第7章《锐角三角函数》单元复习卷 2024--2025学年苏科版七年级数学下册

苏科版九年级下册第7章《锐角三角函数》单元复习卷 一．选择题（共10小题） 1．若，则α是多少度（　　） A．30° B．45° C．60° D．任意度数 2．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知，则锐角A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，cosA的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知α为锐角，且，则α等于（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则cosB＝（　　） A． B． C．3 D． 9．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值为（　　） A． B．2 C． D． 10．如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿AC修了一条小路，已知AB＝m米，新修小路与AB的夹角∠CAB＝θ，则小路AC的长为（　　） A．msinθ米 B．米 C．mcosθ米 D．米 二．填空题（共6小题） 11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值为，那么∠B的正弦值为　 　． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝ 　 　．（结果用α的锐角三角函数表示） 13．已知一个斜坡的坡角为α，坡度为1：2，那么cosα＝ 　 　． 14．计算sin245°+cos30°•tan60°＝　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB＝　 　． 16．中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊AB的坡度i为1：2，房子侧宽BC为12米，则斜脊AB的长为　 　米． 三．解答题（共7小题） 17．计算：． 18．如图，在△ABC中，BC＝12，，∠B＝30°，求AB的长． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20．求sinA的值． 20．安徽省安庆市振风塔号称是“万里长江第一塔”，如图，小路和同学一起测量振风塔的高度，他们在A处利用高为1.6米的测角仪AB测得安庆振风塔EF顶部E的仰角为30°，然后朝着振风塔的方向前进68米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求振风塔的高度．（结果精确到0.01米） 21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：1.414，1.732） 22．如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？ 23．小新的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：操场 时间：2025月1月13日 昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，我和小越用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆AB＝a，影长BC＝b，旗杆的影长DF＝c，则可求得旗杆DE的高度为 　 　． 今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高度吗？ 请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C A B A D B D 一．选择题（共10小题） 1．若，则α是多少度（　　） A．30° B．45° C．60° D．任意度数 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：∵， ∴α＝30°． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA， 故选：C． 3．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理可以求得AB的长，再根据锐角三角函数，即可求得sinB的值． 【解答】解：由图可得， AB3， ∴sinB， 故选：D． 4．已知，则锐角A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可． 【解答】解：∵，∠A为锐角， ∴∠A＝60°． 故选：C． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据正切的定义计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， 则BC4， ∴tanB， 故选：A． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】勾股定理求得AC，然后根据余弦的定义即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5， ∴， ∴， 故选：B． 7．已知α为锐角，且，则α等于（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：由α为锐角，且，得：α＝45°． 故选：A． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则cosB＝（　　） A． B． C．3 D． 【分析】利用锐角三角函数的定义即可得出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝6，BC＝2， ∴cosB． 故选：D． 9．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据tanα计算即可． 【解答】解：由图得，tanα2， 故选：B． 10．如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿AC修了一条小路，已知AB＝m米，新修小路与AB的夹角∠CAB＝θ，则小路AC的长为（　　） A．msinθ米 B．米 C．mcosθ米 D．米 【分析】已知∠CAB的邻边，求它的斜边，应该用∠CAB的余弦值，进而可得相关代数式． 【解答】解：由题意得：∠ABC＝90°， ∵cosCAB，AB＝m米，∠CAB＝θ， ∴AC． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值为，那么∠B的正弦值为　　． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：∠A的正弦值是，即， ∴设BC＝2k，则AB＝5k，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝ 　2cosα　．（结果用α的锐角三角函数表示） 【分析】根据余弦的定义可得BC＝AB•cosB＝2cosα． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2， ∵cosB， ∴BC＝AB•cosB＝2cosα． 故答案为：2cosα． 13．已知一个斜坡的坡角为α，坡度为1：2，那么cosα＝ 　　． 【分析】设斜坡的铅直高度为x，根据坡度的概念用x表示出水平距离，根据勾股定理求出斜坡的长，再根据余弦的定义计算即可． 【解答】解：设斜坡的铅直高度为x， ∵斜坡的坡度为1：2， ∴斜坡的水平距离为2x， 由勾股定理得：斜坡的长为：x， 则cosα， 故答案为：． 14．计算sin245°+cos30°•tan60°＝　2　． 【分析】先利用特殊角的三角函数值得到原式＝（）2+（），然后进行二次根式的混合运算． 【解答】解：原式＝（）2+（） 3 ＝2． 故答案为：2． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB＝　　． 【分析】根据直角三角形的边角关系以及勾股定理求出答案即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA， 可设BC＝3k，则AB＝5k， ∴AC4k， ∴tanB， 故答案为：． 16．中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊AB的坡度i为1：2，房子侧宽BC为12米，则斜脊AB的长为　3　米． 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD（米），斜脊AB的坡度i为1：2，得到，求得AD＝3米，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，BC＝12米， ∴BD（米）， ∵斜脊AB的坡度i为1：2， ∴， ∴AD＝3米， ∴AB3（米）， ∴斜脊AB的长为3米． 故答案为：3． 三．解答题（共7小题） 17．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：原式2×（1）+4 22 ＝﹣222 ＝2． 18．如图，在△ABC中，BC＝12，，∠B＝30°，求AB的长． 【分析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，先解Rt△DBC得到CD＝6，，再解Rt△ADC得到AD＝8，进而由AB＝AH+HB求出结果． 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D， 在Rt△DBC中，∠BDC＝90°，∠B＝30°，BC＝12， ∴，， 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，， ∴， ∴AD＝8， ∴． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20．求sinA的值． 【分析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC＝45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中利用正弦函数的定义求得sinA的值即可． 【解答】解：在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10， ∴BC＝BD•sin∠BDC＝1010． 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝20， ∴sinA． 20．安徽省安庆市振风塔号称是“万里长江第一塔”，如图，小路和同学一起测量振风塔的高度，他们在A处利用高为1.6米的测角仪AB测得安庆振风塔EF顶部E的仰角为30°，然后朝着振风塔的方向前进68米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求振风塔的高度．（结果精确到0.01米） 【分析】设振风塔EF的高为x米，可得EG＝（x﹣1.6），进而得到，，根据线段的和差得到，再结合CA＝68米，列方程即可求解． 【解答】解：设振风塔EF的高为x米，可得EG＝EF﹣GF＝（x﹣1.6）米， 依题意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF（设垂足为G）， 在Rt△EGD中，， 在Rt△EGB中，米， ∴米， ∵CA＝68米， ∴， 解得：， 则振风塔的高度约为60.49米． 21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：1.414，1.732） 【分析】延长AD交EF于点G，设EG＝x，证明四边形ABFG是矩形，∠AGE＝90°，得到∠AEG＝∠EAG＝45°，得到AG＝EG＝x，得到DG＝x﹣7，根据∠EDG＝60°，得到，求得，根据GF＝1.68，即得故旗杆EF的高度约18.2m． 【解答】解：延长AD交EF于点G，设EG＝x， 由题意可知：AG⊥EF， ∴∠B＝∠F＝∠AGF＝90°， ∴四边形ABFG是矩形， ∵∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴AG＝EG＝x， ∵AD＝7， ∴DG＝x﹣7， ∵∠EDG＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵GF＝AB＝1.68， ∴EF＝EG+GF ＝16.562+1.68 ＝18.242 ≈18.2． 故旗杆高度约18.2m． 22．如图，一艘船在海岛A望灯塔C在北偏西30°方向上，上午8时此船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B，此时望灯塔C在北偏西60°方向上． （1）求从海岛B到灯塔C的距离； （2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？ 【分析】（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解； （2）利用直角三角形的特征得BH＝30，再根据速度、时间及路程的关系即可求解． 【解答】解：（1）AB＝（10﹣8）×30＝60， ∵∠CBN＝∠A+∠C， ∴∠C＝∠CBN﹣∠A＝60°﹣30°＝30°， ∴∠C＝∠A， ∴BC＝AB＝60（海里）， 答：从海岛B到灯塔C的距离为60海里． （2）作CH⊥AB，垂足为H． ∴∠BHC＝90°， ∴∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠BCH＝90°﹣∠HBC＝90°﹣60°＝30°， ∴， 30÷30＝1（h）， 10+1＝11（h）， 答：11时，船距离灯塔C最近． 23．小新的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：操场 时间：2025月1月13日 昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，我和小越用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆AB＝a，影长BC＝b，旗杆的影长DF＝c，则可求得旗杆DE的高度为 　　． 今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高度吗？ 请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45） 【分析】证明△ABC∽△EDF，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算求出DE；过点H作HQ⊥DE于Q，HP⊥GD于P，根据正弦的定义求出DE． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴△ABC∽△EDF， ∴，即， 解得：DE， 过点H作HQ⊥DE于Q，HP⊥GD于P， 则QD＝HP＝0.3米， ∴EQ＝（ED﹣0.3）米， 由题意可知：EH＝EG﹣5， 在Rt△EQH中，∠EHQ＝54°， 则sin∠EHQ， ∴EQ＝EH•sin∠EHQ， ∴ED﹣0.3≈0.8（EG﹣5）， 在Rt△EDQ中，∠EGD＝37°， 则sin∠EGD， ∴ED＝EG•sin∠EGD， ∴ED≈0.6EG， 则， 解得：， ∴旗杆的高度约为11.1米． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$