专题09矩形同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题09矩形同步讲义 【题型01 矩形性质理解】..........................................3 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................5 【题型03 利用矩形的性质求线段长】................................8 【题型04 利用矩形的性质求面积】.................................11 【题型05 利用矩形的性质证明】...................................14 【题型06 矩形与折叠问题】.......................................19 【题型07 矩形的判定定理理解】...................................22 【题型08 添条件使四边形是矩形】.................................25 【题型09 证明四边形是矩形】.....................................27 【题型10 根据矩形的性质与判定求角度】...........................29 【题型11 根据矩形的性质与判定求线段长】.........................33 【题型12 根据矩形的性质与判定求面积】...........................37 【题型13 斜边的中线等腰斜边的一半 】............................41 【解答题5题 】..................................................44 ★知识梳理★ 知识点01:矩形的定义 文字表述：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 符号语言：在▱ABCD 中，若∠ABC=90°，则▱ABCD 是矩形。 核心要点：矩形必须满足两个条件 ——①是平行四边形；②有一个内角为 90°。 知识点02:矩形的性质（已知矩形 ⇒ 得结论） 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形中常用结论 1.矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形 2.若矩形对角线夹角为 60°/120°，则必出现等边三角形 3.直角三角形推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且平分推导而来） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点05:易错提醒 1.对角线相等且平分才是矩形，只相等不行 2.矩形对角线不垂直（垂直就是菱形了） 3..判定先看是平行四边形还是普通四边形 【题型1.矩形性质理解】 【典例】矩形的对称轴的条数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，矩形的性质，矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线所在的直线，据此可得答案． 【详解】解：矩形的对称轴有两条，是通过对边中点的两条直线， 故选：B． 【跟踪专练1】要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来______盆红花．如果一条对角线用了29盆红花，还需要从花房运来盆______红花． 【答案】 18 28 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有18盆花时，另一条对角线要有相同盆数即18盆； 当一条对角线有29盆花时，因为两对角线的交点处有一盆，所以另一条对角线的盆数要少一盆即28盆． 故答案为：18，28． 【点睛】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用．同时考查了分类讨论的数学思想． 【跟踪专练2】在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为________． 【答案】5/5厘米 【分析】根据矩形性质得出，，求出，得出三角形为等边三角形，推出，即可求解． 【详解】如图： 四边形是矩形， ，， ， ， 为等边三角形， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质和等边三角形性质和判定，掌握矩形的性质和等边三角形性质和判定是解题关键． 【跟踪专练3】如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵直线垂直平分， ∴， 再中，， ∵， ∴在中，， 故选：A． 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 _____度． 【答案】45或135/135或45 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义得出，再分两种情况：①当的平分线交线段于点E，②当的平分线交线段外于点E，分别求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， 由题意可分：①当的平分线交线段于点E， ； ②当的平分线交线段外于点E， ； 综上所述： 或45°， 故答案为：45或135． 【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，分情况讨论是解题的关键． 【跟踪专练1】两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余．先根据平角的定义得到，再由矩形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：    ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得，得到，进而求得为等边三角形，得到． 【详解】∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∴，． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） . A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形外角的性质．延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【题型3.利用矩形的性质求线段长】 【典例】如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是_____． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，判断出是等边三角形是解决本题的关键． 由矩形的性质可知矩形对角线相等且互相平分，即，由可知是等边三角形，由此可求解对角线的长． 【详解】解：在矩形中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则矩形的对角线的长是4． 故答案为：4 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到线段的长． 先在中，由勾股定理求出对角线的长度；再根据矩形对角线互相平分的性质，得到，从而计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，，，点在上，四边形是矩形，且，连接，交于点，连接，则______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知，，证得为等边三角形，可求得，，，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形 ∴，，． ∴． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 【题型4.利用矩形的性质求面积】 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线的性质是解题的关键． 根据，是矩形的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则，根据矩形对角线互相平分的性质证得，进而求得阴影部分的面积等于即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O， ∴、， ， 在和中， ， ， ，是矩形的对角线， ， 阴影部分面积为：． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，点A，D分别在函数、的图象上，点B，C在x轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 【题型5.利用矩形的性质证明】 【典例】如图是一个矩形木框，，，若在点，处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 根据勾股定理，则有： cm， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点在上，点在上，，连接，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行的性质，直角三角形的三边关系等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据矩形的性质和平行的性质判定出，分别是的斜边，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴分别是的斜边，直角三角形中斜边最长， ∴， 即， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质。全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分情况求解t的值是解题的关键．若点P在上，则，证明，可得，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案． 【详解】解：若点P在上， 当是等腰三角形时，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出选项D错误． 【详解】在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故选项A正确，不符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项B正确；不符合题意； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 故选C正确，不符合题意； 由上述①、⑤、③可得、，， ， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【题型6.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．由矩形的性质得，，由折叠得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，,， 由折叠得， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解． 【详解】解：由翻折可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D不符合题意； 矩形， ， ， ， ， 故选项A不符合题意； 根据现有条件无法证明选项BC； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，E为边上的一点，将沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理求出，则，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 【题型7.矩形的判定定理理解】 【典例】甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（    ） A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框的对角线相等 C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理，需满足对角线相等的平行四边形或三个角都是直角等条件，逐一分析选项，判断其是否满足矩形判定条件即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等说明是平行四边形，但无法确定是矩形，故甲的说法不准确，不符合题意； B、对角线相等可能是正方形、矩形或等腰梯形，故乙的说法不准确，不符合题意； C、一组邻边相等无法确定是否为矩形，可能为菱形，故丙的说法不准确，不符合题意； D、两组对边分别相等且两条对角线也相等的是矩形，故丁的说法正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（　　）    A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是矩形 【答案】D 【分析】取中点O，连接、，先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案． 本题考查了平行四边形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】如图，取中点O，连接、，    ∵中，点E，F分别是，的中点， ，，，，，， ，， ∴E，O，F三点共线， 又，， ，即， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， A选项，不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形； B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 故选：D 【题型8.添条件使四边形是矩形】 【典例】已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的定义，结合平行四边形的性质，确定符合要求的添加条件． 【详解】解：当或或或时，平行四边形为矩形； 当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形为矩形．（答案不唯一） 【跟踪专练1】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形中，，相交于点，下列验证方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，不能判定平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，的对角线，交于点，下列条件中，不能判定是矩形的条件是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是矩形，故此选项不符合题意； B、∵，∴是菱形，不能判定是矩形，故此选项符合题意； C、∵，∴是矩形，故此选项不符合题意； D、∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴是矩形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型9.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出即可． 【详解】解：当时， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：10． 【跟踪专练1】根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线之间的距离的含义，平行四边形的判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：由一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； 如图， ∵，即，， ∴，且之间的距离为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，也是平行四边形，故B符合题意； 选项C不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； 选项D也只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：B 【跟踪专练2】如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形” ． 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：， ∴ 当时，为矩形， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【题型10.根据矩形的判定与性质求角度】 【典例】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度． 【答案】105 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 【题型11.根据矩形的判定与性质求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连结，，P是线段上的点，过点P作，，垂足分别为G，H，连结．若，则的最小值是______．    【答案】// 【分析】连接，，利用矩形的性质及勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形，当点A、P、C三点共线时，有最小值，进而可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：   四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当点A、P、C三点共线时， 此时， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握其判定及性质，借助辅助线，当点A、P、C三点共线时，有最小值是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【跟踪专练2】在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理；连接，取中点M，连接，，得出是的中位线，得出，，，，再由得出四边形是矩形，最后通过勾股定理即可求出. 【详解】解：连接，取中点M，连接，，交于点，如图所示， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质，得到时线段最短是解题的关键． 根据题意得到四边形是矩形，的最小值即可得到的最小值，且，由垂线段最短，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，连接， ∴，则，，即点三点共线， ∴的最小值即可得到的最小值，且， 当时，的值最小，则的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 【题型12.根据矩形的判定与性质求面积】 【典例】如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________． 【答案】S1=S2 【分析】由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵，， ∴四边形和四边形都是矩形． ∵，，四边形为矩形， ∴四边形和四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 【跟踪专练2】在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【答案】48 【分析】如图：连接，利用三角形中位线定理可求出的长度，再通过勾股定理的逆定理判断平行四边形的一个内角为直角，最后计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴是直角三角形，即， ∵在中，, ∴平行四边形是矩形， ∴． 【点睛】掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 【题型13.斜边的中心等于斜边的一半】 【典例】如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理，解题思路是先由刻度尺求出的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解；解题关键是识别为斜边中线，易错点是对定理的条件和结论理解不清，运用了几何定理的方法技巧． 【详解】解：因为点分别对应刻度尺上的刻度和， 所以， 因为，为的中点， 所以， 即； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的长．本题主要考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理求斜边长度以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∵是的中点 ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据三线合一得到，，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：连接，， ∵，，，F为的中点， ∴，，即， ∵G为的中点， ∴，， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴在上， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【解答题】 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 2．如图，在长方形中，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，求线段的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∴． 由折叠得， ∴， ∴． 设，则． ∴在直角中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴的长为． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 4．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质及判定、等腰三角形的判定等，先证明四边形是平行四边形，利用，，求得，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 5．如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）要证明，先利用三角形中位线定理，结合中点条件得到，从而判定四边形为平行四边形；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，推出为的中点，即． （2）判断与的数量关系，先在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到；再结合三角形中位线定理，得到，从而推出． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴． （2）解：．理由如下： ∵是的中点，， ∴． ∵分别是的中点， ∴， ∴． 6．如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的应用；先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09矩形同步讲义 【题型01 矩形性质理解】..........................................3 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................3 【题型03 利用矩形的性质求线段长】................................4 【题型04 利用矩形的性质求面积】..................................5 【题型05 利用矩形的性质证明】....................................6 【题型06 矩形与折叠问题】........................................7 【题型07 矩形的判定定理理解】....................................8 【题型08 添条件使四边形是矩形】..................................9 【题型09 证明四边形是矩形】......................................9 【题型10 根据矩形的性质与判定求角度】...........................10 【题型11 根据矩形的性质与判定求线段长】.........................11 【题型12 根据矩形的性质与判定求面积】...........................12 【题型13 斜边的中线等腰斜边的一半 】............................13 【解答题5题 】..................................................14 ★知识梳理★ 知识点01:矩形的定义 文字表述：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 符号语言：在▱ABCD 中，若∠ABC=90°，则▱ABCD 是矩形。 核心要点：矩形必须满足两个条件 ——①是平行四边形；②有一个内角为 90°。 知识点02:矩形的性质（已知矩形 ⇒ 得结论） 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形中常用结论 1.矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形 2.若矩形对角线夹角为 60°/120°，则必出现等边三角形 3.直角三角形推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且平分推导而来） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点05:易错提醒 1.对角线相等且平分才是矩形，只相等不行 2.矩形对角线不垂直（垂直就是菱形了） 3..判定先看是平行四边形还是普通四边形 【题型1.矩形性质理解】 【典例】矩形的对称轴的条数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来______盆红花．如果一条对角线用了29盆红花，还需要从花房运来盆______红花． 【跟踪专练2】在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为________． 【跟踪专练3】如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 _____度． 【跟踪专练1】两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） . A． B． C． D． 【题型3.利用矩形的性质求线段长】 【典例】如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是_____． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【跟踪专练2】如图，，，点在上，四边形是矩形，且，连接，交于点，连接，则______． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型4.利用矩形的性质求面积】 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【跟踪专练2】如图，点A，D分别在函数、的图象上，点B，C在x轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___． 【跟踪专练3】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【题型5.利用矩形的性质证明】 【典例】如图是一个矩形木框，，，若在点，处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是______． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点在上，点在上，，连接，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为_____． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【题型6.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 【跟踪专练1】如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，E为边上的一点，将沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型7.矩形的判定定理理解】 【典例】甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（    ） A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框的对角线相等 C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 【跟踪专练1】如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【跟踪专练3】如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（　　）    A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是矩形 【题型8.添条件使四边形是矩形】 【典例】已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 【跟踪专练1】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形中，，相交于点，下列验证方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【跟踪专练3】如图，的对角线，交于点，下列条件中，不能判定是矩形的条件是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【题型9.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 【跟踪专练1】根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为______________． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型10.根据矩形的判定与性质求角度】 【典例】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度． 【跟踪专练3】如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型11.根据矩形的判定与性质求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连结，，P是线段上的点，过点P作，，垂足分别为G，H，连结．若，则的最小值是______．    【跟踪专练1】如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【跟踪专练2】在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为______ ． 【跟踪专练3】如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【题型12.根据矩形的判定与性质求面积】 【典例】如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________． 【跟踪专练1】如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【跟踪专练3】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【题型13.斜边的中心等于斜边的一半】 【典例】如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 【跟踪专练2】如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______． 【跟踪专练3】如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答题】 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 2．如图，在长方形中，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，求线段的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 4．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 5．如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 6．如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $