(m-a) mm-a' 当0>m>n>a时，(m-n)a<0,m(m-a)<0, m->0,几>D-a,减小了； m(m-a) m m-a 当m>0>n>a时，(m-n)a<0,m(m-a)>0, “风n<0,即只<塔大了： m m-a' 当m>n>0>a时，(m-n)a<0,m(m-a)>0, m-m<0,即”<-a,增大了. m(m-a) m m-a' 考点13分式方程及其解法 1.D2.A3.A 4-1【解折]：分式2与分式3年的值互为相反数， 2+34=0,去分#，得2(3+)+红=0，解得 -1,经检验，x=-1是原方程的根. 5-片〔解折]由题意，得321+，=1，参理，得 -2 参考答案及解析补 3x3+产1，解得=行经检验，=行是原 2 方程的根 6.解：(1)方程两边都乘最简公分母(x+5)(x-3),得(x -1)(x-3)=x(x+5). 去括号，得x2-3x-x+3=x2+5x. 移项、合并同类项，得-9x=-3. 两边都除以-9，得x=3 1 检验：当x=号时，(x+5)(x-3)0, ∴=号是原方程的根 (2)方程两边都乘最简公分母(x+2)(x-2), 得x-2+3(x+2)=6. 去括号，得x-2+3x+6=6. 移项、合并同类项，得4x=2. 两边都除以4，得=宁 检验：当x=时，(x+2)(x-2)≠0， x=弓是原方程的根 1解：(1)把m=5代人方程，22+2-2，得 2x 5 x-2+x-2=-2, 方程两边都乘(x-2),得2x+5=-2x+4, 所以=一子 经检验，=一4是原方程的根 (2)方程两边都乘(x-2),得 2x+m=-2x+4. 当x=2时，m=-4, .∴.当m=-4时，此方程无解 (3)去分母，得2x+m=-2x+4,解得x=4-m 4 因为x>0,所以4>0，解得m<4 因为x≠2，所以m≠-4. 综上所述，m<4且m≠-4. 考点14分式方程的实际应用 1.D2.D3.C4.D5.206.217.6 8.解：(1)设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独 完成此项任务需要(x+10)天. 由题意，得40=9解得x=20, 经检验，x=20是原方程的根，∴.x+10=30. 答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此 项任务需要20天. (2)设甲队再单独施工a天，由题意，得 易+号2×易解得2 答：甲队至少再单独施工3天. 需单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 9.解：(1)设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个 A类摊位占地面积为(x+2)平方米. 根据题意得9望解得x=3, 经检验，x=3是原方程的根，且符合题意，∴.x+2=5. 答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位 占地面积为3平方米. (2)设建造A类摊位a个，则建造B类摊位(100-a)个 根据题意，得100-0≥2，解得a≤9 设建造这100个摊位的费用为z元， .z=20×5a+40×3(100-a)=-20a+12000. -20<0,∴.z随着a的增大而减小， ∴.要想使建造费用z最小，需使a取最大值， a是正整数， ∴.当a=33时，z最小 此时z=-20×33+12000=11340, 100-33=67(个). 答：建造33个A类摊位、67个B类摊位时，费用最少， 最少费用为11340元. 第六章平行四边形 考点15平行四边形的性质及判定 1.D2.A3.A4.25.50 6.证明：四边形ABCD是平行四边形 .AB=CD,AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC. ·.:∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF, .∴.∠ABE=∠CDF. .·BE=DF,∴.△ABE≌△CDF,∴.AE=CF 7.证明：CE∥AB,.∠ADE=∠CED. r∠ADO=∠CEO, 在△AOD和△COE中，{∠AOD=∠COE, LOA=OC. ∴.△AOD≌△COE(AAS),.OD=OE. 又：OA=0C, .四边形ADCE是平行四边形 8.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC E,F分别是AD,BC的中点， .DE-2AD,BF-7BC, .DE=BF ∴.四边形BFDE是平行四边形， ∴.BE=DF (2)解：AD∥BC, .∴.∠AEB=∠CBE. BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE, .LABE=∠AEB. 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC=9,AB=5, .'AE=AB=5, .∴.DE=AD-AE=9-5=4. 9.（1)证明：.：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. BE=DF,∴.BE-AB=DF-CD,∴.AE=CF AE∥CF,∴.四边形EAFC是平行四边形. .3 (2)解：·四边形ABCD是平行四边形， ..AD∥BC .∠BCF=∠D=55. 四边形EAFC是平行四边形， ∴.∠F=∠E=55°， .∠AHB=∠CHF=180°-∠F-∠BCF=70°. 10.解：(1)设计图形如答图①（设计图形不唯一）. AM=CN(答案不唯一) 理由：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC. :AM=CN,∴.DM=BN .四边形MBND是平行四边形. AM D D B N 10题答图① 10题答图② (2)如答图②.四边形ABCD是平行四边形，四边形 AMCN为平行四边形， .AM∥BN,∴.∠MAB=∠ABC=30. :AC=BC=6,∴.∠CAB=∠CBA=30°， ∴.∠MAB=∠CAB=30°，.∠MAC=60°. .AC=AM=6,.△ACM是等边三角形， .MC=6. 考点16三角形的中位线 1.C2.B3.C4.C 5.26.300 7.(1)证明：D,E分别是AC,BC的中点， .DE是△ABC的中位线， ..DE∥AB. EF∥DB,∴.四边形BDEF是平行四边形， ∴.BF=DE (2)解：∠ABC=90°，DE∥AB, .∠DEB+∠ABC=180°，∴.∠DEB=90° BD=5,DE=3,∴.BE=√DB2-DE2=4. E是BC的中点， .∴.BC=2BE=8. 8.解：(1)四边形DEFG是平行四边形 理由：E,F分别为线段OB,OC的中点， .EF-BC,EF//BC. 同理可得DG=8C,DG/BC, ∴.EF=DG,EF∥DG, ∴.四边形DEFG是平行四边形. (2).∠0BC=∠0CB=45°，∴.∠B0C=90. EF∥BC,∴.∠OEF=LOBC=45°，LOFE= ∠0CB=45°，.∠0EF=∠0FE, ∴.OE=0F. M为EF的中点，.OM⊥EF, ∴.∠EOM=∠0OEF=∠MOF=∠OFE=45°， .∴.OM=EM,OM=MF, ∴.OM=EM=MF, ∴.EF=20M=4,∴.BC=2EF=8.