专题08平行四边形同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题08平行四边形同步讲义 【题型01 利用平行四边形的性质求解】..............................2 【题型02 利用平行四边形的性质证明】..............................4 【题型03 平行四边形性质的其他应用】..............................7 【题型04 求平行线间的距离】.....................................10 【题型05 利用平行线间距离解决问题】.............................13 【题型06 判断能否构成平行四边形】...............................16 【题型07 添一个条件成为平行四边形】.............................19 【题型08 证明四边形是平行四边形】...............................22 【题型09 利用平行四边形的判定与性质求解】.......................25 【题型10 利用平行四边形的判定与性质证明】.......................27 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】...........................31 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】.........................35 【题型13 与三角形中位线有关的证明】.............................37 【题型14 三角形中位线的实际应用】...............................41 【 解答题6题】..................................................43 ★知识梳理★ 知识点01:平行四边形的定义（基础） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 符号表示：平行四边形ABCD记作□ABCD（顶点按顺时针 / 逆时针顺序书写）。几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□ABCD。 知识点02:平行四边形的性质（已知□，推结论） 设□ABCD，对角线AC、BD交于点O。 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定 设在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O。. 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:性质与判定的核心区别 性质：已知□ABCD → 推导对边、角、对角线的关系（由形推性质）。 判定：已知四边形的边、角、对角线关系 → 证明是□ABCD（由关系判形状）。 知识点05:必记易错点 1.一组对边平行，另一组对边相等 ≠ 平行四边形（等腰梯形） 2.对角线相等 / 垂直不能判定普通平行四边形 3.性质是 “已知平行四边形”，判定是 “证平行四边形”，别用反 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】在中，，则的度数为_________． 【答案】/32度 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，牢记“平行四边形的对角相等”是解题的关键，根据该性质得到，，进而判断出角度比值的特征． 【详解】解：四边形是平行四边形， 平行四边形对角相等，即， 中，比值的第一项与第三项相等，第二项与第四项相等， 观察选项，只有选项满足，，符合平行四边形的性质， 故选：． 【跟踪专练2】如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【答案】 【详解】解：的对角线、相交于点，其周长为， ，，，， ①； 的周长比的周长大， ， ②， ①②得：， ， ． 【跟踪专练3】平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到的两条边长，再结合三角形三边关系即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线，，交点为， ∴，， ∵， ∴，即． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 【答案】C 【分析】根据平行四边性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵平行四边形的性质是对边相等，对角相等，对边平行，对角线互相平分， ∴平行四边形的性质不一定是对角线相等， 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【跟踪专练2】在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，则下列说法①；②；③；④，其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．直接利用平行四边形的性质判断①；可利用证明，即可判断②；可利用②的全等，得到，结合平行四边形对边相等，即可判断③；根据，同理，根据平行四边形的对角线平分面积，以及②中的全等，即可判断④． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， 故①正确； ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； 由题可得，， 同理可得， ∵是的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确． 综上所述，①、②、③、④正确，有4个正确结论， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为______．    【答案】 【分析】连接，设与交于点，根据等腰三角形的性质得出，，再根据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质得出，在直角中，由勾股定理得出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，   ，平分， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【答案】A 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，对角相等，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，OA=OC，AD=BC，对角线互相平分，但不一定垂直， ∴ 所以A正确，B、C、D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．注意平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分定理的应用是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可． 【详解】解: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【跟踪专练3】如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C. 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 【题型4.求平行线间的距离】 【典例】．如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离定义，即可得出答案． 【详解】解：∵平行线是向两边无限延伸的直线， ∵两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫两条平行线间的距离， ∴表示这两条平行线间距离的线段有无数条． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，正确理解该定义是解题的关键． 【跟踪专练1】已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，则m与n之间的距离（    ） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 【答案】D 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm， ∴AB＜AC＜AD， ∴m与n之间的距离小于或等于4cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义． 【跟踪专练2】如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 【跟踪专练3】白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离，轴对称最短路径问题，勾股定理，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小，则，所以，过点作于点，然后求出，，由勾股定理得，从而得出的最小值为，准确找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最小， ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【题型5.利用平行线间距离解决问题】 【典例】如图，直线，点在上，若，，三角形的面积为24，则三角形的面积为______． 【答案】40 【分析】利用△ABC的面积，求出其BC边上的高AF=8，再利用平行线之间的距离相等，可以得到△CDE的边DE上的高也为8，从而求出△CDE的面积． 【详解】解：如图1，过A作AF⊥BC于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为40． 【点睛】本题是一道关于三角形面积的题目，理解平行线间距离处处相等是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，等腰直角三角形，过点A作于点H，过点D作于点E，过点A作于点F，则，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点E，过点A作于点F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ）    A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于，    由题意得， 米， 同理可得：， 在中，（米， 在中，（米， （米， 答：梯子底端离地高度长为0.9米， 故选：B． 【题型6.判断能否构成平行四边形】 【典例】梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】将两段平行且相等的木棒对应为四边形的一组对边，利用平行四边形的核心判定条件分析． 【详解】解：设两段木棒为线段和，由题意得且，顺次连接四个端点得到四边形． ∵，， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 【跟踪专练1】如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 【跟踪专练2】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ； ； ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又∵， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故D正确； 添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形， 故选：A． 【题型7.添一个条件成为平行四边形】 【典例】在四边形中，，，．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，结合已知边长求解的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，请添加一个条件，使得四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定逐项分析即可． 【详解】解：由图形可知，，则， A、添加，无法推出四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法推出四边形是平行四边形，不符合题意； C、添加，即，无法推出四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，由一组对边平行且相等可推出四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 【跟踪专练3】在中，、分别在、上，若想使四边形为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（    ） ①；②；③；④． A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④ 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理依次判断即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD，∠B=∠D，AD//BC，AD=BC， ∴AF//EC ∵AF=EC， ∴四边形AFCE是平行四边形，故①符合题意； ∵AF//EC，， ∴四边形AFCE可能是平行四边形、也可能是等腰梯形，故②不符合题意； 如果∠BAE=∠FCD，则△ABE≌△DFC（ASA） ∴BE=DF， ∴AD-DF=BC-BE， 即AF=CE， ∵AF//CE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③符合题意； 如果∠BEA=∠FCE， ∴AE//CF， ∵AF//CE， ∴四边形AFCE是平行四边形、故④符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定．灵活运用平行四边形的性质与判定定理是解答本题的关键． 【题型8.证明四边形是平行四边形】 【典例】如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 【跟踪专练1】下面各项不能判断是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，关键在于理解并应用平行四边形的判定定理，包括对边平行、对角相等、对边相等的条件．同时，需要注意在仅有一组对边平行且另一组对边相等的情况下，四边形可能是等腰梯形，而不是平行四边形．根据平行四边形的判定条件逐一分析选项，找出不符合判定条件的选项． 【详解】解：选项A：，两组对角分别相等，符合平行四边形的判定条件（对角相等），能判定为平行四边形；理由如下：如图： ， 即， ， 四边形是平行四边形， 选项B：，两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，能判定为平行四边形； 选项C：，仅一组对边平行且另一组对边相等，但无法保证．例如，当且时，可能是等腰梯形而非平行四边形，因此不能判定为平行四边形； 选项D：，由同旁内角互补可得和，两组对边分别平行，能判定为平行四边形； 综上，选项C的条件无法保证四边形是平行四边形． 故选：C 【跟踪专练2】如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 _______． 【答案】13 【详解】本题考查三角形中位线定理、平行线定理、平行四边形的判定，根据三角形中位线定理和平行线定理可得，，，，证得四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵D、E、F、G分别是、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：13． 【题型9.利用平行四边形的判断与性质求解】 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数是________度． 【答案】68 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先结合两组对边平行的四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，即可作答． 【详解】解：，依题意，如图： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：68． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定．先证明四边形是平行四边形，，可得，再结合角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵、的角平分线分别为、， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当_________s时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．先表示出，，可得四边形为平行四边形，则，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的性质，根据点、分别是的边、的中点，得是的中位线，根据三角形中位线的性质可知，，根据可知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可知，可得：． 【详解】解：点、分别是的边、的中点， 是的中位线， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 故选：D． 【题型10.利用平行四边形的性质与判断证明】 【典例】在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 【答案】/1.5 【分析】根据平行四边形的性质和中点的性质可得，，根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得对角线和互相平分，即可求得． 【详解】解：连接，如图：    ∵平行四边形中， ∴， 又∵是的中点，是的中点， ∴，， 即，， ∴四边形为平行四边形， ∴对角线和互相平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中点的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 【跟踪专练2】如图，中，E、F为对角线上两点，给出以下条件：①；②；③，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． 由平行四边形的性质得，则，因为添加不能证明，所以不能判定四边形是平行四边形，可判断①不符合题意；由，可证明，进而可证明四边形是平行四边形，可判断②符合题意；添加，根据“”证明，进而可证明四边形是平行四边形，可判断③符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵由，不能证明， ∴不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动________s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定．要使以点为顶点的四边形是平行四边形， 则，先表示出,则或，解出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形 cm cm cm 是的中点 cm 要使以点为顶点的四边形是平行四边形 则 或 解得或． 【题型11.平行四边形性质与判定的应用】 【典例】已知中，，，则中线的取值范围是______． 【答案】 【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围． 【详解】如图所示，延长至点，使．    根据题意可知， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴，即． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（  ） A． B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，中位线定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用中位线定理得到，，接着证明四边形是平行四边形，得到，然后利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：为的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 为的中位线， 点是的中点， ， 四边形的周长为：． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为________． 【答案】13 【分析】取的中点F，连接，由三角形中位线性质，得，于是，可证得四边形是平行四边形，所以．中，勾股定理求得，所以． 【详解】解：取的中点F，连接， ∵分别是的中点， ∴． ∵，   ∴． 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴． 中，， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：13 【点睛】本题考查平行四边形判定和性质，中位线性质，勾股定理；添加辅助线构造平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，、和均为正三角形，以点 在的各边上，和相交于点，若，，，，则 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的代数式表示与，根据得到关于关系式，化简整理关系式即可． 【详解】解： ， ， 同理： ， 四边形为平行四边形， 在中， 为等边三角形， ，，， ，化简可得：， 故选：B. 【点睛】本题综合考查了平行四边形及等边三角形的判定与性质，关键是要会用含的代数式分别表示平行四边形和等边三角形的面积，找到关系式，化简整理得出结论． 【题型12.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 【答案】5 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 【跟踪专练1】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，分别是，，，边的中点，连接，，，得到四边形，若四边形的对角线，，则四边形的周长为__________． 【答案】40 【分析】由三角形中位线定理计算四边形各边长即可． 【详解】是的中点， 为的中位线， ， 同理可得分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 【跟踪专练3】如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【题型13.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为____________． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为1． 【跟踪专练1】如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， 点D是的中点， 、分别是、边上的中点， ，故①②⑤正确； ，， 四边形是平行四边形， 和互相平分；故③④正确； 则正确的有5个， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么______．    【答案】4 【分析】连接延长，交延长线于点G，证得，于是，，，从而． 【详解】连接延长，交延长线于点G， ∵ ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴    故答案为：4 【点睛】本题考查三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，相交于点，则的值为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，，，,根据中位线的性质，解得，结合题意，可知，进而可证明四边形是菱形，再由菱形对角线互相垂直且平分的性质，及勾股定理计算，据此解题即可. 【详解】解：连接，，，， 分别是的中点， 分别为的中位线， ， ， 四边形EFGH是菱形， 在中 ， 即， ， 故选：A ． 【题型14.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：． 【跟踪专练1】观察图中尺规作图的痕迹，下列说法一定正确的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中位线 D．是的中线 【答案】C 【分析】此题考查了垂直平分线的作图、三角形中位线和三角形相关线段的名称．由作图痕迹可知是分别作的的垂直平分线，垂足分别为，则分别是的中点，据此进行判断即可． 【详解】解：由作图痕迹可知是分别作的的垂直平分线，垂足分别为，则分别是的中点， ∴是的角中线，是的中位线 故选：C． 【跟踪专练2】如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第个图形中有_________个平行四边形． 【答案】 【分析】分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数，可以发现：第几个图形中平行四边形的个数就是3与n-1的乘积．如图③中平行四边形的个数为6=3×（3-1）．按照这个规律即可求出第n各图形中有多少平行四边形． 【详解】解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数， 图①中平行四边形的个数为0=3×（1-1）； 图②中平行四边形的个数为3=3×（2-1）； 图③中平行四边形的个数为6=3×（3-1）； … 可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是3与n-1的乘积． 按照这个规律，第n个图形中共有平行四边形的个数为3n-3． 故答案为；3n-3． 【点睛】本题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律． 【跟踪专练3】2024年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【解答题】 1．如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积．. 【答案】(1)4； (2)24． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质和勾股定理求解即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，即是直角三角形。 ， 即：， ； （2）解：， ， 2．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，作，垂足为F，先证明，再证明，得到，证明，得到；则，则，即到的距离是． 【详解】解：作，垂足为F， ∵， ∴， 在中，； 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 即到的距离是． 4．如图，在中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． 先由为的中点和D是的中点，得是的中位线，进而得，再由得，进而得，进而得，从而，根据“两组对边互相平行的四边形为平行四边形”得证． 【详解】证明：如图， 为的中点，D是的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形． 5．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 6．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平行四边形同步讲义 【题型01 利用平行四边形的性质求解】..............................2 【题型02 利用平行四边形的性质证明】..............................3 【题型03 平行四边形性质的其他应用】..............................4 【题型04 求平行线间的距离】......................................4 【题型05 利用平行线间距离解决问题】..............................5 【题型06 判断能否构成平行四边形】................................6 【题型07 添一个条件成为平行四边形】..............................7 【题型08 证明四边形是平行四边形】................................8 【题型09 利用平行四边形的判定与性质求解】........................9 【题型10 利用平行四边形的判定与性质证明】........................9 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】...........................10 【题型12 与三角形中位线有关的求解问题】.........................11 【题型13 与三角形中位线有关的证明】.............................12 【题型14 三角形中位线的实际应用】...............................13 【 解答题6题】..................................................14 ★知识梳理★ 知识点01:平行四边形的定义（基础） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 符号表示：平行四边形ABCD记作□ABCD（顶点按顺时针 / 逆时针顺序书写）。几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□ABCD。 知识点02:平行四边形的性质（已知□，推结论） 设□ABCD，对角线AC、BD交于点O。 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定 设在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O。. 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:性质与判定的核心区别 性质：已知□ABCD → 推导对边、角、对角线的关系（由形推性质）。 判定：已知四边形的边、角、对角线关系 → 证明是□ABCD（由关系判形状）。 知识点05:必记易错点 1.一组对边平行，另一组对边相等 ≠ 平行四边形（等腰梯形） 2.对角线相等 / 垂直不能判定普通平行四边形 3.性质是 “已知平行四边形”，判定是 “证平行四边形”，别用反 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】在中，，则的度数为_________． 【跟踪专练1】平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【跟踪专练3】平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 【跟踪专练1】如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（   ） A．5 B． C． D．6 【跟踪专练2】在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，则下列说法①；②；③；④，其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为______．    【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【跟踪专练1】如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【跟踪专练3】如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【题型4.求平行线间的距离】 【典例】．如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【跟踪专练1】已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，则m与n之间的距离（    ） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 【跟踪专练2】如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【跟踪专练3】白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若点到水平直线（表示小河）的距离为，点到水平直线l的距离为，之间的水平距离是，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型5.利用平行线间距离解决问题】 【典例】如图，直线，点在上，若，，三角形的面积为24，则三角形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ）    A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【题型6.判断能否构成平行四边形】 【典例】梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 【跟踪专练1】如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【题型7.添一个条件成为平行四边形】 【典例】在四边形中，，，．当______时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，请添加一个条件，使得四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【跟踪专练3】在中，、分别在、上，若想使四边形为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（    ） ①；②；③；④． A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④ 【题型8.证明四边形是平行四边形】 【典例】如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【跟踪专练1】下面各项不能判断是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．， 【跟踪专练2】如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练3】如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 _______． 【题型9.利用平行四边形的判断与性质求解】 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数是________度． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当_________s时，． 【跟踪专练3】如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型10.利用平行四边形的性质与判断证明】 【典例】在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 【跟踪专练1】如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，E、F为对角线上两点，给出以下条件：①；②；③，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【跟踪专练3】如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动________s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【题型11.平行四边形性质与判定的应用】 【典例】已知中，，，则中线的取值范围是______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（  ） A． B．7 C．9 D．12 【跟踪专练2】如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，、和均为正三角形，以点 在的各边上，和相交于点，若，，，，则 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【题型12.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，分别是，，，边的中点，连接，，，得到四边形，若四边形的对角线，，则四边形的周长为__________． 【跟踪专练3】如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【题型13.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为____________． 【跟踪专练1】如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，在梯形中，，点E、F分别是、的中点，如果，．那么______．    【跟踪专练3】如图，在四边形中，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，相交于点，则的值为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【题型14.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是_______米． 【跟踪专练1】观察图中尺规作图的痕迹，下列说法一定正确的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中位线 D．是的中线 【跟踪专练2】如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第个图形中有_________个平行四边形． 【跟踪专练3】2024年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【解答题】 1．如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积．. 2．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 3．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 4．如图，在中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．求证：四边形为平行四边形． 5．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 6．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $