专题05 二项分布、超几何分布及正态分布（10题型专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题05 二项分布、超几何分布及正态分布（10题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分布列的性质 1 题型二、期望、方差的性质（重） 3 题型三、二项分布的均值和方差 6 题型四、利用二项分布求分布列（重） 8 题型五、超几何分布的概率、分布列（重） 12 题型六、二项分布、超几何分布的综合（难） 17 题型七、正态分布的概率计算 23 题型八、正态曲线的应用（重） 25 题型九、正态分布与其他分布的综合 29 题型十、二项分布的概率最值问题（难） 34 B 综合攻坚·能力跃升 42 题型一、分布列的性质 1．随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 2．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P a 则 ． 【答案】/ 【详解】由离散型随机变量分布列性质得：，解得， ． 故答案为：． 3．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 4．已知随机变量的分布列如下表所示，当取最小值时， ． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时随机变量的分布列为 1 2 3 所以， 故答案为： ． 题型二、期望、方差的性质 5．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 6．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 7．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 8．（多选）离散型随机变量的数学期望为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A，由于，有，根据方差公式， ，因此， 不等式恒成立，故选项A正确； 选项B，，但是平均绝对偏差，当的取值使得时（例如以等概率取0和2）， 则，与相等，而非小于，因此，选项B不一定成立，错误； 选项C，令，则，且有， 由于可能为负，且，因此可能为负（例如取和的概率分布）， 导致，故选项C不一定成立，错误； 选项D，令，则， 由于，有，当等号成立，故选项D正确， 故选：AD. 9．北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 (1)求选取的3处遗产点都为A类的概率； (2)设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【分析】 【详解】（1）在9处中轴线遗产点中，随机选取3处共有种， 因类遗产点只有3处，故选取的3处遗产点都为类的概率为； （2）由题意可知，的可能取值为， 其中：选取的3处遗产点为同一类型，共种； ：处中包含两种类型，一种1个，一种2个，共有种； ：从三种类型中各选一个，共有种， 则，，， 则的分布列为： 则数学期望为； （3）因，则，， 则，， 又由于具有相同的分布，故， 故. 题型三、二项分布的均值和方差 10．已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】，， ，，又，解得，即，，当且仅当，又，即当时取等， 故选：B. 11．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 12．甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 13．若随机变量，且，则 . 【答案】或 【详解】，， ，，，或， 当时，， 当时，， 综上可知，或. 故答案为：或. 14．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 【答案】 0.9 8.1 【详解】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被Deep Seek正确回答”， 由题意知， 则， ． 已知Deep Seek答对的题数为X，则X服从二项分布， 则． 故答案为：. 题型四、利用二项分布求分布列 15．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. 16．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B 17．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； 【答案】(1)，中位数； (2)分布列见解析，. 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，， 解得， 由频率分布直方图可知： 前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 设中位数为，则. ， 解得. 所以，估计这50名学生成绩中位数为68. （2）的三组频率之比为， 又在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中总共抽取了11人， 从中分别抽取7人，3人，1人. 由题知，从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，所有可能取值为0，1，2，3； 且，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 18．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. （2）因为，所以第百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为. （3）20天中苹果销售量超过的有9天. 设“3天中每天的苹果销售量均超过”为事件，“3天中恰有2天的苹果销售量超过”为事件， 则，. 19．某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． (1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； (2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】(1) (2)分布列及期望见解析. (3) 【分析】 【详解】（1）设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. （2）依题意知服从超几何分布，且 ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . （3）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，，所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 题型五、超几何分布的概率、分布列 20．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 21．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以， 解得或（舍去）， 又因为随机变量Y服从二项分布， 所以 ． 故答案为: . 22．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 【答案】(1)0.5 (2)0.8 (3)分布列见解析，2.4，0.48 【详解】（1）事件表示“顾客购买甲种商品”，事件表示“顾客购买乙种商品”， 则：，. 由题意可知，与相互独立，故，. 购买一种商品包含“买甲不买乙”和“买乙不买甲”，即，且这两个事件互斥，因此：. （2）“至少购买一种”的对立事件是“两种都不买”，即. 所以:. （3）由题意可知，表示3位顾客中至少购买一种商品的人数，每位顾客“至少买一种”的概率为， 故（二项分布）. ①分布列 二项分布概率公式： 分布列： 表格 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ②期望 二项分布期望公式： ③方差 二项分布方差公式： . 23．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 24．随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 25．某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人． (1)求直方图中x，y的值； (2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少； ②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)， (2)① 30万元；②分布列见解析；期望为 【分析】 【详解】（1）因为， 故 由年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人可得： ， 故· 解得， （2）①学院毕业生年薪在区间的人数比例为：， 故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率， 故随机变量， 故 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 的数学期望 题型六、二项分布、超几何分布的综合 26．袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求： (1)有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差. 【答案】(1)分布列答案见解析， (2)分布列答案见解析， 【详解】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为.又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则. ；；； . 因此，的分布列为 0 1 2 3 . （2）不放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，且有： ；；. 因此，的分布列为 0 1 2 . 27．某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）； (2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有， 且，， 所以，考生甲正确完成选题数的概率分布列如下表： 1 2 3 记考生乙正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有， 且，， 所以，考生乙正确完成选题数的概率分布列如下表： 0 1 2 3 （2）， ， 从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为，因此可以判断甲考生的操作能力更强. 28．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．    (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量． (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列． (3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)件 (2)分布列见解析 (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）解：根据频率分布直方图，可得质量超过505克的产品的频率为，所以质量超过505克的产品数量为（件）． （2）解：重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件， 可得的取值为0，1，2，且服从超几何分布， 则，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 （3）解：根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为， 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验， 所以质量超过505克的件数的可能取值为0，1．2，且， 可得， 所以，，． 故的分布列为 0 1 2 所以期望为． 29．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)甲通过面试的概率较大 【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得的可能取值为：，， 所以，，， 所以的分布列为： 1 2 3 由题意可得， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2），. ， ， 因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大. 30．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有2个题目答对的概率； (2)求乙答对的题目数的分布列； (3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) X 2 3 4 P (3)甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数. 【分析】 【详解】（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是， ∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率 . （2）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4， ， ， ， X的分布列为： X 2 3 4 P （3）∵乙平均答对的题目数， 甲答对题目， 甲平均答对的题目数. ∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数. 【点睛】本小题主要考查二项分布的概率计算，考查利用超几何分布概率计算公式计算分布列，考查期望值的计算，属于中档题. 31．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【分析】 【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 题型七、正态分布的概率计算 32．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 33．已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 【答案】B 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 34．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 35．某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为 ． 【答案】 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 36．已知随机变量，，且，若，则 ． 【答案】 【详解】，， ，，即，解得， ， 由对称性可得， 又， ， ． 故答案为：． 题型八、正态曲线的应用 37．阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 【答案】D 【详解】观察图象知，， 对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即， 因此Y的数据较X更集中，A正确； 对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确； 对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确； 对于D，显然，因此，D错误. 故选：D 38．（多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 39．（多选）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量，乙类水果的平均质量，则，A正确； 对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误； 对于C，D，根据正态曲线图象知，所以，C正确，D错误； 故选：AC. 40．（多选）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，， 两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故B正确； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误； 又，所以，故D正确； 故选：ABD. 41．（多选）阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（    ） A．乙品种水蜜桃的平均质量 B．甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数 【答案】ABC 【详解】对于选项A：，故A对； 对于选项B：甲图像相对乙更高瘦，故B对； 对于选项C：，故C对； 对于选项D：乙图像的最高点为1.99，故对称轴取值为，所以，故D错. 故选：ABC. 42．（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 【答案】ABC 【详解】由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为，即，所以，故D错误； 故选：ABC. 题型九、正态分布与其他分布的综合 43．中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)200人. (2)分布列见解析，0.6 【分析】 【详解】（1）解：因为随机变量近似服从正态分布，且， 所以，所以， 所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人. （2）解：由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为，且， 所以随机变量的分布列为， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 所以随机变量的均值为. 44．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64 (2)1587 (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 45．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则 【答案】(1)1637人 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）因为物理原始成绩， 则， 所以物理原始成绩在的人数为（人） （2）随机抽取1人，其成绩在区间的概率为， 所以随机抽取三人，则可取0，1，2，3，且， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望 46．某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； (3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)0.35 【分析】 【详解】（1）因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布， 所以， 因为， 所以这个社区中“超标”社区的个数为. （2）由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以，的分布列为： 则. （3）由（1）可知随机变量 所以， 所以的值约为0.35． 47．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：    (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若，则，，；． 【答案】(1)，分布列见解析， (2)有资格参加复赛 【分析】 【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：， 预赛成绩在范围内的样本量为：， 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则， 又， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 故． （2）， ，则，又， 故， 故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人， 因为，故小明有资格参加复赛， 题型十、二项分布的概率最值问题 48．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则 ；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为 . 【答案】 / 【详解】对于①：因为，所以， 又，所以， 所以; 对于②：将样本的频率视为概率，则从全校的学生中随机抽取名，每名学生了解的概率都是， 可知，若取得最大值， 则，即 所以，即， 解得，又，所以. 故答案为：①②. 49．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【答案】(1) (2)概率，最大值 【分析】 【详解】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． （2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 50．有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)第次或第次 【分析】 【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “第次摸出红球，并且答题正确”，， “第次摸出黑球，并且答题正确”，， “第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 所以，， 因为，， ，， 所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，， 所以， 所以. （2）设该游戏在第次停止的概率为， 则前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确， 所以， 所以， 令，解得，令，解得， 所以， 所以的最大值是，即该游戏在第次或第次停止的概率最大，最大值为. 51．