专题04 相互独立、条件概率、全概率及贝叶斯公式（7题型专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题04 相互独立、条件概率、全概率及贝叶斯公式（7题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算 1 题型二、条件概率的性质及应用 1 题型三、利用全概率公式求概率 1 题型四、利用贝叶斯公式求概率 1 题型五、独立事件的概率计算 1 题型六、独立事件的判断 1 题型七、条件概率、互斥、独立事件的综合 1 B综合攻坚•能力跃升 1 题型一、条件概率的计算 1．口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 3．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为 ；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 5．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为 6．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 题型二、条件概率的性质及应用 7．假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 10．对于随机事件，若，，，则 . 11．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和. 12．已知,求. 题型三、利用全概率公式求概率 13．甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 14．某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（    ） A． B． C． D． 15．某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 16．现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为 . 17．一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为 . 18．一批产品共10件，其中有两件不合格品，其他都是合格品.将这批产品随机分装到两只箱中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品；如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品. (1)求两件不合格品包装在同一箱中的概率； (2)求这批产品被拒收的概率. 题型四、利用贝叶斯公式求概率 19．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 20．飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求： (1)首先应该搜索哪个区域？ (2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 21．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 22．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 23．某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 题型五、独立事件的概率计算 24．甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，且两人的射击相互独立.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 25．（多选）已知随机事件与相互独立.若，且，则（    ） A． B． C． D． 26．为践行五育并举，增强学生体质，某校开设体育选修课程，要求每名学生从“排球”、“羽毛球”两门课程中任选一门．现从高二年级学生中用简单随机抽样的方式抽出50名男生和30名女生作为样本，对样本中体育选修课程的选择情况作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 排球 30 10 羽毛球 20 20 假设用频率估计概率，且所有学生是否选择排球、羽毛球相互独立． (1)若该校高二年级共有500名男生，估计高二全体男生中选择排球课的人数； (2)从该校高二年级全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰好有一人选择排球课的概率； (3)记该校高二年级全体学生选择羽毛球的概率估计值为，其中男生选择羽毛球课的概率估计值为，试比较，的大小．（结论不要求证明） 27．在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. (1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； (2)求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 28．在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛4局以内（含4局）结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 29．目前滇超联赛正在如火如荼地进行．本次比赛第一阶段采用主客场单循环积分赛制（即每两支球队之间只赛一场，主客场由抽签决定），积分规则如下：常规时间（90分钟）内获胜的队伍积3分；常规时间内战平，则直接采取点球方式决胜，胜方积2分；负方积0分；每场比赛必须决出胜负．在某轮比赛中，甲队先主场对阵乙队，随后客场对阵丙队，假设两场比赛结果相互独立，根据历史交锋数据： 甲队主场对阵乙队 甲队客场对阵丙队 常规时间获胜概率为 常规时间获胜概率为 常规时间打平概率为 常规时间打平概率为 常规时间告负概率为 常规时间告负概率为 在常规时间打平的比赛中，甲队点球获胜概率为 在常规时间打平的比赛中，甲队点球获胜概率为 (1)分别求甲队在主场对阵乙队的比赛中得2分和0分的概率； (2)求甲队主场对阵乙队积分超过客场对阵丙队积分的概率． 题型六、独立事件的判断 30．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 31．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 32．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（    ） A．事件，，两两互斥 B． C． D．事件，相互独立 33．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 34．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 35．判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (2)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 题型七、条件概率、互斥、独立事件的综合 36．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 37．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 38．已知，，，下列说法错误的是（   ） A．若事件A，B独立，则 B．若事件A，B互斥，则 C．若事件A，B独立，则 D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则. 39．（多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 40．（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．事件B与事件不相互独立 D．，，两两互斥 41．已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 1．（2025·26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 3．（2022·23高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·26高三上·江苏无锡·期末）（多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·26高三上·天津蓟州·期末）某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为 ；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为 . 6．设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 ． 7．（2025·26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 8．（2025·26高二上·四川成都·期中）2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训. (1)已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相互独立、条件概率、全概率及贝叶斯公式（7题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算 1 题型二、条件概率的性质及应用 1 题型三、利用全概率公式求概率 1 题型四、利用贝叶斯公式求概率 1 题型五、独立事件的概率计算 1 题型六、独立事件的判断 1 题型七、条件概率、互斥、独立事件的综合 1 B综合攻坚•能力跃升 1 题型一、条件概率的计算 1．口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，的事件有个基本事件，的事件有个基本事件， 所以. 故选：B 2．甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题，，， 所以， . 故选：C. 3．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 4．袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为 ；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 【答案】 【详解】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 5．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为 【答案】 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故答案为： 6．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 【答案】 【详解】抛掷2颗骰子的试验有个基本事件，其中事件有30个基本事件，事件有8个基本事件， 则，，所以. 故答案为： 题型二、条件概率的性质及应用 7．假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 8．（多选）一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率， 第一次取黑球，第二次取黑球的概率； 第一次取黑球，第二次取白球的概率，所以A错误； 第一次取白球，第二次取黑球的概率，所以B正确； 第一次取白球，第二次取白球的概率， ；， 所以，所以C错误； 由，所以D正确. 故选：BD. 9．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：，，∴， ，故B正确； 对于C：，，∴，故C正确. 对于D：， ，∴，∴， ∴，所以D正确. 故选：BCD. 10．对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 11．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和. 【答案】， 【详解】根据条件概率计算出结果 因为，， 所以， ， 由于， 解得， 所以. ， 解得. 12．已知,求. 【答案】， . 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因此，, 从而. 【点睛】本题考查条件概率公式以及对立事件概率关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 题型三、利用全概率公式求概率 13．甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件， 由题意知，，，即， 所以， 又因为，所以. 故选：B 14．某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”， 事件表示“抽取的种苗来自甲地块”， 事件表示“抽取的种苗来自乙地块”， 事件表示“抽取的种苗来自丙地块”， 则，，， ，，， 由全概率公式 ， 因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为. 故选：D 15．某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记“抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B. . 则. 故选：C. 16．现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为 . 【答案】/0.45 【详解】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件. 因为10个袋子外表相同，从中任选一个袋子， 每个袋子被选中的概率均为，所以. 因为第个袋中有10个球，其中个红球，个白球， 所以在第个袋子中，任意一次取到白球的概率均为， 则在第个袋子中，第三次取到白球的概率. 所以由全概率公式可知，第三次取出白球的概率 . 故答案为： 17．一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为 . 【答案】/ 【详解】设 = “甲取到玩具盲盒”， = “甲取到文具盲盒”， = “乙取到玩具盲盒”， ， 若甲抽到玩具盲盒，剩余9个盲盒中还有2个玩具盲盒，则， 若甲抽到文具盲盒，剩余9个盲盒中还有3个玩具盲盒，则， 所以乙取到的是玩具盲盒的概率为. 故答案为： 18．一批产品共10件，其中有两件不合格品，其他都是合格品.将这批产品随机分装到两只箱中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品；如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品. (1)求两件不合格品包装在同一箱中的概率； (2)求这批产品被拒收的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）方法一：10件产品分给甲箱5件､乙箱5件的方法有种， 其中两件不合格品都在甲箱中的分法有种， 两件不合格品都在乙箱中的分法也有种， 所以两件不合格品在同一箱中的概率； 方法二：把8件合格品看成红球，2件不合格品看成黑球， 将10个球排成一排，左边的5个球为一侧，右边的5个球为另一侧. 第一个黑球放入（不是左侧就是右侧），第二只黑球可以放在其它9个位置上， 两只黑球在同一侧即第二只黑球放在第一只黑球的那一侧的其它4个位置上， 所以两件不合格品在同一箱中的概率； （2）两件不合格品在同一箱中的事件为，则不合格品分装在不同箱中的事件为， 这批产品被拒收的事件为， 则，，. 表示两件不合格品放在同一箱的条件下经过抽检后被拒收的概率， 在第一次抽检时有的概率从两件次品在一起的箱中抽检，也有的概率从没有次品的箱中抽检， ，同理， . 题型四、利用贝叶斯公式求概率 19．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 20．飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求： (1)首先应该搜索哪个区域？ (2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 【答案】(1)丙区域 (2)飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为 【分析】 【详解】（1）应首先搜索丙区域. 理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为. 故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大. （2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”， 则，，，， ，，，， 所以 ， 所以. 同理， ， . 所以搜索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为. 21．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 22．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，， 则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 ． 故答案为：. 23．某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 【答案】 / 【详解】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作， 根据题意，有，，，， 由全概率公式 . 所以. 故答案为：；. 题型五、独立事件的概率计算 24．甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，且两人的射击相互独立.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲、乙两人向同一目标各射击1次，设甲命中目标为事件，则， 设乙命中目标为事件，则， 两人的射击相互独立， 则目标没被命中的概率为， 则目标至少被命中1次的概率为， 已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为. 故选：B. 25．（多选）已知随机事件与相互独立.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为随机事件与相互独立， 所以，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 26．为践行五育并举，增强学生体质，某校开设体育选修课程，要求每名学生从“排球”、“羽毛球”两门课程中任选一门．现从高二年级学生中用简单随机抽样的方式抽出50名男生和30名女生作为样本，对样本中体育选修课程的选择情况作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 排球 30 10 羽毛球 20 20 假设用频率估计概率，且所有学生是否选择排球、羽毛球相互独立． (1)若该校高二年级共有500名男生，估计高二全体男生中选择排球课的人数； (2)从该校高二年级全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰好有一人选择排球课的概率； (3)记该校高二年级全体学生选择羽毛球的概率估计值为，其中男生选择羽毛球课的概率估计值为，试比较，的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由表中数据知样本中50名男生中有30男生选择排球， 故可得男生中选择排球的概率为， 所以该校高二年级500名男生中约有名选择排球课； （2）由表中数据知样本中30名女生中有10名女生选择排球， 故可得女生中选择排球的概率为， 由（1）可得男生中选择排球的概率为， 所以估计这3人中恰好有一人选择排球课的概率为； （3）由表中数据知样本中50名男生中有20名男生选择羽毛球， 故可得男生中选择羽毛球的概率为， 由表中数据知样本中30名女生中有20名女生选择羽毛球， 故可得女生中选择羽毛球的概率为， 所以高二年级全体学生选择羽毛球的概率估计值为， 又由表中数据可得. 所以. 27．在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. (1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； (2)求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）设“甲每轮识别成功”为事件A，“乙每轮识别成功”为事件B， 由题意：； ， 由甲，乙的识别结果相互独立，，都相互独立； 甲，乙两人中恰好有一人成功=“”，且互斥， ∴； （2）设A1，A2分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，B1，B2分别表示乙两轮识别成功1个，2个植物标本， ， ， 设“在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次”， ∴，且与互斥，与与分别相互独立， ∴ ， 因此，在两轮考核中，“竞赛队”成功识别标本的总次数为3次概率为． 28．在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛4局以内（含4局）结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： ； （2）比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛， 和四局结束比赛（）， （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： . 29．目前滇超联赛正在如火如荼地进行．本次比赛第一阶段采用主客场单循环积分赛制（即每两支球队之间只赛一场，主客场由抽签决定），积分规则如下：常规时间（90分钟）内获胜的队伍积3分；常规时间内战平，则直接采取点球方式决胜，胜方积2分；负方积0分；每场比赛必须决出胜负．在某轮比赛中，甲队先主场对阵乙队，随后客场对阵丙队，假设两场比赛结果相互独立，根据历史交锋数据： 甲队主场对阵乙队 甲队客场对阵丙队 常规时间获胜概率为 常规时间获胜概率为 常规时间打平概率为 常规时间打平概率为 常规时间告负概率为 常规时间告负概率为 在常规时间打平的比赛中，甲队点球获胜概率为 在常规时间打平的比赛中，甲队点球获胜概率为 (1)分别求甲队在主场对阵乙队的比赛中得2分和0分的概率； (2)求甲队主场对阵乙队积分超过客场对阵丙队积分的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）甲得分意味着常规时间打平，然后点球胜利， 即， 甲得分代表常规时间打输，或者常规时间打平，但是点球输了， 即． （2）要求甲队主场对阵乙队积分超过客场对阵丙队积分的概率，即求， 由分析知，结合（1）可得，， 则甲对乙的比赛可能得分是分， 要求甲对乙的得分大于甲对丙得分的情况，则甲对丙得分为分， 甲对丙得分，可能常规时间打输，或常规时间打平，点球打输， 即， 甲对丙得分，只能是常规时间打平，点球胜利， 即． 所以 ． 题型六、独立事件的判断 30．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 31．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【详解】不放回地依次取出两个，事件的结果用“”表示，，表示第一次取出的小球的编号， 表示第二次取出的小球的编号，基本事件有，共种， 事件，事件， 事件，事件. 事件，事件， 事件， 事件， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 32．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（    ） A．事件，，两两互斥 B． C． D．事件，相互独立 【答案】C 【详解】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，， 对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，， ，所以事件，相互独立，故D正确； 故选：C 33．