解答题77分三轮冲刺保分强化训练(4)（共两组）——2026届高三数学三轮冲刺(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(4) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 2．（甘肃省2026届高三第一次模拟考试数学试题）如图（1），正方形的边长为分别是边的中点，将，分别沿折起，使得三点重合于点得到图（2）. (1)证明：； (2)三棱锥的外接球的球心为，求平面与平面所成角的余弦值. 3．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据． ①求两个赛区都有人被选中的概率； ②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 4．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. (1)求的值； (2)求平行四边形面积的最大值. 5．（2026·山东聊城·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围； (3)若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且． 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 2．（2026·山东菏泽·一模）已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 3．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 5．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(4) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式计算求解； （2）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解. 【解析】（1）由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. 2．（甘肃省2026届高三第一次模拟考试数学试题）如图（1），正方形的边长为分别是边的中点，将，分别沿折起，使得三点重合于点得到图（2）. (1)证明：； (2)三棱锥的外接球的球心为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由折叠的性质可得，，再利用线面垂直判定定理可得平面，再利用线面垂直性质定理即可得证； （2）可将该三棱锥补形为长方体，则长方体体对角线中点即为外接球的球心，在建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【解析】（1）因为在原图中，， 故折叠完得，， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以； （2）因为两两垂直，所以可将该三棱锥补形为如图所示的长方体， 假设该长方体的一条体对角线为，则球心为对角线的中点， 如图所示，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 3．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据． ①求两个赛区都有人被选中的概率； ②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有95%以上的把握 (2),分布列见解析，期望为 【解题思路】（1）根据表中数据及公式计算判断； （2）①根据抽样比从各层中抽取相应人数，再利用古典概型概率计算公式求解； ②利用超几何分布计算即可求得分布列与期望. 【解析】（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响． 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响． （2）①根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢用有缝球的选手中选取人，从喜欢用无缝球的选手中选取人， 记“两个赛区都有人被选中”为事件， 则． 所以两个赛区都有人被选中的概率为． ② 的分布列与期望 表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，服从超几何分布，可能取值为 ： . 分布列： 0 1 2 3 . 4．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. (1)求的值； (2)求平行四边形面积的最大值. 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）设出点A，B的坐标，结合它们所在的直线方程，再根据向量关系得到点P的坐标，因为点P在椭圆上，将P的坐标代入椭圆方程，可得到A，B的坐标与P的坐标的关系式，进而通过弦长公式求解. （2）设直线OA的倾斜角为，通过倍角公式求出，， 利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果； 【解析】（1）因为点分别在直线与上，所以可设， 设，则 因为四边形OAPB是平行四边形，所以 即 所以， 所以 （2）因为点A，B分别在直线与上 设直线OA的倾斜角为，则， ， ，即， 所以平行四边形OAPB的面积为 在中，设， 所以，当且仅当时等号成立 所以平行四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，所以平行四边形的面积的最大值为. 5．（2026·山东聊城·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围； (3)若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且． 【答案】(1) 答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）求导，结合导数分，，三种情况进行讨论求解； （2）利用导数分，两种情况，当时，，再证；当时，可根据导数推出不成立； （3）先由极值求，根据导数的几何意义求出，令，再利用导数确定其零点即可证明． 【解析】（1）， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，恒成立，即，移项可得， 令， ， 令，，， ①时，又，所以， 令，， 令，， 在单调递减，，即， 在单调递减，， 即，故时符合题意； ②当时，， 故，时，，单调递增，， 时，，单调递增，， 故时不符合题意； 综上，的取值范围是； （3）证明：因为有最大值，所以， ，解得． 当时，，， 已知曲线在点处的切线方程为， 则切线斜率，又， 根据点斜式方程可得切线方程为， 即． 令，则． ， 令，， 当时，又，，， 即，在单调递增，， 故此时不存在使； 当时，，解得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 又时，，，， ，使得， 则当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 又时，，，， 使得，即， 综上，当时，存在使，且． 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【解析】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 2．（2026·山东菏泽·一模）已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据复数的除法求解即可； （2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出，再由正弦型三角函数的单调性求解即可. 【解析】（1）当时， 所以. （2）因为，所以 ， 所以， 将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得， 令， 解得， 所以的单调递增区间是 3．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）找PA的中点F，证明即可得出证明. （2）建立空间直角坐标系，求出平面EBC和平面ABCD的法向量，然后根据向量法求两平面夹角的余弦值即可. 【解析】（1）如图，取的中点，连接. 由为的中点，为的中点，，且， 可得，. 所以四边形为平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接. 由为等边三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 由，，得四边形是平行四边形 于是，又，则，直线两两互相垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题知，，，， 且，，， ，，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，， 设过点的直线方程为，过原点且与直线平行的直线为， 联立可得， 则点的坐标为， 联立可得， 则点的坐标为， 所以，， 由，整理为，解得，（舍）， 即直线的斜率为. （3）由题知，， ， ， 由（2）整理为，解得，（舍）， 所以直线的斜率为. 5．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时． 【解题思路】（1）合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案； （2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，再代入即可； （ii）根据估值参考公式得，再设函数，求导得其最值，从而得到的估计值，最后结合其整数范围即可得到答案. 【解析】（1）设抽到的第张奖券的金额为． 设甲获得最大金额奖励． 注意到． 则． （2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励， 若，则，故只需考虑的情况． 设：抽到的第张奖券金额为． 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则． 只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则． 则． 若，当时，． （ii）由估值参考得，则． 令，则． 当时，． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 因此，当时，取得最大值． 此时，不是整数， 又， 所以的最大值约为0.3679，此时． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $