专题14 矩形的性质与判定七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题14 矩形的性质与判定七类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长 类型二、矩形与折叠问题 类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 类型五、斜边上的中线等于斜边的一半 类型六、矩形的性质与判定的综合问题 类型七、与矩形的性质与判定有关的作图 压轴专练 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长 方法总结 1. 性质对应：明确矩形四个角为90°、对边相等、对角线相等且互相平分。 2. 方程求解：将已知条件与上述性质结合，建立关于角度或线段的方程（组）求解。 解题技巧 1. 直角三角形转化：矩形内含对角线常构成直角三角形，可运用勾股定理、三角函数。 2. 等量代换：灵活运用“对边相等”、“对角线互相平分”进行线段长度的等量代换。 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 【答案】/15度 【分析】连接，与交于点，根据矩形的性质得出，，，则，．结合，得出，则，再结合即可求解． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ，． 又， ， ． ， ∴． 故答案为： 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，点在边上，平分．若，，则____________． 【答案】3 【分析】证明，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 连接，过点作于点，并延长，交于点，根据矩形的性质得出，，，得到，，然后求出，进而得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点作于点，并延长，交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接． （1）如图，当在边上且时，的度数是________． （2）当直线恰好经过点时，的长是_______． 【答案】 3或1.5 【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解； （２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴； （2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为3或1.5． 类型二、矩形与折叠问题 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。 2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。 例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的相关知识，“矩形的性质、折叠的性质直角三角形分类讨论是解题的关键．根据已知条件与折叠核心等量关系：设，根据折叠性质得出，结合矩形性质得出；由为直角三角形，分为直角顶点进行分类讨论，针对每种合理情况，结合几何性质列方程求解； 【详解】解：设，由折叠性质得：，，， 矩形中，，，则． 情况1：， ，即、、三点共线． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ， 解得，， ； 情况2：，则， ， ， 四边形为矩形， ， 故四边形为正方形， 情况3：当时，此时点与点重合，此时，这显然不成立，不存在此种情况． 综上，当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为 ． 【答案】/22度 【分析】本题考查了折叠的性质、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 设，根据折叠可得，，依据， 进而求解． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为： ． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D． ①求证：； ②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，． ①当时，求x的值； ②当时，直接写出x的值． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)①当时，或；②当时，或． 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、分类讨论思想；解题的关键是利用轴对称得到等角等边，结合勾股定理建立方程，并对动点E的位置进行分类讨论． （1）①利用轴对称得，结合矩形中得，从而推出，证得；②由，在中用勾股定理求出，进而得到的长度． （2）①当时，得，连接，利用勾股定理求出，再分E在线段上和延长线上两种情况，结合的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当时，得，，同理求出，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）① 证明：∵ 点与关于对称 ∴ ， ∴， ∵ 四边形是矩形 ∴ ， ∴， ∴， ∴ ② 解：∵ 四边形是矩形， ∴ ． 由①知， 在中，， ∴ ， 故． （2）解：连接，因， ∴，即是直角三角形． 在与中，， ① 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同①情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． ② 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同②情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． （2）解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． （3）解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 方法总结 1. 先判后用：先根据已知条件（如一个角是直角且对边相等）判定四边形为矩形。 2. 性质求解：再利用矩形性质（四个直角、对角线相等且平分）建立方程，求角度或线段。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择“一个角为直角的平行四边形是矩形”等简捷判定。 2. 构造直角三角形：矩形问题常可转化为直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。 例3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，接着证明四边形是平行四边形，然后结合，得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道，那么，再根据三角形内角和算得，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 【变式3-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 【变式3-3】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 方法总结 1. 逐项检验：对每个结论，分别判断其是否可由已知条件结合矩形性质或判定必然推出。 2. 构造反例：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊矩形（如正方形）或改变形状进行验证。 解题技巧 1. 图形直观：准确画出一般矩形（非正方形）示意图，结合测量直观判断。 2. 逻辑推理：系统梳理矩形的性质链（边、角、对角线），结合全等、相似等几何知识严密推理。 例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可推得，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得垂直平分，得出③结论正确；根据等边三角形的性质得出，平分，根据全等三角形的判定和性质得出，得出②结论正确；根据度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出，结合垂直平分线的判定和性质得出，即可得出④结论正确． 【详解】解：在矩形中，，， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， 故， 即，①结论正确； ∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，③结论正确； ∵和是等边三角形， ∴，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，②结论正确； 在中，， ∴， 故， 又∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分， ∴， 即，④结论正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（   ） ①；②； ③四边形是菱形；④． A．1个 B．2个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据已知得出，可求得与关于直线对称，进而求得，； ②因为，故不会全等于； ③先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形； ④可通过面积转化进行解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，、互相平分， ∵O为中点， ∴过O点， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴（）， ∴与关于直线对称， ∴，； 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故③正确； ∵， ∴错误． 故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 类型五、斜边上的中线等于斜边的一半 方法总结 1. 定理应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 解题技巧 1. 构造直角三角形：遇到中点及垂直条件，常连接直角顶点与斜边中点构造中线。 2. 求线段长度：已知斜边，则中线长为其一半；已知中线，则斜边长为中线的2倍。 例5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． （1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵是边上的高线， ∴， 在中，； （2）证明：∵是边上的高线， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵． ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，则：． 探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究． (1)如图1，取边的中点，连接，易得结论：为等边三角形，请说明理由， (2)如图2，为的中线，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的外部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． (3)如图3，当点为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，如果，求的度数，请直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据垂直平分线的性质得到，证明结论； （3）根据题意画出图形，由（2）的证明方法证明，，进一步利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：，， ，， 为边上的中线， ， ， 是等边三角形． （2）解：猜想，理由如下： ， 都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ． ， ． （3）解：，都是等边三角形， ，，， ，即， 则， ， 同（2）可知，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，，． (1)观察猜想：如图1，作边上的中线，得出以下结论： ①的形状是___________； ②与之间的数量关系为___________． (2)探索发现：如图2，是的中线，是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由． (3)拓展应用：如图3，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】(1)①等边三角形；② (2)，理由见解析 (3)8 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质直角三角形斜边中线的性质和线段垂直平分线的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）①由题意可得，根据30度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论；②根据等边三角形的性质和即可证得结论； （2）连接，根据等边三角形的性质可证得，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质和等量代换求出，连接，根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质可得和，进而可得，再利用证明可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：①，， ， 为边上的中线， ， 是等边三角形； ②是等边三角形， ． ， ； 故答案为：等边三角形，； （2）解：，理由如下： 连接，如图， ，， ，， 又是的中线 ， ， 又是等边三角形 ，， ， ， ， 又， 是的垂直平分线 ； （3）解：在中，； ∵是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 过点P作的中线，如图， ∵是等边三角形，且点E是的中点， ∴，是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∴， 故答案为：8． 类型六、矩形的性质与判定的综合问题 方法总结 1. 先判后用：首先利用已知条件（如一个角是直角的平行四边形）判定四边形为矩形。 2. 以性求值：再运用矩形的性质（四个角为90°、对角线相等）求角度、线段长或证明新结论。 解题技巧 1. 判定择优：优先选择条件最直接的判定定理（如“有三个角是直角的四边形”）。 2. 数形结合：将几何关系转化为方程，常在直角三角形中用勾股定理，或用全等三角形传递边角关系。 例6．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点D，E，点F是线段的中点，过点D作，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，推出，由垂直平分线的性质求得，证明四边形是平行四边形，再证明四边形为矩形； （2）在，由勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求得，再利用等高的两个三角形面积的比等于底的比即可求解． 【详解】（1）证明：点F是的中点， ， ， ，， ∴， ， 垂直平分BC， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：连接． 由（1）得，， ，， 在，由勾股定理得，， ， ，， ， ， ． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，求矩形的面积； （1）根据平行四边形的性质，角平分线的性质求出即可； （2）根据题意，结合勾股定理求出，，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北·月考）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和的长，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴，即， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 类型七、与矩形的性质与判定有关的作图 方法总结 1. 依据性质作图：根据矩形对边相等且平行、四个角为直角的性质，利用尺规作平行线、垂线或截取等长线段。 2. 依据判定构图：以满足矩形判定条件（如作一个角为直角的平行四边形）为目标，逆向设计作图步骤。 解题技巧 1. 先定直角：通常先作出一个直角，再根据条件（如边长）完成矩形。 2. 借助对角线：利用“对角线互相平分且相等”的性质，通过作线段的中垂线或等圆确定顶点。 例7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形． (1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹； ①以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接； ②作的平分线交于点F； ③连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查基本作图，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）先证，推出，再由勾股定理解和即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由作图知，， 又， ， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ． 【变式7-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，若，请在BC边上找点G，使． (2)如图②，P为AB边上一点，请在CD边上找点K，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接点与点并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①所示，点G即为所求． （2）解：如图②所示，点K即为所求． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接． (1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解答；的长度为 【分析】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于． （2）根据四边形为矩形，，，，证明，即可得出，再证，设，则，，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． （2）如图所示， 由题意得，，． 四边形为矩形， ，，． 在和中， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长度为． 【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·开学考试）在矩形中，是边上一定点，是直线上一动点，将沿直线翻折，点B的对应点为G． (1)若点G落在矩形的内部，且E，G，D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线；（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，作的角平分线、截取即可； （2）利用勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求作． （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 由作图可知，， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴； 故选D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质求得，利用等边对等角求得，再证明是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 8．（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【答案】 79 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 9．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，点D在边上．将沿折叠，点B落在边上的点E处，则的长为____．    【答案】3 【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据矩形顶点坐标及勾股定理求出长，进而得到长，设，则，利用勾股定理得，解方程后即可得出答案． 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，， 在中，， ， 设，则， ，即， 解得：， ， 故答案为：3． 10．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 根据题意作出图形，根据折叠的性质得到，，，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，进而根据勾股定理得到，求出，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵将沿直线翻折，点D的对应点记作点F， ∴，，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江西南昌·期末）在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点在折线上运动，不与点重合．分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别结合勾股定理计算即可得出结果，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是折线上的动点（且点不与点重合）， ∴当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（即点与点重合），此时； 综上所述，当为整数时，的长为或或， 故答案为：或或． 12．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 13．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 14．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即A为的中点． （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 15．（2026·贵州·一模）如图，点E在矩形内，且，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图1，作边的中点M，写出作图步骤，无需说明理由； (2)如图2，作边的中点N，写出作图步骤，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的判定与性质进行作图即可； （2）根据矩形的性质和直角三角形的性质进行作图即可． 【详解】（1）解：连接与交于O，连接并延长交于M，如图所示，点M即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线，即M为的中点； （2）连接交于F，连接并延长交于N，如图所示，点N即为所求； ∵四边形是矩形， ∴，O为的中点， 由（1）得M为的中点，则为中边上的中线， 又∵直角三角形三条中线交于一点， ∴边上的中线也经过点F， ∴点N即为所求． 16．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 17．（25-26七年级上·全国·假期作业）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（ ，）． (1)如图1，在长方形中，点P在边上，点G在边上，沿着将四边形对折，点A落在点处，点D落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点P为长方形的边上一点，点M，点N分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处． ①如图3，当点P，，三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点P，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”， ，且，求的度数． 【答案】(1)与是一组“奇妙角”，理由见解析； (2)①或； ②的度数为或． 【分析】（1）由对折得，得，得，即得； （2）①由点P，，三点共线，得，由与是一组“奇妙角”，得或，即得；②设，根据与是一组“奇妙角”，得，由 ，得，解得，得；设，，，，得，由，得，即． 【详解】（1）解：与是一组“奇妙角”， 理由：沿着将四边形对折，点A落在点处，点D落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是一组“奇妙角”； （2）①∵沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处， ∴， ∵点P，，三点共线， ∴， ∵与是一组“奇妙角”， ∴或， ∴或； ②∵沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处， ∴， ∵与是一组“奇妙角” ∴设， ∴， 如图2，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4， 沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处， ∴， ∵与是一组“奇妙角” ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 18．（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 19．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D． ①求证：； ②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，． ①当时，求x的值； ②当时，直接写出x的值． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)①当时，或；②当时，或． 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、分类讨论思想；解题的关键是利用轴对称得到等角等边，结合勾股定理建立方程，并对动点E的位置进行分类讨论． （1）①利用轴对称得，结合矩形中得，从而推出，证得；②由，在中用勾股定理求出，进而得到的长度． （2）①当时，得，连接，利用勾股定理求出，再分E在线段上和延长线上两种情况，结合的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当时，得，，同理求出，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）① 证明：∵ 点与关于对称 ∴ ， ∴， ∵ 四边形是矩形 ∴ ， ∴， ∴， ∴ ② 解：∵ 四边形是矩形， ∴ ． 由①知， 在中，， ∴ ， 故． （2）解：连接，因， ∴，即是直角三角形． 在与中，， ① 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同①情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． ② 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同②情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14矩形的性质与判定七类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长 类型二、矩形与折叠问题 类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 类型五、斜边上的中线等于斜边的一半 类型六、矩形的性质与判定的综合问题 类型七、与矩形的性质与判定有关的作图 压轴专练 典例详解 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长 方法总结 1. 性质对应：明确矩形四个角为90°、对边相等、对角线相等且互相平分。 2.方程求解：将已知条件与上述性质结合，建立关于角度或线段的方程（组）求解。 解题技巧 1.直角三角形转化：矩形内含对角线常构成直角三角形，可运用勾股定理、三角函数。 2.等量代换：灵活运用“对边相等”、“对角线互相平分”进行线段长度的等量代换。 例1.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若 LADB=30°，则∠E= D 【变式1-1】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE平分∠ABC.若 BC=7,AB=4,则DE= 1/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 【变式1-2】(25-26九年级上四川成都月考)如图，在矩形ABCD中，BC=6,M为AB的中点，连接 MD,E为MD的中点，连接BE,CE,若LBEC为直角，则AB的长为· E 【变式1-3】(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,动点E从点A出 发，沿边AD,DC向点C运动，A,D关于直线BE的对称点分别为M,N,连接MN E D 备用图1 备用图2 (1)如图，当E在边AD上且DE=1时，∠AEM的度数是 (2)当直线MN恰好经过点C时，DE的长是 类型二、矩形与折叠问题 方法总结 1.抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线 2.利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。 2.设元列方程：常设未知线段长为x,在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。 例2.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC上一动点，连 接AE,将△ABE沿AE折叠，点B落在点B处，当△CB'E为直角三角形时，BE的长为_一· 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E 【变式2-1】(25-26七年级上·湖南益阳·期末)如图，在长方形纸片ABCD中，将∠CBD沿对角线BD折叠 得∠FBD,FB和AD相交于点E,将∠ABE沿BE折叠得∠GBE(LGBE<∠DBE).若LGBD=I2°，则 ∠ABE的度数为」 D G 【变式2-2】(25-26九年级上·广东深圳期末)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,E为射线BC 上一动点，设BE=x,连接AE,点B关于AE的对称点为B,作射线EB'. B B B B E 图1 图2 备用图 (I)【基础探究】如图2，点E在线段BC上，且射线EB经过点D. ①求证：DA=DE; ②求此时x的值； CF (②)【应用拓展】若射线EB交CD边于点F, DF=m. ①当m=1时，求x的值； ②当m=时，直接写出x的值， 【变式2-3】(25-26八年级上江苏苏州月考)在长方形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5,BC=AD=4. 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q 落在CD边上时，求PB的长 (2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F,将△BEF沿直线EF翻折得AB'EF, 连接DB,当△DEB'是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长： (3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A,当A',M,C三 点在同一直线上时，请直接写出AM的长 类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长 方法总结 1.先判后用：先根据已知条件（如一个角是直角且对边相等）判定四边形为矩形。 2.性质求解：再利用矩形性质（四个直角、对角线相等且平分）建立方程，求角度或线段。 解题技巧 1.判定优选：优先选择“一个角为直角的平行四边形是矩形”等简捷判定。 2.构造直角三角形：矩形问题常可转化为直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。 例3.(24-25八年级下.宁夏吴忠·月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,DC⊥BC,∠B=60°， BC=2AD,点E,F分别是AB,BC的中点，连接DE,EF. B (1)求证：四边形AFCD是矩形； (2)求∠AFE的度数. 【变式3-1】(24-25九年级上陕西成阳·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上， 且BE=DF,AC=EF. 4/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：四边形AECF是矩形： (2)若AB⊥AC,AB=V5,BE=1,求BC的长. 【变式3-2】(2026八年级下·江苏·专题练习)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使 CF=BE,连接DF,AF与DE交于点O. D B (1)求证：四边形AEFD为矩形； (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求AE的长， 【变式3-3】(2026八年级下·江苏专题练习)如图，ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD, AE⊥AD. B (I)求证：四边形ADBE是矩形； (②)过点E作EF⊥AB于F,若BC=6,AD=4,求EF的长. 类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 方法总结 1.逐项检验：对每个结论，分别判断其是否可由己知条件结合矩形性质或判定必然推出。 2.构造反例：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊矩形（如正方形）或改变形状进行验证。 解题技巧 1. 图形直观：准确画出一般矩形（非正方形）示意图，结合测量直观判断。 2.逻辑推理：系统梳理矩形的性质链（边、角、对角线），结合全等、相似等几何知识严密推理。 例4.(24-25九年级上·全国期末)如图，在矩形ABCD中对角线相交于点O,有以下结论：① S△ABO=SABCO;②若LACB=30°，则△ABO是等边三角形；③AC=BD;④AC⊥BD;⑤BD平分∠ABC 5/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正确结论的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式4-1】(24-25八年级下北京大兴期中)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上， △BEF和ADEF都是等边三角形，连接BD交EF于点O.有下列结论：①AE=CF,②AB=BO,③BD垂 直平分EF,④BF-5BD.其中正确结论的个数是(） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式4-2】(24-25八年级下·山东聊城期中)如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与 AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若，FO=FC,则下列结论，其中正确结 论的个数是() ①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB: ③四边形EBFD是菱形；④S△4oE:S△BCF=2:3. D M A.1个 B.2个 C.2个 D.4个 【变式4-3】(24-25七年级下辽宁大连月考)如图，在矩形ABCD中，0为AC中点，EF过0点且 EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为() ①4F-60,®FC=2DF:国0c-8C:@S:-若 6 6/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型五、斜边上的中线等于斜边的一半 方法总结 1. 定理应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 解题技巧 1.构造直角三角形：遇到中点及垂直条件，常连接直角顶点与斜边中点构造中线。 2.求线段长度：已知斜边，则中线长为其一半；己知中线，则斜边长为中线的2倍。 例5.(25-26八年级上浙江杭州·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的高线，AB=2CD. E B (1)若BC=26,CD=10,求AD的长. (2)若CE是AB边上的中线，DF⊥CE,求证：EF=CF, 【变式5-1】(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0， 点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，连接AE、CE、EO,且∠AEC=90°，BD=2EO. (I)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AB=2,∠A0D=120°，求矩形ABCD的面积 【变式5-2】(25-26八年级上山西吕梁期末)综合与实践 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：知图，在R1△48C中，∠A8C=0,则：4G=号4B 图1 图2 图3 探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究 (1)如图1，取AB边的中点E,连接CE,易得结论：△ACE为等边三角形，请说明理由， (②)如图2，CE为ABC的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD,作等边△ADP,且点P在∠ACB的 外部，连接BP.试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明。 (3)如图3，当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)中条件的基础上，如果∠BPD=24°，求∠BAD的 度数，请直接写出你的结论 【变式5-3】(25-26八年级上河南焦作期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°. D 图1 图 图3 (1)观察猜想：如图1，作AB边上的中线CE,得出以下结论： ①△ACE的形状是 ； ②CE与AB之间的数量关系为 (②)探索发现：如图2，CE是RIAABC的中线，D是边CB上任意一点，连接AD,作等边△ADP,且点P在 ∠ACB的内部，连接BP.试探究线段AP与BP之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由， (3)拓展应用：如图3，分别以AB,BC为边作等边三角形ABP和等边三角形BCF,连接PF交AB于点G, 若BG=2,则AB的长为 类型六、矩形的性质与判定的综合问题 方法总结 1.先判后用：首先利用已知条件（如一个角是直角的平行四边形）判定四边形为矩形。 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.以性求值：再运用矩形的性质（四个角为90°、对角线相等）求角度、线段长或证明新结论。 解题技巧 1.判定择优：优先选择条件最直接的判定定理（如“有三个角是直角的四边形”）。 2.数形结合：将几何关系转化为方程，常在直角三角形中用勾股定理，或用全等三角形传递边角关系。 例6.(25-26九年级上辽宁辽阳期末)如图，在ABC中，边BC的垂直平分线分别交边AB,BC于点D, E,点F是线段DE的中点，过点D作DG∥BC,交BF的延长线于点G,连接CG (I)求证：四边形DECG为矩形： (2)若BD=5,DG=3,AD=2,求ABC的面积. 【变式6-1】(25-26九年级上陕西渭南·期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BE和∠BCD的平分 线CE交于点E,点E在AD边上，以BE、CE为边作oBECF. (I)求证：四边形BECF是矩形： (2)若AD=4,∠A=120°，求四边形BECF的面积. 【变式6-2】(25-26九年级上广东深圳月考)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E是AB的中点， AC、DE交于点F,AF=FC,BF∥CD. D (I)求证：四边形BCDF为矩形； (2)若CD=DE=3,求AB的长. 【变式6-3】(25-26九年级上湖北月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0，过 点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF, 9/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E (I)求证：四边形ADFE是矩形； (2)连接0F,若AD=10,EC=7,LBAE=30°，求0F的长度 类型七、与矩形的性质与判定有关的作图 方法总结 1.依据性质作图：根据矩形对边相等且平行、四个角为直角的性质，利用尺规作平行线、垂线或截取等 长线段。 2.依据判定构图：以满足矩形判定条件（如作一个角为直角的平行四边形）为目标，逆向设计作图步骤 解题技巧 1. 先定直角：通常先作出一个直角，再根据条件（如边长）完成矩形。 2.借助对角线：利用“对角线互相平分且相等”的性质，通过作线段的中垂线或等圆确定顶点。 例7.(2025江苏苏州模拟预测)如图，已知矩形ABCD(AB<AD). D B ()请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交BC于点E,连接AE; ②作∠DAE的平分线交CD于点F; ③连接EF; (2)在(1)作出的图形中，若AB=8,AD=10,求△CEF的面积. 【变式7-1】(2025九年级·江西·专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点.请仅用无刻 度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. p B 图① 图② 10/17