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【答案】(1)； (2)事件与事件不独立. 【分析】 【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点， 其中事件，共5个样本点，故， 所以，摸出两球标号互质的概率为. （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点， 其中第一次摸出球的标号小于，可得， 第二次摸出球的标号小于，可得， 所以，则，， 所以，所以事件与事件不独立. 34．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】(1) (2)相互独立，理由见解析 【分析】 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 35．判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (2)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】 【详解】（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为， 若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为， 若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为． 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． （2）记“出现偶数点”，“出现3点或6点”，则，，， 所以，，， 所以，所以事件A与B相互独立． 题型七、条件概率、互斥、独立事件的综合 36．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、， 则，且，，相互独立， 设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件， 则， 设乙没有达优秀等级为事件，则， 所以. 故选：B. 37．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D， ，，， ， ， . 故选：A. 38．已知，，，下列说法错误的是（   ） A．若事件A，B独立，则 B．若事件A，B互斥，则 C．若事件A，B独立，则 D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则. 【答案】C 【详解】A，若事件，独立，则，故A正确， B，若事件，互斥，则，则，，所以，所以B正确， C，设事件相互独立，且， 则， ，两式不相等，故C错误， D，因为事件，互斥，所以，因为事件，独立，事件，独立，所以，， 所以，故D正确. 故选：C. 39．（多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 【答案】BD 【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确； 因为，所以. 所以，又， 所以，所以事件与相互独立，C错误D正确. 故选：BD. 40．（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．事件B与事件不相互独立 D．，，两两互斥 【答案】BCD 【详解】依题意，，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 则，事件与事件不相互独立，C正确； 对于D，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生，因此事件两两互斥，D正确. 故选：BCD 41．已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 【答案】 ； ． 【详解】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，由题意， 则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 , 记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件， 则， ， ， 故答案为：；． 1．（2025·26高二上·江苏常州·期末）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感， 则，，， ，，， 从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为 ， 故选：A. 2．（2025·26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【详解】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 3．（2022·23高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 4．（2025·26高三上·江苏无锡·期末）（多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 5．（2025·26高三上·天津蓟州·期末）某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为 ；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为 . 【答案】 【详解】从人中随机抽取2人的总组合数为种， 从3名课程设计组成员中选1人，有种选法 ，从5名技术研发组成员中选1人，有种选法， 所以根据分步乘法原理可得，恰好有1名课程设计组成员的选法共有种， 根据古典概率公式可得：抽取的2人中，恰好有1名课程设计组成员的概率为， 从5名技术研发组成员中选2人的组合数为种， 所以没有课程设计组成员的概率为， 则至少有1名课程设计组成员的概率为， 设事件为“抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员”，事件为“抽取的2人中至少有1名课程设计组成员”，则所求概率为， 根据条件概率公式可得：， 又因为，所以， 则. 故答案为：； 6．设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 ． 【答案】 【详解】甲袋任取两个球的可能性有三种： 甲袋取出2个白球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出1个白球、1个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出2个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：， 故从乙袋中取出的是2个红球的概率为：. 故答案为： . 7．（2025·26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. （3）解：设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 8．（2025·26高二上·四川成都·期中）2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训. (1)已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）记部门的2名领导为，部门的2名领导为， 从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ，共12种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：，共8种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. （2）记 “甲经过培训合格”， “甲第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以甲经过培训合格的概率为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $