1.3.2等比数列的前n项和（第3课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第3节 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第3课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握数列求和的方法. 1、数列求和的方法. 1、数列求和的方法. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、等差数列的通项公式是什么？ 2、等差数列的前n项和公式是什么？推导此公式的方法是什么？ an=a1+(n-1)d Sn = =na1+d 倒序相加法 3、等比数列的通项公式是什么？ 4、等比数列的前n项和公式是什么？推导此公式的方法是什么？ an=a1qn-1 Sn = 错位相减法 数列求和是数列的重要内容之一。 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 公式法 利用等差数列前n项和公式或者等比数列前n项和公式直接求和。 4 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、求数列1，3＋5，7＋9＋11，13＋15＋17＋19，…前n项和. 解：该数列的第1项有1个数字，第2项有2个数字，第3项有3 个数字，…，第n项有n个数字。 所以该数列的前n项共有个数字。 记该数列的前n项和为S, 则S = 1+(3＋5)+(7＋9＋11)+(13＋15＋17＋19)+… = 1+3＋5+7＋9＋11+13＋15＋17＋19+… = ×1 + ×2 = []2 5 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知各项均为正数的等比数列{an}和数列{bn}，若bn=3n+1且a2=b5,a4=b1，则数列{an}的前7项和为____. 解:设数列{an}的公比为q，q＞0，数列{an}的前n项和为Sn。 依题意得 解得 q = , a1=32 S7 = = 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和(都相等，为定值)，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。 类型：a1+an = a2+an-1 = a3+an-2 =… 7 典 例 引 路 柯 西 例2：求证： Cn0＋3Cn1＋5Cn2＋…＋（2n＋1）Cnn=（n＋1）·2n 证明：设 S = Cn0＋3Cn1＋5Cn2＋…＋（2n＋1）Cnn， S =（2n+1）·Cnn＋…＋5Cn2＋3Cn1＋Cn0 两项相加，并利用Cnm = Cnn－m得 2S =2（n＋1）·（Cn0＋Cn1＋Cn2＋……＋Cnn）=2（n＋1）·2n ∴S =（n＋1）·2n 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、设f(x)=,则 f()+f()+f()+…+f()=_____ 解：∵f(x)= ∴f(x)+f(1-x)= + = + = + = + = 1 ∴设S=f()+f()+f()+…+f() 则S=f()+f()+f()+…+f() 两式相加，得 2S=2016 ∴S=1008 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 错位相减法 若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an·bn}的前n项和用错位相减法求。 写出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…++an-1bn-1+anbn ① 第一步： 第二步： 在①式左右两边同时乘以等比数列{bn}的公比q或 ,(注意在等号右边把q或 乘到bn上） 得:qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1 ② 第三步： 第四步： 计算③内部的等比数列的和，再与其他项合并，从而计算出Sn. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn ① qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1 ② 错位相减 得（1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1 ③ 10 典 例 引 路 牛 顿 例3、数列{n·2n}的前n项和为________． 解：记 Sn=1·21 + 2·22 + 3·23 +…+ n·2n 则 2Sn= 1·22 + 2·23 +3·24 +…+ n·2n+1 两式相减，得 -Sn =1·21 + 22 + 23 +…+ 2n - n·2n+1 =(2 + 22 + 23 +…+ 2n)-n·2n+1 = - n·2n+1 = -2+(1-n)·2n+1 ∴Sn=2+(n-1)·2n+1 11 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知数列{an}的通项公式为an= ,则此数列的前n项和 Sn=______. 解：an = =n·( n 记 Sn=1·()1 + 2·()2 + 3·()3 +…+ n·()n 则 Sn= 1·()2 + 2·()3 +3·()4 +…+ n·()n+1 两式相减，得 Sn =1·()1 + ()2 + ()3 +…+ ()n - n·()n+1 =[ + ()2 + ()3 +…+ ()n)]-n·()n+1 = - n·()n+1 = 1- ∴ Sn=2 12 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知数列{an}的通项公式为an=(n-2)·3n-1，其前n项和为Sn， 则Sn=_______． 解： Sn= - 30 + 0×31 + 32 +…+ (n-3)·3n-2+(n-2)3n-1 所以3Sn= -31 + 0×32 + 33+ … +(n-3)·3n-1+(n-2)3n 两式相减，-2Sn = -1+31+32+33+…+3n-1-(n-2)·3n = -1+ - (n-2)·3n = ∴Sn = 13 同 步 练 习 庞加莱 练4、数列{an}的通项公式为an=(2n-1)·4n，则{an}的前n项和Sn为__________（用含n的式子表示）. 解： Sn= 1×41 + 3×42 +…+ (2n-1)4n 所以4Sn= 1×42 + 3×43+ … +(2n-3)·4n+(2n-1)4n+1 两式相减，-3Sn = 4+2×(42+43+…+4n)-(2n-1)·4n+1 = 4 + 2× - (2n-1)·4n+1 = - - ·4n+1 ∴Sn = + ·4n+1 14 学 习 新 知 拉格朗日 分组求和法 把数列的每一项分成两项或多项，或把整个数列分成两部分或多部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组求和法。 