模拟卷04（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题4 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、已知为虚数，且，则_____． 答案：1 解答：，所以． 2、已知，且，，则_____。 答案： 解答：因为，故。设方程的两个根分别为，则。 因为，，故，故，故。 3、已知：，则_____。 答案： 解答：显然，则 ． 4、若四棱锥的棱、的长均为，其余各棱长均为1，则该四棱锥的体积为_____。 答案： 解答：如图，因为，故在平面上的投影为四边形的外心，也即A、B、C、D共圆。 又，，故，故。故。 5、已知，且，若关于的方程恰有一个实根，则满足条件的的个数为_____。 答案：501。 解答：若，则由，且，知。此时，方程可转化为。注意到在单调递减，且值域为，故区间内的每个整数均满足条件。 若，则由，且，知。此时，方程可转化为。注意到在时取得最小值8，当时，方程均有两个不同实根。所以，当时，满足条件的整数只有。 综上所述，所求的个数为501个。 6、在平面四边形中，点、分别为边、的中点，且，，。若，则的值为_____。 答案：。 解答：设，则，。根据条件知：。 因此，即 于是知： 所以。 7、设是抛物线的过焦点的弦，且与x轴不垂直。P是y轴上异于原点O的点，点A、B、P的纵坐标分别为、、，若、A、B、O四点共圆，则的值为_____。 答案：4。 解答：根据条件知抛物线的焦点为。设直线，联立解得，其两根分为为。根据韦达定理知：。 设直线与轴交点为，则。因为，故 故。 8、在9个人形成的一个小组中，安排每个人都恰好与小组中的其他两个人握手。两个不同的握手安排，是指当且仅当至少有两个人，他们在某一个安排中握手了，那么他们在另一个安排中不握手。则不同的握手安排方式数为_____。 答案：。 解答：用九个点表示9个人，我们即要求，将这9个点连成若干个互不相交的圈的种数。容易知道，将个点连成一个圈，恰有种连法。下面我们分四种情况： (1) 若只有一个长度为9的圈，则恰有种连法； (2) 若连成两个圈，一个长度为3，一个长度为6，则有种连法； (3) 若连成两个圈，一个长度为4，一个长度为5，则有种连法； (4) 若连成三个圈，则长度都为3，恰有。 因此总方法数N。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、设函数，满足，记，试求的最大可能值。 解答：因为，解得。故 故当时，有 另一方面，取，也即，则满足条件，且。 综上所述，的最大可能值为8。 10、已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率． 解答：设，其中。 由对数不等式：若，，则。 取，，得，故，所以 ① 将和相减，得，所以 ② 再将和相加，得 ③ 注意到：时，由知，结合①、②、③，知 ， 因此，即，解得． 11、求所有整数，使得对于任意个正实数，如果满足 ， 则其中可以取出三个数，它们能够构成一个锐角三角形的三条边的长度。 解答：对于任意，在序列1、1、、、、、、、中取前个数，都有，但任意三个数都不能构成锐角三角形的三条边。所以满足条件的。 下面我们用反证法证明时，都满足条件。 我们给个正实数从小到大排序为，若其中任意三个数，都不能构成一个锐角三角形的三条边，则有，其中。于是知，即，其中为斐波那契数列的第项。又当时，根据数学归纳法易知都有，此时则有，与、、...、矛盾。所以当时，都满足条件。 综上所述，满足条件的n为所有不小于13的自然数。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题4 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、已知为虚数，且，则_____． 2、已知，且，，则_____。 3、已知：，则_____。 4、若四棱锥的棱、的长均为，其余各棱长均为1，则该四棱锥的体积为_____。 5、已知，且，若关于的方程恰有一个实根，则满足条件的的个数为_____。 6、在平面四边形中，点、分别为边、的中点，且，，。若，则的值为_____。 7、设是抛物线的过焦点的弦，且与x轴不垂直。P是y轴上异于原点O的点，点A、B、P的纵坐标分别为、、，若、A、B、O四点共圆，则的值为_____。 8、在9个人形成的一个小组中，安排每个人都恰好与小组中的其他两个人握手。两个不同的握手安排，是指当且仅当至少有两个人，他们在某一个安排中握手了，那么他们在另一个安排中不握手。则不同的握手安排方式数为_____。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、设函数，满足，记，试求的最大可能值。 10、已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率． 11、求所有整数，使得对于任意个正实数，如果满足 ， 则其中可以取出三个数，它们能够构成一个锐角三角形的三条边的长度。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $