1.3.2 第2课时 数列求和-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

数列求和 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 　　进一步理解等差、等比数列，会利用分组转化法，裂项相消法、错位相减法等求和，并掌握它们的使用原则. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　分组转化法求和 题型（二）　裂项相消法求和 题型（三）　错位相减法求和 4 课时跟踪检测 题型（一）　分组转化法求和 01 [例1]　已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2+a4=13，S7=49. （1）求{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，又2a2+a4=13，S7=49， 所以 解得a1=1，d=2，所以{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1. （2）设bn=an+，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由（1）知bn=an+=2n-1+22n-1，所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =（1+2）+（3+23）+（5+25）+… +（2n-1+22n-1）=（1+3+5+…+2n-1） +（2+23+25+…+22n-1） =+ =+n2. 　　|思|维|建|模| 分组法求数列的前n项和的方法技巧 　　如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和. 针对训练 1.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2+Sn（n∈N+）. （1）求数列{an}的通项公式； 解：因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2+Sn（n∈N+）， 当n=1时，a2=2+a1=2+2=4，当n≥2时，由an+1=2+Sn可得an=2+， 上述两个等式作差可得an+1-an=an，可得an+1=2an，又因为a2=2a1， 所以数列{an}为等比数列，且首项为2，公比为2，所以an=2×2n-1=2n. （2）若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由（1）可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n， 所以Tn=（1+41）+（3+42）+（5+43）+…+[（2n-1）+4n]= [1+3+5+…+（2n-1）]+（4+42+43+…+4n）=+=n2+. 题型（二）　裂项相消法求和 02 [例2]　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=10，S7=28. （1）求{an}的通项公式； 解：∵{an}是等差数列，设公差为d， ∴⇒∴an=n. （2）求数列的前n项和Tn. 解：由（1）得an=n，则==， ==-. 　　|思|维|建|模| 　　对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项. 针对训练 2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n，n∈N+. （1）证明：数列{an}是等差数列； 解：证明：∵Sn=n2-4n，n∈N+，①∴当n=1时，a1=S1=-3； 当n≥2时，Sn-1=（n-1）2-4（n-1）=n2-6n+5.② 由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-5.当n=1时，a1=-3满足上式， ∴数列{an}的通项公式为an=2n-5，n∈N+.∴an+1-an=2，为常数， ∴数列{an}是等差数列. （2）已知bn=，求数列{bn}的前n项和. 解：由（1）知bn==， ∴数列{bn}的前n项和为++…+ ===--，n∈N+. 题型（三）　错位相减法求和 03 [例3]　（2024·全国甲卷）记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn=3an+4. （1）求{an}的通项公式； 解：当n=1时，4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4.当n≥2时，4Sn-1=3an-1+4， 所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1，即an=-3an-1，又a1=4≠0，故an≠0， 故=-3，所以数列{an}是以4为首项，-3为公比的等比数列， 所以an=4·（-3）n-1. （2）设bn=（-1）n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：bn=（-1）n-1·n·4·（-3）n-1=4n·3n-1， 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1. 故3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n×3n， 所以-2Tn=4+4×31+4×32+…+4×3n-1-4n×3n=4+4× -4n×3n=4+2×3×（3n-1-1）-4n×3n=（2-4n）×3n-2， 所以Tn=（2n-1）×3n+1. 　　|思|维|建|模| 1.错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn. 2.注意事项 （1）利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正确写出（1-q）Sn的表达式. （2）利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况. 针对训练 3.已知数列{an}满足a1=1，且对于任意正整数n，均有n（an+1-an）=an+2n2+2n. （1）证明：为等差数列； 解：证明：根据题意由n（an+1-an）=an+2n2+2n， 可得nan+1-（n+1）an=2n（n+1），所以可得=2， 即-=2为定值，因此是首项为=1，公差为d=2的等差数列. （2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：由（1）可得=1+2（n-1）=2n-1，即an=n（2n-1）， 所以bn===，可得Sn=b1+b2+…+bn=++…+， 所以Sn=++…++，两式相减可得Sn=++…+- =1+2×-=2-，所以可得数列{bn}的前n项和Sn=3-. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 2 1.数列1，3，5，7，…的前n项和Sn为（　　） A.n2+1- B.n2+2- C.n2+1- D.n2+2- √ 1 3 4 5 6 7 2 解析：数列1，3，5，7，…的通项公式为an=2n-1+， 所以Sn=++++…+ =[1+3+5+…+（2n-1）]+=+ =n2+1-. 1 5 6 7 2 3 4 2.已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=3，Sn为其前n项和，则S2 024等于 （　　） A.3 033 B.3 034 C.3 035 D.3 036 √ 解析：由题意得a2=2，a3=1，a4=2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 024=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2 023+a2 024）=3×1 012=3 036. 1 5 6 7 3 4 2 3.已知数列{an}：，+，++，+++，…，bn=，那么数列{bn}的前n项和Sn为（　　） A.4 B.4 C.1- D.- √ 1 5 6 7 3 4 2 解析：∵an===， ∴bn===4. ∴Sn=4 =4. 1 5 6 7 3 4 2 4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3，则其前20项和为（　　） A.380-× B.420-× C.400-× D.440-× √ 1 5 6 7 3 4 2 解析：数列{an}的前20项和S20=a1+a2+…+a20=2×（1+2+…+20） -3×=2×-3× =420-×. 1 5 6 7 3 4 2 5.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2a3=a4+3，S7=49. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：依题意，设数列{an}的公差为d， 因为所以 解得所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1. 1 5 6 7 3 4 2 （2）若数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前10项和T10.（5分） 解：因为bn=所以bn= 所以T10=b1+b2+…+b9+b10=1+22+5+24+…+17+210=（1+5+…+17）+（22+24+…+210） =+=45+1 364=1 409. 1 5 6 7 3 4 2 6.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a3+a5=15，S7=49. （1）求{an}的通项公式；（6分） 解：设等差数列{an}的公差为d，因为a1+a3+a5=15，S7=49， 所以所以a1=1，d=2，所以an=1+（n-1）×2=2n-1. 1 5 6 7 3 4 2 （2）若数列{bn}满足bn=an·3n，求{bn}的前n项和Tn.（9分） 解：由题意可知bn=（2n-1）×3n， 所以Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n-1）×3n　①， 3Tn=1×32+3×33+5×34+…+（2n-1）×3n+1　②， ①-②得，-2Tn=1×31+2×32+2×33+2×34+…+2×3n-（2n-1）×3n+1 =3+-（2n-1）×3n+1=（-2n+2）×3n+1-6， ∴Tn=（n-1）×+3. 1 5 6 7 3 4 2 7.（15分）已知数列{an}，{bn}满足a1=-1，an+1=--1，bn=. （1）证明：{bn}为等差数列；（6分） 解：证明：由题意得bn+1=，an+1==， 则bn+1-bn=-=-=-=1， 所以{bn}是首项b1==1，公差为1的等差数列. 1 5 6 7 3 4 2 （2）设数列{（-1）n}的前n项和为Sn，求Sn.（9分） 解：由（1）得bn=b1+（n-1）×1=n，则（-1）n=（-1）nn2， 当n为偶数时，Sn=-12+22-32+42-…-（n-1）2+n2=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+…+（n+n-1）（n-n+1）=1+2+3+4+…+n-1+n=. 当n为奇数时，n+1为偶数，则Sn=Sn+1-=-（n+1）2 =-.综上，Sn=（-1）n·. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn ∴Tn＝ $