15 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、若数列{an}的通项公式为an=2n-1+2n+1，则其前n项和 Sn=___________． 解：记bn=2n-1,数列{bn}的前n项和记为S1； cn=2n+1,数列{cn}的前n项和记为S2. 则 S1 = = 2n-1-1 S2 = = n2+2n 所以Sn=S1+S2 =2n-1-1+n2+2n 16 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、（2-3×5-1）+（4-3×5-2）+…+（2n-3×5-n)=_____. 解：设S=（2-3×5-1）+（4-3×5-2）+…+（2n-3×5-n) 记 an=2n,数列{an}的前n项和为S1; bn=3×5-n,数列{bn}的前n项和为S2. 则 S1 = =n2+n S2 = = (1-5-n) 所以 S = S1-S2 = n2+n - (1-5-n) 17 典 例 引 路 贝叶斯 例6、已知数列{an}通项公式an=，则数列{an} 的前9项和为______. 解：∵an= ∴数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． ∴ a2n-1=2(2n-1)-3=4n-5 , a2n=22n-1= ×4n ∴ S9= (a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8) = + = 205 18 同 步 练 习 佩雷尔曼 练6、已知数列{an}满足a1=1，an+1=， 则数列{an}的前40项和S40=______. 解：依题意得 a2n+2 = a(2n+1)+1 = a2n+1+(2n+1)-3 = a2n+1+2n-2 又a2n+1= 2a2n,所以a2n+2 = a(2n+1)+1 = 2a2n+2n-2 令bn=a2n+2n,可得bn+1=a2n+2+2(n+1)=2a2n+2n-2+2(n+1)=2a2n+4n 所以 = = 2 由a1=1，可得a2 = a1+1-3 = -1，所以b1=a2+2=1， 所以数列{bn}表示首项为1，公比为2的等比数列， 所以bn=2n-1,所以a2n=2n-1-2n 19 同 步 练 习 毕达哥拉斯 则 a2n-1 = a2(n-1)+1 = 2a2(n-1) = 2n-1-4(n-1),(n≥2) 因为a1=1，适合上式，所以a2n-1=2n-1-4(n-1) 所以数列{an}的前40项的和为 S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40) = - + - = 221-1182 练6、已知数列{an}满足a1=1，an+1=， 则数列{an}的前40项和S40=______. 20 学 习 新 知 裂项相消法 布 丰 注意各项抵消的规律，弄清楚最终剩下了哪些项。 这种方法的关键是会把通项公式拆开。 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法。 通项公式为分式型的要往这种方法联想。 注意：1、 2、 3、 21 典 例 引 路 华罗庚 例7、已知数列{an}中，an= （n∈N*），求前n项和Sn. 解：an = = = ( - ) Sn= ( - ) + ( - ) + ( - )+…+( - ) = [( + + +…+ ) - ( + + +…+ )] = ( + - - ) = - 22 同 步 练 习 陈景润 练7、数列{an}的通项公式为an=,该数列的前8项和为___． 解：an= = - 所以S8 =（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ） =（1 + + +…+ ）-（ + + +…+ ） = 1- = 23 典 例 引 路 傅里叶 例8、已知an=2n-1,，数列{}的前n项和Sn的通项公式为_____. 解： = = - Sn=( - )+( - )+( - )+…+( - ) =( + + +…+ )-( + + +…+ ) = - = 24 同 步 练 习 洛必达 练8、已知数列{}的前n项和为Sn. 当Sn＞时，n的最小值是______. 解： = - Sn=( - )+( - )+( - )+…+( - ) =(++++…+)-(+++…+) = - = - ＞ 即2n+1+n+1＞20， 由于2n+1+n+1的值随n的增大而增大， 且n=3时，2n+1+n+1=20，n=4时，2n+1+n+1=37＞20， 故n的最小值为 4 25 学 习 新 知 并项求和法 伯努利 把数列{an}中的项两两结合或者多项结合，构造出一个新的数列再求和的方法。 26 典 例 引 路 丘成桐 例9、计算：12-22+32-42+52-62+…+（-1）n-1n2 解：记Sn=12-22+32-42+52-62+…+（-1）n-1n2 当n为奇数时：Sn=12-22+32-42+52-62+…+n2 =(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2 = -3-7-11-…-(2n-3)+n2 = +n2 = 当n为偶数时：Sn=12-22+32-42+52-62+…+n2 =(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+[(n-1)2-n2] =-[3+7+11+…+(2n-1)] = - = - 综上所述：12-22+32-42+52-62+…+（-1）n-1n2=（-1）n-1 27 同 步 练 习 罗巴切夫斯基 练9、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn+12-Sn2=8n.在数列{an}的每相邻两项ak,ak+1之间依次插入a1,a2,…,ak，得到数列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…，则{bn}的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 解：∵Sn+12-Sn2=8n ∴当n≥2时：Sn2 =(Sn2-Sn-12)+(Sn-12-Sn-22)+…(S22-S12)+S12 = 8(n-1)+8(n-2)+…+8+1=8×+1 = (2n-1)2 ∵an＞0, ∴ Sn＞0, ∴ Sn=2n-1 当n=1时，S1=a1=1,也适合. ∴Sn=2n-1 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-3)=2 ∴ an = 所以根据数列{bn}的定义可知,数列{bn}:1 ,1,2,1,2,2,1,2,2,2,… T88=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+…+(a1+a2+…+a12)+(a1+a2+…+a10) = + S10 = 163 28 全 课 总 结 数列求和的方法： 一、公式法 二、倒序相加法 三、错位相减法 四、裂项相消法 五、并项求和法 29 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 30 $