专题05 相似三角形的基本八大模型（题型专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 相似三角形的基本八大模型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 相似模型之“A”字模型 题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 题型05 相似模型之一线三等角模型 题型06 相似模型之手拉手模型 题型07 相似模型之半角模型 题型08相似模型之对角互补模型 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 相似模型之“A”字模型 典例引领 【典例01】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，正方形的性质，三线合一性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 作于，得到，则，证明、，则，，，，则，即． 【详解】解：如图所示，作于， ∵， ∴ ∴， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【典例02】（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 方法透视 考向解读 1. 模型特征：在三角形中作一条底边的平行线，构成“A”字形，产生两个相似三角形，对应边成比例。 2. 正A与斜A：正A字形中平行线与底边平行；斜A字形中非平行线但共角，同样满足相似关系。 3. 应用方向：常考利用相似比求线段长度、证明比例式，或结合动态问题求函数关系。 4. 综合压轴：多与二次函数、动点问题结合，考查学生从复杂图形中识别基本模型的能力。 方法技能 1. 平行得相似：见到平行线立即联想“A”字形相似，找出对应顶点，写出比例式 = = 。 2. 斜A找共角：无平行线但有公共角时，考虑斜A字形，证另一组角相等或用两边对应成比例且夹角相等证相似。 3. 设参列方程：求线段长度时，设未知数利用相似比列方程求解，注意对应边要准确。 4. 动态抓不变量：动点问题中，平行关系变化时相似比随之变化，但相似关系保持不变。 变式演练 【变式01】（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 【变式02】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，为直角三角形． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，过作于，证明，可得，再分两种情况列函数解析式即可； （3）如图，当，时，则，可得，求解；当时，证明，求解：（不符合题意，舍去）当时，此时，证明，可得；从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵和的长分别是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； （3）解：如图，当，时，则， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 同理可得：时不符合题意，舍去； 综上：当或时，为直角三角形． 题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 典例引领 【典例01】（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 【典例02】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且． (1)求证：； (2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，根据同位角相等两直线平行可证结论成立； (2)根据，，可知，根据相似三角形的性质可知，从而可得：，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意得，， ， ， ， 和面积相等， ， 解得：． 方法透视 考向解读 1. 模型特征：两条直线相交，构成对顶角，常结合平行线或角相等条件，形成“X”字形相似三角形。 2. 平行型“X”字：在两条平行线间，连结端点形成“X”形，出现两组相似三角形，对应边成比例。 3. 非平行型：仅有对顶角加另一组角相等，也可证相似，常用于复杂图形中抽离基本模型。 4. 综合应用：常与中线、角平分线、动态几何结合，考查比例线段证明和长度计算。 方法技能 1. 识别对顶角：见到两条线段交叉，先找对顶角，再寻另一组等角（内错角或已知相等角）证相似。 2. 平行出比例：有平行线时，“X”字形中对应线段比例相等，如 = ，可直接列式。 3. 乘积式转化：将比例式转化为等积式（如OA ×OD = OB× OC），方便代入数值求解。 4. 多个“X”字：复杂图形中可能隐藏多个“X”字模型，逐个分析，利用比例传递解题。 变式演练 【变式01】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)的长为 (3) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可； （3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交对角线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． （3）解：设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 整理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G． (1)求的值； (2)当时． i）如图1，若的面积是，求k的值； ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）． 【答案】(1) (2)i）；ⅱ） 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案； （2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：i）如图所示，连接， 由（1）可得， ∴，， ∴同理可得， ∵的面积是8， ∴； ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ⅱ）如图所示，连接，设交于点M， 由（1）（2）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， 由（2）i）得，则（平行线的性质）， 在和中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 典例引领 【典例01】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证； （2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例02】（2026·新疆·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长； 类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点．求出与的位置关系，并说明理由； 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值． 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，交延长线于点，设交于点，易得四边形是平行四边形，，在中，由求解即可； （2）结合角平分线的定义可知，，再根据平行四边形的性质可得，进而可得，然后证明，易得，即可证明； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点，易得四边形是矩形，首先证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，设，，则，，结合，，可列二元一次方程组并求解，进而可得，，，；证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质证明，可得，结合，即可解得的值． 【详解】解：（1）如下图，过点作，交延长线于点，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 在中，； （2），理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）如下图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴，， 联立，解得， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法透视 考向解读 1. 复合模型特征：图形中同时包含“A”字和“8”字两种基本相似结构，是二者的组合与拓展。 2. 分类考查：常分为“一A+8”、“两A+8”（反向双A）、“四A+8”等类型，考查学生在复杂图形中分解基本模型的能力。 3. 线段关系推导：常考利用两组相似三角形的比例式相加或相乘，推导出复杂的线段关系或等式。 4. 综合压轴应用：多与中点、平行线、动态几何结合，考查转化与化归思想。 方法技能 1. 分解基本模型：从复杂图形中分别识别出“A”字形和“8”字形相似三角形，逐一分析。 2. 寻找中间比：两组相似三角形中常有公共线段或比例作为桥梁，利用中间比实现比例传递。 3. 比例式加减处理：遇“两A+8”模型，常需将两个比例式相加得到新的关系式，注意代数变形。 4. 平行线构造：当模型隐含时，主动作平行线构造“AX”结构，实现线段比的转化。 变式演练 【变式01】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【变式02】（2025·安徽合肥·一模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1． (1)求证：平分． (2)若，，求的值． (3)若，如图2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）平行得到，等边对等角，得到，进而得到，即可得证； （2）过作于，勾股定理求出的长，进而求出的长，角平分线的性质，得到，证明，求出的长，进而得到的长，证明，推出的长，再根据正切的定义，进行求解即可； （3）易证矩形是正方形，设，进而得到，证明，推出的长，勾股定理求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ， ， 平分． （2）过作于． 在矩形中，，， ，， ，， 由（1）得平分， ， ， ， 又， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （3）， 矩形是正方形， 设，则， 由（2）知：， ，， ∴， ，平分， ∴， ， ， ， ． 题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 典例引领 【典例01】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 【典例02】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明； （3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即． 【详解】（1）证明：，，，，， ， ． （2）证明：在中，，根据勾股定理得，， ， ， 又（已证）， ， ． （3）解：，证明如下： 过点作直径交圆于点，连接， 为圆的直径， ， ， ， ，即：． 方法透视 考向解读 1. 模型特征：一个大三角形内含一个小三角形，两者共一角，且小三角形的一边与大三角形的另一边重合，形成“子母”相似关系。 2. 射影定理型：直角三角形斜边上的高分成的两个小三角形均与原三角形相似，是母子型的特例。 3. 乘积式结论：常考由相似得到比例式，进而转化为等积式（如AD×AB=AE× AC）用于计算。 4. 综合应用：多与圆（切割线定理）、勾股定理结合，考查学生识别共角共边结构的能力。 方法技能 1. 抓公共角：母子型相似的关键是找到公共角，再找另一组等角或夹公共角的两边对应成比例。 2. 射影定理巧用：在直角三角形中，记住射影定理结论（AC2=AD×AB、BC2=BD×AB、CD2=AD×BD）可快速解题。 3. 等积式转化：由相似推出的比例式常转化为等积式，便于代入已知线段长度求解未知量。 4. 识别变式图形：母子型常隐藏于复杂图形中（如圆内接三角形），通过旋转或翻折识别基本结构。 变式演练 【变式01】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F． (1)边的长为____； (2)当时，求的长； (3)当时，求的值； (4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)4； (2)； (3)； (4)的长为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）过点E作，交于点H ，根据勾股定理求出，，由，即，求出，得到，根据，得到，，即可得到． （4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，的长为． （3）解： 如图，过点E作，交于点H ， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时，则， ∴； ②如图，以为对称轴时，则， ∴点D到的距离相等， 设点D到的距离为h，点C到的距离为m， ∴， ∴，即， 综上，的长为或． 【变式02】（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：； （）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且． ①如图，若，，，求的长； ②如图，若为的中点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）①导角证明，得到；求出，得到，证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②如图所示，延长交于F，连接，证明，得到，则可证明，再证明，得到，设，则，可得，则，即． 【详解】（）证明：∵，， ∴， ∴； （）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②如图所示，延长交于F，连接， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴，即． 题型05 相似模型之一线三等角模型 典例引领 【典例01】（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，满足． (1)若射线交于点，求证：； (2)若，求的长； (3)若，求点在边上的位置． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)点是上靠近点的三等分点 【分析】本题以平行四边形为载体，综合考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及比例式的代换，关键是通过等角关系推导相似三角形，再利用相似比建立线段间的联系，逐步完成求解． （1）先借助平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合已知等角条件推出两组对应角相等，从而用判定定理证明三角形相似． （2）由（1）的相似得到，再通过等角对等边推出，将其转化为；接着利用平行四边形的角的互补关系和三角形内角和，证明，进而得到，推导出求出的长度；最后由平行线得到的相似三角形比例式，代入数值计算出的长． （3）直接利用（2）得到的比例式，结合题目给出的，代入化简后得到与的比例关系，从而确定点在上的位置． 【详解】（1）证明：如图，射线交于点， ∵在中，， ， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得， ∴，即， ∵， ∴， ∴①， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即②， 在中，， ∵， ∴，即③， ③-②得，即， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，化为， 将①代入得，化为④， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点是上靠近点的三等分点． 【典例02】（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且． (1)求证：． (2)①如图2，若，当时，求证： ②如图3，当，，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）证明：由相似三角形的性质可得，证明为直角三角形，结合，即可得证；②由相似三角形的性质可得，，作于，于，求出，得到，，，由勾股定理可得，，作于的延长线，交延长线与，由，，知，在中，，求得，在中，求得的长． 即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴； ②解：由（1）可知：， ∴， ∵，，， ∴，， 如图，作于的延长线，交延长线与， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ，， ， 在中，，， ，已知， ， 中，． 方法透视 考向解读 1. 模型特征：在同一条直线上出现三个相等的角，顶点分别位于直线和两个三角形上，构成两组相似三角形。 2. 分类考查：常分为同侧型和异侧型，直角型（一线三垂直）和锐角、钝角型，不同位置结论略有差异。 3. 相似结论：由等角条件直接推出两个三角形相似，得到对应边成比例，用于求线段长度或证明乘积式。 4. 综合应用：多与二次函数、动点问题结合，考查学生在坐标系中构造模型解决问题的能力。 方法技能 1. 找线寻角：在图形中寻找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。 2. 等角导相似：由外角定理或三角形内角和证明另一组角相等，得到两个三角形相似。 3. 比例列方程：由相似得对应边成比例，设未知数列方程求解线段长度或点坐标。 4. 直角特例快解：当等角为直角时（一线三垂直），相似关系更直观，可直接用水平竖直线段比列式。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，则，由，得 由 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴，相似比为 ∴ ∵ ∴ ∴ 【变式02】（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】 （3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且． ①求证：． ②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1）见解析（2）（3）①证明见解析② 【分析】（1）推出，，即可推出； （2）连接，证明，设，，则，，，，列出方程，即可得，即可解答； （3）①连接，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，证明，，可得，经过线段的转换即可解答； ②设，可得，即，求得菱形的边长即可解答． 【详解】证明：， ， ， ，且， ， ； （2）如图，连接， 在矩形中，，， ， ，， ，， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ， 设，，则，，，，， ， ， ， ， ，， ； （3）①证明：如图，连接，过点作交的延长线于点， 在菱形中，,， ，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在上取一点，使得， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ， 四边形为菱形， 设， ，即， 解得， 即， 如图，过点作交于点， ， ，， ． 题型06 相似模型之手拉手模型 典例引领 【典例01】（2026·湖北黄石·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长， (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于 ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可得，是直角三角形，由勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则．从而得到，使用勾股定理计算即可； （3）①由旋转的性质可得，，，，则，结合，可证明．通过等量代换，可得，则可证明； ②作，垂足为，延长、交于点，设，则，使用勾股定理计算出．容易证明，根据相似三角形的性质可得，．由等腰三角形的性质，可得，进而得到．容易证明，则．由①中的，可得．由平行判定，则，代入即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴ 解得，； （3）解：①由旋转的性质可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ∵， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例02】（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 方法透视 考向解读 1. 模型特征：两个相似三角形共顶点，且对应边成比例，绕公共顶点旋转构成“手拉手”结构，产生新的相似三角形。 2. 旋转相似：由旋转得到第二对相似三角形（即拉手线构成的三角形与原三角形相似），常考证明二次相似。 3. 结论应用：主要结论为拉手线的比等于相似比，拉手线的夹角等于旋转角（即对应边的夹角）。 4. 综合压轴：多与最值问题、动点轨迹结合，考查学生从旋转图形中识别相似关系的能力。 方法技能 1. 识别公共顶点：找到两个相似三角形的公共顶点，确认对应边成比例是模型成立的前提。 2. 证二次相似：由第一对相似得对应角相等，再结合旋转角证第二对三角形相似（常为SAS）。 3. 拉手线比例：由二次相似得到拉手线的比等于原相似比，直接用于求线段长度。 4. 动态抓不变量：图形旋转过程中，相似比和拉手线夹角保持不变，可用于求轨迹或最值。 变式演练 【变式01】（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式02】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）， 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据互为“手拉手等形三角形”定义可得出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）类似（1）证明即可； （3）过B作于M，过D作于N，根据，得出，证明，得出，则，证明，得出，代入数值求解即可； （4）类似（1）证明，得出， ，设，则，过A作于M，过F作于N，则，，，，证明，可求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点 ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，经检验符合题意； （2）证明：如图， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （3）∵，，D为的中点， ∴，， ∴， 过B作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意； （4）解：∵，，， ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 设，则， 过A作于M，过F作于N， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为，此时， ∴面积的最大值为，此时的长度为． 题型07 相似模型之半角模型 典例引领 【典例01】（24-25九年级上·江苏南京·月考）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例02】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可； （3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，， 解得：， ； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； 综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 方法透视 考向解读 1. 模型特征：一个大角（常为90°或120°）内含其半角（45°或60°），通过旋转构造相似三角形，实现线段关系转化。 2. 相似结构：旋转后常出现两组相似三角形，一组是全等（用于边转移），另一组是相似（用于比例计算）。 3. 线段关系：常考结论如EF2 = BE2 + DF2（正方形半角）或线段乘积关系，需结合勾股定理求解。 4. 综合应用：多与最值问题、动点轨迹结合，考查学生构造旋转相似解决问题的能力。 方法技能 1. 旋转构造：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使两边与大角两边重合，构造全等三角形。 2. 证相似得比例：旋转后新出现的三角形与原三角形相似，利用相似比列方程求线段长度。 3. 勾股结合：将转移后的线段集中到直角三角形中，用勾股定理建立等量关系求解。 4. 多解验证：半角模型中常有多组相似关系，选择最直接的一组列式，注意对应边要准确。 变式演练 【变式01】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 题型08 相似模型之对角互补模型 典例引领 【典例01】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据解析过程即可求解； （2）过点作于点，作于，则四边形是矩形，根据角平分线性质得到，再证明即可； （3）过点作于点，作于，证明，则，而在中，，则． 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下： 过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【典例02】（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①正方形，见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据四边形内角和即可解答； （2）过点作交延长线于点，证明即可解答； （3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答； ②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：根据四边形内角和为， 可得， 故答案为：； （2）解：如图，过点作交延长线于点， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， 即平分； （3）解：①由（1）得，， ， ， ， 四边形是矩形， 绕点旋转得到， ， 如图，过点作交延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 即平分， ， ， ， ， 矩形是正方形． ②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， 设，，则， 在中，， ， 同理，， ， 解得，， ． 方法透视 考向解读 1. 模型特征：四边形（常为圆内接四边形）中，一组对角互补，通过作垂线或旋转构造相似三角形。 2. 双垂直特例：对角互补的常见特例是“对角都为90°”的双垂直结构，出现射影定理型相似。 3. 相似结论：由对角互补可推出另一组对角相等或邻补角相等，进而证明三角形相似得到比例式。 4. 综合应用：多与圆（圆周角定理）、角平分线结合，考查学生转化角关系的能力。 方法技能 1. 互补导出等角：四边形对角互补，则外角等于内对角，利用这一关系寻找相等的角证相似。 2. 作垂线构造：过顶点作双垂直，将对角互补转化为一线三等角或射影定理模型求解。 3. 旋转集中边：将对角互补的三角形旋转，使互补角拼成平角，构造共线边便于计算。 4. 圆中直接套用：圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理可直接找到多组相等的角。 变式演练 【变式01】（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知． (1)如图1，点在的延长线上，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形外接圆、圆内接四边形的性质，正切的定义等，熟练掌握是解题的关键． （1）分别证明、即可； （2）连接，以为半径作圆，易得点、点在圆上，四边形为圆内接四边形，根据托勒密定理得，即，又弦所对圆周角，，，，； （3），如图所示，构造三角形，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， ． （2）解：如图所示，连接，以为半径作圆， 易得点、点在圆上， 四边形为圆内接四边形， 根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，， 如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得： 将上述三个三角形拼接，得： ， 新图形为平行四边形， ， 即，即， 又弦所对圆周角， ，， ， ． （3）解： ， 如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，， 则，， ， ， ， ， 根据上述结论，， 则， 如图所示，作矩形，设， 则， 根据上述结论，， ， ， 答：． 题●型●训●练 一、单选题 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是边的中点，，，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】延长、，交于点F，过点A作于点G，证明，得出，求出，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，，最后根据勾股定理和直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长、，交于点F，过点A作于点G，如图所示： 则， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（2025·云南玉溪·三模）如图，中，，与相交于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由相似三角形面积比得出相似比，再根据相似三角形性质得到对应边的比例关系，进而求出的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 二、填空题 3．（2026·上海松江·一模）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：2． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，E是射线上一点，F是射线上一点，且，连接，交于点G，连接，当的值最小时，的面积为__________． 【答案】/7.5/ 【分析】通过构造辅助线，先证得四边形、是矩形，再证得，结合已知条件求得，的值，进而得到的值，利用对称的性质得到，，当点，G，C三点共线时，得出有最小值，再证明，利用相似三角形的性质求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】解：如图，过点G作，延长交于点M，过点G作， 则， 在矩形中，，， ∴四边形、是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 作点B关于点P的对称点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴当点，G，C三点共线时，的值最小，此时最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 5．（2025·河南郑州·一模）如图，点为的边上一点，延长至点，使得，点在线段上，且，，． (1)求的长． (2)若，平分，求的长． 【答案】(1)2.4 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行得到，，即可求解； （2）过作于，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出，由，推出，即可求出，于是得到． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2025·江西吉安·二模）追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明，得到，进而求出，根据勾股定理求出，根据等面积法即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 8．（2025·安徽铜陵·二模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， ①求证，并求出的值； ②如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的性质得到相等的边和角，然后证明即可得出结论； （2）①根据正方形的性质得出相等的角，求出相关边长，证明，，然后利用相似三角形的性质即可得出结论，利用勾股定理即可求解； ②延长，交于点E，证明，，利用相似三角形的性质得出，继而得出，最后根据等量代换得出可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：①由（1）知， ， 四边形为正方形， ，，， ， ∴， ∴，， ，， ， 在中，，，由勾股定理得， ， ； ②如图，延长，交于点E， 四边形为正方形， ，， ， 同上易得，，， ，， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 即平分． 9．（2025·山东济南·模拟预测）【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示． （1）当的面积达到最大时，的度数为______； （2）根据图，求证：； （3）根据图，求的度数； 【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 【答案】初步探索：证明见解析；问题解决：（1）；（2）证明见解析；（3）；类比应用：，理由见解析 【分析】初步探索：根据题意证明出，即可得出结论； （1）一定，，因此当最大时，的面积最大，因此当时，取最大值，此时的面积最大，即可得出的度数； （2）由，，可得，，得，，得出，即可得出结论； （3）由可得，进而即可得出结论． 类比应用：连接、，在和中，根据勾股定理，，然后解直角三角形，由，可得，由，可得即可得出结论． 【详解】初步探索：证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （1）∵一定，， ∴当最大时，的面积最大， 由题意得时，取最大值，此时的面积最大， ∴， ∵，， ∴， ∴旋转角； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， 即的度数为115°； 类比应用：连接，．如图， 在和中， 由勾股定理，， ∴， ， ∴， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，（），为边上一点，满足 (1)求证：； (2)在延长线上有一点，是边上的中线，连接． ①当，时，求的值； ②将沿翻折至，线段与线段交于点H，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意易证得，根据相似三角形的性质得到，从而得到结论； （2）①根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等腰三角形的性质得到，在中，由勾股定理得，进而求得的值； ②连接，过点G作的平行线交延长线于点M，过点G作于点W，过点F作于点N，且交于点Q，延长交的延长线于点K，证得，根据相似三角形的性质得到，设、、，在中，由勾股定理得，证得，进而得到；再证得，进而得到，，则，再证得四边形是矩形，进而得到、，在中，由勾股定理得，再证得和，进而得到，根据的代数式列出方程，最后根据进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①如图，连接， 在中，是边上的中线， ， 在中，是边上的中线， ， ， 是等腰三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； ②如图，连接，过点G作的平行线交延长线于点M，过点G作于点W，过点F作于点N，且交于点Q，延长交的延长线于点K， 则、、、， 、是的中线， 、、， ， ， 即， ， 设， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 设、、， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 在中，， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， ， ； 、， ， ， ，即， ， ， ， 、， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 、， 在中，， 即， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 、， 、， ， ， ， ，即， ， ，即， ， 解得， ． 11．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 12．（2025·江苏盐城·一模）问题情境  借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考： 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； （类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； （延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答． 【详解】（探究发现）解：， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． （类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（探究发现）可得：， ， 解得：； （延伸思考）解：过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， ． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形的基本八大模型 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 年典例明引领 生方法透视 自变式演练 题型01相似模型之“A”字模型 题型02相似模型之“X”字模型（“8”字模型) 题型03相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型) 题型04相似模型之“母子型”模型（共边共角模型) 题型05相似模型之一线三等角模型 题型06相似模型之手拉手模型 题型07相似模型之半角模型 题型08相似模型之对角互补模型 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 。题型01相似模型之“A”字模型 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025-湖北武汉一模)如图，一块材料的形状是等腰ABC，AB=AC=5cm,BC=6m,把 它加工成正方形EFGH零件，使正方形的一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则这个正方 形零件的边长是」 cm E G 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例02】(2026上海虹口一模)如图，D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC, DE=4,BC=12,AE=3. B (I)求CE的长： (2)如果∠ACD=∠ABC,求CD的长. 。方法透视 考向 1. 模型特征：在三角形中作一条底边的平行线，构成“A”字形，产生两个相似三角形，对应边成 解读 比例。 2.正A与斜A：正A字形中平行线与底边平行；斜A字形中非平行线但共角，同样满足相似关系。 3. 应用方向：常考利用相似比求线段长度、证明比例式，或结合动态问题求函数关系。 4. 综合压轴：多与二次函数、动点问题结合，考查学生从复杂图形中识别基本模型的能力。 方法 1. 平行得相似：见到平行线立即联想“A”字形相似，找出对应顶点，写出比例式器=荒=能 技能 2. 斜A找共角：无平行线但有公共角时，考虑斜A字形，证另一组角相等或用两边对应成比例且 夹角相等证相似。 3. 设参列方程：求线段长度时，设未知数利用相似比列方程求解，注意对应边要准确。 4.动态抓不变量：动点问题中，平行关系变化时相似比随之变化，但相似关系保持不变。 ◆变式演练 【变式01】(1)如图1，在ABC中，E是AB上一点，过点E作BC的平行线交AC于点F,点D是BC上 任意一点，连接AD交EF于点G,求证： EG BD GF CD D 图1 图2 ②)如图2，在①)的条件下，连接，0F,若器分且FE,8恰好指AD三等分，求 一的 2/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值. 【变式02】(2025黑龙江佳木斯·一模)如图，在RtaA0B中，∠A0B=90°，OA和OB的长分别是方程 x2-7x+12=0的两个根(OA<OB),以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P从点 B出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点A运动，同时点Q从点A出发，以相同的速度向点O匀速运 动，到达点O后又立即按原速返回，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，连接PQ,设点P、Q的运 动时间为t秒，△APQ的面积为S.请结合图象信息解答下列问题： 0 0 B (1)求线段AB的长： (2)求S与t之间的函数关系式： (3)是否存在t的值，使△APQ为直角三角形？若存在，请直接写出t的值：若不存在请说明理由. 题型02 相似模型之“X”字模型（“"8”字模型 ◆典例领◆ 【典例01】(2026上海闵行一模)如图，线段AD、BC相交于点E,点F是线段ED的中点，连接 AB、BD、CD,分别延长B4、FC交于点G,已知∠BAD=90°，且E-BE CE DE (I)求证：LABE=∠FCD; 2如果DA平分LBDC,求证：BD2CF BG BC 【典例02】(2026上海徐汇·一模)如图，在梯形ABCD中，ADI BC,DF分别交对角线AC、底边BC于 点E、F,且AD·AC=AE·BC. 3/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D B F (I)求证：AB‖FD; (2)点G在底边BC上，BC=12,CG=3,连接AG,如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长. 《。方法透视 考向 1. 模型特征：两条直线相交，构成对顶角，常结合平行线或角相等条件，形成“X”字形相似三角 解读 形。 2. 平行型“X”字：在两条平行线间，连结端点形成“X”形，出现两组相似三角形，对应边成比 例。 3.非平行型：仅有对顶角加另一组角相等，也可证相似，常用于复杂图形中抽离基本模型。 4. 综合应用：常与中线、角平分线、动态几何结合，考查比例线段证明和长度计算。 方法 1. 识别对顶角：见到两条线段交义，先找对顶角，再寻另一组等角（内错角或已知相等角）证相 技能 似。 2. 平行出比例：有平行线时，“X”字形中对应线段比例相等，如器=器，可直接列式。 3. 乘积式转化：将比例式转化为等积式（如OA×OD=OB×OC),方便代入数值求解。 4. 多个“X”字：复杂图形中可能隐藏多个“X”字模型，逐个分析，利用比例传递解题。 ◆变式演练 【变式01】(2025安微池州一模)如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE,交对角线BD于点 F,且AE=CE. (1)若∠ADB=35°，求∠DCE的度数： (2)若EF=1,CF=4,求DE的长； EF 3)若DE=DF,求 F的值. 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式02】(2026四川成都.一模)如图，在口ABCD中，点E是线段CD的中点，点F在BA的延长线上， 且AF=AB,连接EF交线段AD于点G. D (U G A 图1 图2 0二的值， (2)当CE=EG=k时. D如图1，若△AFG的面积是8，AB=AD,求k的值， ii)如图2，连接BG、AC,若∠BAC=∠AGB,求BC的长（用含k的代数式表示）· ◆题型03相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型) ◆典例领◆ 【典例01】(2025安徽铜陵.一模)如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，CD=2AB,AC、BD 相交于点E,EF⊥BC,垂足为点F,连接DF交AC于点G,连接BG. (1)求证：AD=AC; 2)求EF 的值： CD (3)求证：BG∥AD. 【典例02】（2026新疆一模)问题解决：(1)如图①，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的一点， BE⊥CD,DE∥BC,若BC+DE=5,CD=4,求BE的长； 类比探究：(2)如图②，在口ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F,∠DCB的平分线CE交AD于 点E,BF与EC交于点N,求出BF与CE的位置关系，并说明理由； 拓展延伸：(3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别在边BC、AB上，AE⊥DF,若 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=4D=10,BC=CD=5,求E的值. AE D F 图① 图② 图③ 今方法透视 考向 1. 复合模型特征：图形中同时包含“A”字和“8”字两种基本相似结构，是二者的组合与拓展。 解读 2. 分类考查：常分为“一A+8”、“两A+8”(反向双A)、“四A+8”等类型，考查学生在复 杂图形中分解基本模型的能力。 3.线段关系推导：常考利用两组相似三角形的比例式相加或相乘，推导出复杂的线段关系或等式。 4.综合压轴应用：多与中点、平行线、动态几何结合，考查转化与化归思想。 方法1. 分解基本模型：从复杂图形中分别识别出“A”字形和“8”字形相似三角形，逐一分析。 技能 2. 寻找中间比：两组相似三角形中常有公共线段或比例作为桥梁，利用中间比实现比例传递。 3. 比例式加减处理：遇“两A+8”模型，常需将两个比例式相加得到新的关系式，注意代数变形。 4。 平行线构造：当模型隐含时，主动作平行线构造“AX”结构，实现线段比的转化。 ◆变式演练 【变式01】(2024湖北模拟预测)(1)【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点E,点 F在BD上.求证： 111 AB CD EF H D 图1 图2 图3 小雅同学的想法是将结论转化为+只=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程. AB CD (2)【类比探究】如图2，AE⊥AB,BD⊥AB,GH⊥AB,DE与BC相交于点G,点H在AB上， 112 AE=AC.求证： GH AC BD (3)【拓展运用】如图3，在AC四边形ABCD中，AB∥CD,连接，BD交于点M,过点M作EF∥AB, 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交AD于点E,交BC于点F,连接EC,FD交于点N,过点N作GH∥AB,交AD于点G,交BC于点H, 若AB=3,CD=5,直接写出GH的长 【变式02】(2025安微合肥.一模)己知点E是矩形ABCD边DA延长上一点，且AE=AC,O是对角线 AC和BD的交点.连接CE,交AB于F,交BD于G,连接OF,如图I. (图1) (图2) (1)求证：CE平分∠ACB. (2)若AB=3,AD=4,求tan∠A0F的值 B)若AB=AD,如图2，求BC的值. CG2 题型04相似模型之“母子型”模型（共边共角模型 ◆典例领◆ 【典例01】(2026上海金山一模)如图，在ABC中，AB=AC,点E、D分别在边BC、AC上， ∠AED=∠B B (I)求证：△ABEn△ECD; (2)若AB=10,BC=16,BE=12,求CD的长. 【典例02】(2025山东滨州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三条边BC,AC,AB及AB边 上的高CD分别记为a,b,c,h. 口 B D B 图1 图2 (1)求证：ab=ch; (2)求证： 111 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (B)若将Rt△ABC变为锐角ABC,其他不变，如图，设其外接圆的直径为d,试探索并写出a,b,h,d这4 个量的一个等量关系，然后给出证明 。方法透视 考向 1. 模型特征：一个大三角形内含一个小三角形，两者共一角，且小三角形的一边与大三角形的另 解读 边重合，形成“子母”相似关系。 2. 射影定理型：直角三角形斜边上的高分成的两个小三角形均与原三角形相似，是母子型的特例。 3. 乘积式结论：常考由相似得到比例式，进而转化为等积式（如AD×AB=AE×AC)用于计算。 4. 综合应用：多与圆（切割线定理）、勾股定理结合，考查学生识别共角共边结构的能力。 方法 1.抓公共角：母子型相似的关键是找到公共角，再找另一组等角或夹公共角的两边对应成比例。 技能 2. 射影定理巧用：在直角三角形中，记住射影定理结论(AC2=AD×AB、BC2=BD×AB、CD2=AD ×BD)可快速解题。 3.等积式转化：由相似推出的比例式常转化为等积式，便于代入已知线段长度求解未知量。 4. 识别变式图形：母子型常隐藏于复杂图形中（如圆内接三角形），通过旋转或翻折识别基本结 构。 ◆变式演练 【变式01】(2025吉林长春.一模)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，AB=2√5，AC=2,点E是边 BC上一点（且点E不与点B、C重合），连结AE,过点C作CD⊥AE,交边AB于点D,交线段AE于点 F. D E B (1)边BC的长为一； (2)当△CAF∽△ABC时，求AD的长； 3)当CE=3时，求D 的值： BD (4)连结DE,当四边形ACED为轴对称图形时，直接写出BD的长。 【变式02】(2025湖北武汉.一模)(1)【提出问题】如图1，M是ABC的边BC上一点，且 ∠M4B=∠ACB.求证：4-AB AC BC 8/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【探究问题】在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,E是边CD上一点，连接BE交AC于点 P,且∠CBE=∠ACD. ①如图2，若AB=3,BC=4,BE⊥CD,求BE的长； ②如图3，若E为CD的中点，直接写 BE的值， 图1 图2 图3 题型05相似模型之一线三等角模型、 ◆典例领 【典例01】(2026湖南模拟预测)如图，在口ABCD中，点M,N分别在边BC,CD上，连接AM, AN,MN,满足∠AMB=∠ANM=∠CNM. (I)若射线AB,NM交于点P,求证：△ABM∽△AMP; (2)若AB=3,BC=4,CN=2,求AN的长； (3)若AN=AB+。CN,求点M在边BC上的位置： 【典例02】(2025安微淮北.一模)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C,点E是BC上一点，且 ∠AED=∠B, 图1 图2 图3 (I)求证：△ABE∽△ECD. 9/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①如图2，若tan∠ADE= 当∠B=∠C=90时，求证4AB=3CE 3 ②如图3，当∠B=∠C=120°，CE=2,BE=6,CD=4时，求AD的长. 》方法透视 锏 1. 模型特征：在同一条直线上出现三个相等的角，顶点分别位于直线和两个三角形上，构成两组 解读 相似三角形。 2. 分类考查：常分为同侧型和异侧型，直角型（一线三垂直）和锐角、钝角型，不同位置结论略 有差异。 3. 相似结论：由等角条件直接推出两个三角形相似，得到对应边成比例，用于求线段长度或证明 乘积式。 4. 综合应用：多与二次函数、动点问题结合，考查学生在坐标系中构造模型解决问题的能力。 方法 1.找线寻角：在图形中寻找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。 技能 2. 等角导相似：由外角定理或三角形内角和证明另一组角相等，得到两个三角形相似。 3. 比例列方程：由相似得对应边成比例，设未知数列方程求解线段长度或点坐标。 4. 直角特例快解：当等角为直角时（一线三垂直），相似关系更直观，可直接用水平竖直线段比 列式。 ◆变式演练· 【变式01】(2025广东深圳二模)在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上. E E 图1 图2 图3 【尝试初探】(1)如图1，若平行四边形4BCD是正方形，E为BC的中点，∠4EF=90,求CE的值： DE 【深入探究】(2)如图2，∠B=45°，∠AEF=90,AE=EF,求CE的值， DE 3'D,C子米8的值 【拓展延伸】(3)如图3，BF与DE交于点0，an∠BOE=an∠A=4,4B=5,BE_3, DE 【变式02】(2026江苏连云港模拟预测)探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究 【问题提出】 (1)如图1，在ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC,点E,F在线段AD上，∠BED=∠CFD=60°，求证： 10/22