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一､高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取200名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为6的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）由直方图可知，分数在中的学生有64人，分数在中的学生有32人， 所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取， 所以， 所以分布列为 0 1 2 则期望. （2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. （3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为， 由题意可知，， 所以， 令， 则， 令，则， 令，则， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为6的概率最大. 52．某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)60 【分析】 【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布， 即，所以的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为， 方差， ，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小， 稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好. （2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有人中奖2次的概率为，，， 令，解得， 于是，当时，； 当时，，故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. 53．在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图． (1)求最低正常使用零下温度的第60百分位数； (2)若以抽样检测的频率作为实际情况的概率． ①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在的数量为，求的分布列； ②若锂电池最低正常使用零下温度在之间，则为类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到块为“类锂电池”的可能性最大，试求的值． 【答案】(1)28℃ (2)① 答案见解析；② 【分析】 【详解】（1）（1）设最低正常使用零下温度的第60百分位数为， 由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4， 在的频率为0.65，因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内， 则有，解得， 所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃． （2）①由题意可知的可能值是0,1,2,3，， ； ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 ②由题意可知，设抽到类锂电池的数量为，则， 若抽到块的可能性最大， 则，， 即 即解得， 由于，故． 1．（2025·26高三上·浙江湖州·期末）一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】每次有效摸球的概率： 第一次：，只有一种可能，概率为， 第二次：，只有两种可能，概率为， 第三次：，只有三种可能，概率为， 利用期望的线性性质： 设表示第次是否有效（为有效，为无效），则， 因为期望的线性性质对任意随机变量都成立，所以：， 而每个是伯努利变量，期望，代入得：. 故选：B 2．（2026·陕西西安·一模）（多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜， 其概率为，A正确； 对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局， 其概率为，B错误； 对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为 ， 在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为 ， ，C正确； 对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”， 事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”， 则，， ，， 所以，， ，，D正确； 故选：ACD. 3．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． (1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； (2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 所以的均值为． （2）由题意可知第一次取到的球为白球，设“第次取到白球”（）． 若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以； 若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意， 则． 故． 4．（2025·26高三上·广东深圳·期末）为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. （2）由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. （3）的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 5．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】(1) (2)应该选择参加乙活动，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. （2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 6．（2025·26高三上·福建漳州·期末）某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券. (1)求每位参与者中奖的概率； (2)已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，420 【分析】 【详解】（1）设“参与者参加项目抽奖”，“参与者参加项目抽奖”， “参与者中奖”， 则，，，. 所以. 所以每位参与者中奖的概率为. （2）依题意得，的所有可能取值为300，400，500，600. ，， ，， 所以的分布列为 300 400 500 600 所以的期望. 7．（2025·26高三上·浙江嘉兴·期末）在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】 【详解】（1）原先装有2个，3个，4个玩具所在的盒子记为编号，“取到编号为的盒子”记为事件， “该队仅有乙获得奖品”记为事件，则 . （2）的可能取值为0，1，2，3， ① ②取到一个奖品，若其来自3号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为4种，2种，1种． 取到一个奖品，若其来自4号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数共有3种． 所以. ③取到两个奖品，若其都来自4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为2种，1种，1种. 取到两个奖品，若其来自3号和4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为4种，3种，2种． 所以. ④取到三个奖品，取到3号盒子1次，4号盒子2次，对应的基本事件数共3种，所以. 所以分布列为： 0 1 2 3 . 8．（2025·26高三上·贵州铜仁·期末）设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. (1)用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【分析】 【详解】（1）因为甲同学元旦放假的三天中锻炼情况相互独立，且每天参加体育锻炼的概率均为，故， 从而 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望. （2）设乙同学元旦放假的三天中参加体育锻炼的天数为，则. 记事件为“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”， 则. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知： . 9．（2025·26高三上·浙江杭州·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为． (1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率； (2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件， 由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动， ； （2）根据题意，可取， ，， 又， ， ， ∴分布列为 4 2 0 ∴； （3）设在移动次中，向右移动的次数为， 则，， 向右移动的次数为，则向左移动次， 质点最终所在位置的坐标为， ， 即随机变量的数学期望为． 10．（2026·陕西·模拟预测）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： (1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； (2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； (3)甲在比赛中获胜的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为； (3). 【分析】 【详解】（1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的事件是甲抢到2个题的事件与甲抢到3个题的事件和， 其概率为. （2）依题意，的所有可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 1 3 数学期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二项分布、超几何分布及正态分布（10题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分布列的性质 1 题型二、期望、方差的性质（重） 2 题型三、二项分布的均值和方差 3 题型四、利用二项分布求分布列（重） 3 题型五、超几何分布的概率、分布列（重） 5 题型六、二项分布、超几何分布的综合（难） 7 题型七、正态分布的概率计算 9 题型八、正态曲线的应用（重） 10 题型九、正态分布与其他分布的综合 12 题型十、二项分布的概率最值问题（难） 14 B 综合攻坚·能力跃升 17 题型一、分布列的性质 1．随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 2．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P a 则 ． 3．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ． 4．已知随机变量的分布列如下表所示，当取最小值时， ． 题型二、期望、方差的性质 5．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 6．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）离散型随机变量的数学期望为1，则（    ） A． B． C． D． 9．北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 (1)求选取的3处遗产点都为A类的概率； (2)设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 题型三、二项分布的均值和方差 10．已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 11．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 12．甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．若随机变量，且，则 . 14．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 题型四、利用二项分布求分布列 15．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 16．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 17．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； 18．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 19．某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． (1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； (2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 题型五、超几何分布的概率、分布列 20．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 21．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 22．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 23．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 24．随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 25．某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人． (1)求直方图中x，y的值； (2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少； ②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望． 题型六、二项分布、超几何分布的综合 26．袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求： (1)有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差. 27．某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）； (2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力. 28．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．    (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量． (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列． (3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列及数学期望． 29．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 30．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有2个题目答对的概率； (2)求乙答对的题目数的分布列； (3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由. 31．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 题型七、正态分布的概率计算 32．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 33．已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 34．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 35．某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为 ． 36．已知随机变量，，且，若，则 ． 题型八、正态曲线的应用 37．阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 38．（多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 39．（多选）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 40．（多选）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ） A． B． C． D． 41．（多选）阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（    ） A．乙品种水蜜桃的平均质量 B．甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数 42．（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 题型九、正态分布与其他分布的综合 43．中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 44．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 45．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则 46．某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； (3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 47．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：    (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若，则，，；． 题型十、二项分布的概率最值问题 48．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则 ；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为 . 49．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 50．有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 51．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一､高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取200名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为6的概率最大. 52．某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 53．在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图． (1)求最低正常使用零下温度的第60百分位数； (2)若以抽样检测的频率作为实际情况的概率． ①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在的数量为，求的分布列； ②若锂电池最低正常使用零下温度在之间，则为类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到块为“类锂电池”的可能性最大，试求的值． 1．（2025·26高三上·浙江湖州·期末）一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2026·陕西西安·一模）（多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 3．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． (1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； (2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 4．（2025·26高三上·广东深圳·期末）为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 5．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 6．（2025·26高三上·福建漳州·期末）某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券. (1)求每位参与者中奖的概率； (2)已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望. 7．（2025·26高三上·浙江嘉兴·期末）在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 8．（2025·26高三上·贵州铜仁·期末）设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. (1)用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 9．（2025·26高三上·浙江杭州·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为． (1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率； (2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望． 10．（2026·陕西·模拟预测）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： (1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； (2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； (3)甲在比赛中获胜的概率. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $