第7章 幂的运算 新课预习讲义 (重点知识梳理+常考题型+巩固测试)-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

本讲义聚焦初中数学“幂的运算”核心知识点，系统梳理同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，构建从定义法则到逆用再到混合运算的递进学习支架。 资料通过13种题型归纳、知识点精讲与变式训练，培养学生运算能力与推理意识，如逆用题型引导逆向思维，科学记数法结合实际情境强化数学语言表达。课中辅助教师授课，课后测试助力学生查漏补缺，提升学习效果。

第7章 幂的运算 新课预习讲义 （苏科版） 💦 题型归纳 题型1 同底数幂相乘. 题型2 同底数幂乘法的逆用. 题型3 用科学记数法表示数的乘法. 题型4 幂的乘方运算. 题型5 幂的乘方的逆用. 题型6 积的乘方运算. 题型7 积的乘方的逆用. 题型8 同底数幂的除法运算. 题型9 同底数幂除法的逆用. 题型10幂的混合运算. 题型11零指数幂. 题型12负整数指数幂. 题型13巩固测试题. ☘ 重点知识●梳理 ◉【知识点一：同底数幂的乘法】 1. 乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.字母表示（核心公式）：（其中a≠0，都是正整数） ★注意：同底数幂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加．指数为1，计算时不要遗漏． 3.同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数， 4.字母表示：（都是正整数）． ◉【知识点二、同底数幂的除法】 1.除法法则：底数不变，指数相减. 2.字母表示：（其中≠0，都是正整数，并且） 3.同底数幂相除逆运算： ◉【知识点三、幂的乘方】 1.乘方法则：底数不变，指数相乘． 2.字母表示： 即（其中都是正整数）． ★注意：幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. 3.幂的乘方逆运算： ◉【知识点四、积的乘方】 1.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2.字母表示：（其中≠0，b≠0，n为正整数） ★注意：积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方． 3.积的乘方逆运算： ◉【知识点五、零指数幂】 1. 语言描述：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 2. 字母表示：（≠0）。 注意：◆底数a不能为0,00无意义。 ◆任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。因此常数项也叫0次单项式。 ◉【知识点六、负整数指数幂】 1.语言描述：任何不等于0的数的-p(p为正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。 ★注意：“a≠0”. ◆当底数是分数时，只要把分子分母颠倒，负指数就可变为正指数 ◉【知识点七、核心解题技巧】 1.“同底数、相乘”→ 指数相加（同底数幂乘法）； 2.“同底数、相除”→ 指数相减（同底数幂除法）； 3.“幂的乘方”→ 指数相乘（底数不变）； 4.“积的乘方”→ 每个因式分别乘方，再相乘； 5.“0次幂”→ 直接写1（注意a≠0）； 6.“负指数幂”→ 转化为正指数幂的倒数（注意a≠0）； 7.混合运算：先乘方、再乘除、最后加减，符号先判断，再计算数值。 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1.同底数幂相乘 例1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．计算：______． 变式2．小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 题型2.同底数幂乘法的逆用 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 变式1．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 变式2．已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 题型3.用科学记数法表示数的乘法 例3．电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 变式1．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 变式2．计算（结果用科学记数法表示）： (1)8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）． 题型4.幂的乘方运算 例4．下列运算不正确的是（  ） A． B． C． D． 变式1．已知，，，则、、的大小关系是___________． 变式2．嘉琪在学习幂的乘方时，发现，，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由． 题型5.幂的乘方的逆用 例5．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．已知，则值为_________． 变式2．若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 题型6.积的乘方运算 例6．下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 变式1．计算：=___________． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型7.积的乘方的逆用 例7．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．如果，，那么______．（用含、的式子表示） 变式2．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 题型8.同底数幂的除法运算 例8．计算的结果是（    ） A． B． C． D．a 变式1．已知，则的值为________． 变式2．某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为米/秒，则该卫星运行米所需要的时间约为多少秒？ 题型9.同底数幂除法的逆用 例9．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 变式1．若，则代数式的值为____________． 变式2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型10.幂的混合运算 例10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知，化简，其结果为______． 变式2．计算： 题型11.零指数幂 例11．计算 的结果是（    ） A． B． C． D．1 变式1．若式子有意义，则实数满足___________ 变式2．计算：． 题型12.负整数指数幂 例12．小马在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，则________． 变式2．规定，求： (1)求； (2)若，求的值． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下面是小张同学完成的填空作业，每道题20分，请计算小张的得分是（   ） ①．的绝对值是 12 ②．将489000用科学记数法表示为 ③．已知关于x的方程与的解相同，则k的值是________ ④．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小的原因是：垂线段最短 ⑤．若，则 6 A．80 B．60 C．40 D．20 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 5．若则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．计算：______． 8．已知：，，则__________． 9．，___________． 10．计算：________． 11．已知，则的值为__________． 12．计算__________（其中为正整数） 三、解答题 13．计算： (1) (2) (3)解方程：． 14．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 16．（1）先化简，再求值：，其中 （2）若，求的值． 17．用简便方法计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 新课预习讲义 （苏科版） 💦 题型归纳 题型1 同底数幂相乘. 题型2 同底数幂乘法的逆用. 题型3 用科学记数法表示数的乘法. 题型4 幂的乘方运算. 题型5 幂的乘方的逆用. 题型6 积的乘方运算. 题型7 积的乘方的逆用. 题型8 同底数幂的除法运算. 题型9 同底数幂除法的逆用. 题型10幂的混合运算. 题型11零指数幂. 题型12负整数指数幂. 题型13巩固测试题. ☘ 重点知识●梳理 ◉【知识点一：同底数幂的乘法】 1. 乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.字母表示（核心公式）：（其中a≠0，都是正整数） ★注意：同底数幂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加．指数为1，计算时不要遗漏． 3.同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数， 4.字母表示：（都是正整数）． ◉【知识点二、同底数幂的除法】 1.除法法则：底数不变，指数相减. 2.字母表示：（其中≠0，都是正整数，并且） 3.同底数幂相除逆运算： ◉【知识点三、幂的乘方】 1.乘方法则：底数不变，指数相乘． 2.字母表示： 即（其中都是正整数）． ★注意：幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. 3.幂的乘方逆运算： ◉【知识点四、积的乘方】 1.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2.字母表示：（其中≠0，b≠0，n为正整数） ★注意：积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方． 3.积的乘方逆运算： ◉【知识点五、零指数幂】 1. 语言描述：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 2. 字母表示：（≠0）。 注意：◆底数a不能为0,00无意义。 ◆任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。因此常数项也叫0次单项式。 ◉【知识点六、负整数指数幂】 1.语言描述：任何不等于0的数的-p(p为正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。 ★注意：“a≠0”. ◆当底数是分数时，只要把分子分母颠倒，负指数就可变为正指数 ◉【知识点七、核心解题技巧】 1.“同底数、相乘”→ 指数相加（同底数幂乘法）； 2.“同底数、相除”→ 指数相减（同底数幂除法）； 3.“幂的乘方”→ 指数相乘（底数不变）； 4.“积的乘方”→ 每个因式分别乘方，再相乘； 5.“0次幂”→ 直接写1（注意a≠0）； 6.“负指数幂”→ 转化为正指数幂的倒数（注意a≠0）； 7.混合运算：先乘方、再乘除、最后加减，符号先判断，再计算数值。 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1.同底数幂相乘 例1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，需根据相关法则逐一判断选项的计算正误． 【详解】解：A．，故A不正确，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，不是同类项，不可加减，故C不正确，不符合题意； D．，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 变式1．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 变式2．小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法运算法则的推导． （1）根据乘方的意义解答即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2） 解：∵，，∴． 题型2.同底数幂乘法的逆用 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 变式1．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 【答案】14 【分析】根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数． 本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元． 由题意得． 参考数据：，，． 计算得， ， 故，． 故答案为：14． 变式2．已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型3.用科学记数法表示数的乘法 例3．电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查幂的乘法，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】解：依题意得． 故选：C． 变式1．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法，其中的形式表示即可． 【详解】解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 变式2．计算（结果用科学记数法表示）： (1)8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）． 【答案】(1)﹣3.96× (2)1.3× 【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可． 【详解】（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×； （2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型4.幂的乘方运算 例4．下列运算不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解：A：，正确，故该选项不合题意； B：，正确，故该选项不合题意； C：，错误，故该选项符合题意； D：，正确，故该选项不合题意． 故选：C． 变式1．已知，，，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【详解】解：，， 变式2．嘉琪在学习幂的乘方时，发现，，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由． 【答案】不同意，理由见解析 【分析】本题考查了幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据法则计算，再作判断． 【详解】解：不同意． 理由如下： 当时，，， 此时； 当时， ， ， 即， 所以不同意． 题型5.幂的乘方的逆用 例5．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 变式1．已知，则值为_________． 【答案】9 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法； 将9和27化为以3为底数的指数形式，利用指数运算法则计算，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式2．若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型6.积的乘方运算 例6．下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，需根据相关运算法则分别计算各选项，再与对比得出答案． 【详解】解：∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴对各选项计算如下： A选项：，符合要求； B选项：； C选项：； D选项：； ∴只有A选项计算结果等于． 故选：A． 变式1．计算：=___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方运算，先计算括号内的幂运算，再处理负号得，最后进行立方运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及逆用积的乘方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则，并能灵活运用积的乘方逆运算简化计算． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算各项，再合并同类项； （2）先将拆分为，再逆用积的乘方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： （2）解： 题型7.积的乘方的逆用 例7．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：D 变式1．如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方，掌握好幂运算的法则是关键． 利用积的乘方法则，将转化为，再代入已知条件即可． 【详解】解：由积的乘方法则可得，． 故答案为：． 变式2．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 题型8.同底数幂的除法运算 例8．计算的结果是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可求解． 【详解】解：． 变式1．已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 变式2．某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为米/秒，则该卫星运行米所需要的时间约为多少秒？ 【答案】卫星运行米所需要的时间约为秒 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，列出算式解答即可． 【详解】解：由题意，得 （秒）， 所以卫星运行米所需要的时间约为秒． 题型9.同底数幂除法的逆用 例9．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式1．若，则代数式的值为____________． 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键，利用幂的乘方将原式进行化简，再整体代入求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：2． 变式2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值； （1）根据已知，逆用幂的乘方，同底数幂的乘除法可得，则，进而得出，即可求解； （2）观察等式可得时，等式右边等于，则将代入即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ； （2）∵ 当时， 题型10.幂的混合运算 例10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键． 变式1．已知，化简，其结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算是关键．先用积的乘方公式计算，然后用幂的乘方公式计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，结合零指数幂的计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 题型11.零指数幂 例11．计算 的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据零指数幂的运算性质，运用“任何非零数的0次幂等于1”即可计算得出结果． 【详解】解：． 变式1．若式子有意义，则实数满足___________ 【答案】 【分析】依据零指数幂有意义的条件求解． 【详解】解：， 解不等式得． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】先计算负整数幂，零指数幂，求绝对值，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 题型12.负整数指数幂 例12．小马在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、负整数指数幂的运算法则，逐一判断各选项的正误，找出正确的选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 变式1．若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 变式2．规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则进行计算； （2）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∴， 解得 ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下面是小张同学完成的填空作业，每道题20分，请计算小张的得分是（   ） ①．的绝对值是 12 ②．将489000用科学记数法表示为 ③．已知关于x的方程与的解相同，则k的值是________ ④．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小的原因是：垂线段最短 ⑤．若，则 6 A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【分析】逐题判断小张作答的对错，统计正确题数，结合每题20分计算总得分． 【详解】解:① 求的绝对值，，，小张作答正确，得20分． ② 用科学记数法表示为，符合科学记数法规则，小张作答正确，累计得40分． ③解方程得，代入得，解得；小张未作答，不得分 ④剪树叶后周长变小的原因是“两点之间线段最短”，小张填“垂线段最短”，作答错误，不得分． ⑤计算，得，小张作答正确，累计得60分． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方公式计算即可． 【详解】解： ． 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 4．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 5．若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 6．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 二、填空题 7．计算：______． 【答案】10 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，掌握知识点是解题的关键． 依据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 8．已知：，，则__________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的除法的逆运算将转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9．，___________． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂相乘，同底数幂相除，将方程中的数都化为以2为底的幂，利用同底数幂相乘，同底数幂相除进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：4． 10．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，有理数的乘方运算，掌握其运算法则是关键．先将转化为，再根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方运算将和化为以2为底的幂，然后根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 12．计算__________（其中为正整数） 【答案】 【分析】令 ，将分子和分母化简，然后约分得到结果． 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握运算公式是解题关键． 【详解】令 ，则 ． 分子为 ， 分母为 ， 所以原式 = ． 故答案为： ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) (3)解方程：． 【答案】(1)80 (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，幂的混合运算，解一元一次方程： （1）先根据负整数指数幂，零指数幂化简，再计算加减即可； （2）先根据积的乘方和同底数幂乘法计算，再合并即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1即可求得结果 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 14．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及乘方的运算法则． （1）根据同底数幂乘法法则，将变形，代入已知条件求值即可； （2）根据同底数幂的乘方和除法法则，将变形，代入已知条件求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（1）先化简，再求值：，其中 （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）根据非负数的性质求出，再将代入，利用幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $