精品解析：甘肃省平凉市静宁县三合初级中学2025-2026学年第一学期九年级第一次质量检测数学试题

三合初中2025-2026学年第一学期质量检测试题（卷） 九年级数学（150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是 A. x2+x+y=0 B. x2－3x+1=0 C. （x+3）2=x2+2x D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，则方程可变形为（　　） A. （x﹣3）＝ B. 3（x﹣1）＝ C. （3x﹣1）＝1 D. （x﹣1）＝ 5. 二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（　　） A. （﹣3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，﹣1） D. （3，1） 6. 二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( ) A. (－1，1) B. (1，－1) C. (－1，－1) D. (1，1) 7. 将函数的图象向右平移个单位得到的新图象的函数解析式为（ ）． A. B. C. D. 8. 某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数下列结论，正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3 10. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. m是方程的根，则式子的值为_____． 14. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________． 15. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 16. 将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式为______________． 17. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____． 18. 若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． （3） （4） 20. 已知m是方程x2+x-1=0的根，求式子2m2+2m+2018的值． 21. 某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．求每期减少的百分率是多少？ 22. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 23. 先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． （1）若是方程的两个根，则___________，___________； （2）若是方程两个根，求的值． 24. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 25. 已知关于x的方程 （1）当该方程一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 26. 天虹商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足一次函数关系，当销售单价定为元时，每天可销售件；当销售单价定为元时，每天可销售件． （1）求与函数关系式； （2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润元与每件的销售价元之间的函数关系式； （3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？ 27. 如下图①，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点在第一象限抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三合初中2025-2026学年第一学期质量检测试题（卷） 九年级数学（150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是 A. x2+x+y=0 B. x2－3x+1=0 C （x+3）2=x2+2x D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A．x2+x+y=0,因为有2个未知数，所以不是一元二次方程，所以本选项错误； B．x2－3x+1=0，符合一元二次方程的定义，所以正确； C．（x+3）2=x2+2x ，因为整理后得：4x+9=0，是一元一次方程，所以本选项错误； D．，是分式方程，所以本选项错误；故选B． 考点：一元二次方程 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 3. 方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴此方程无实数根． 故选：C． 4. 用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，则方程可变形为（　　） A. （x﹣3）＝ B. 3（x﹣1）＝ C. （3x﹣1）＝1 D. （x﹣1）＝ 【答案】D 【解析】 【分析】先移项得到3x2-6x=-2，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到（x-1）2=． 【详解】解:移项得3x2﹣6x＝﹣2， 二次系数化为1得x2﹣2x＝﹣， 方程两边加上1得x2﹣2x+1＝﹣+1， 所以（x﹣1）2＝． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键． 5. 二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（　　） A. （﹣3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，﹣1） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可直接得到顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1是顶点式， ∴顶点坐标为（3，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，解题的关键是掌握的顶点坐标为． 6. 二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( ) A. (－1，1) B. (1，－1) C. (－1，－1) D. (1，1) 【答案】D 【解析】 【分析】将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可． 【详解】∵p+q=0， ∴y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)， ∵图象必经某点， ∴图像与p的值无关， ∴x-1=0，即x=1， 当x=1时，y=1， ∴它的图象必经过（1，1） 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把p当做变量，令其系数为0进行求解． 7. 将函数的图象向右平移个单位得到的新图象的函数解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为(0，1)，则将函数的图象向右平移个单位得到的新抛物线的顶点坐标为 所以平移后的抛物线的解析式为 故选：A． 8. 某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据该市商品房的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得，． 故选：D． 9. 关于二次函数下列结论，正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 它的顶点坐标为，故选项C错误，不符合题意； 当时，y有最大值3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入一元二次方程，求出参数的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 则原方程为， 可得， 解得，， 故方程的另一个根是． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，直接把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 13. m是方程的根，则式子的值为_____． 【答案】2018 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 先由方程的解求得，再整体代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意，将m代入方程可得：， 则原式． 故答案为：2018． 14. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________． 【答案】直线x＝2 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，计算横坐标的和除以2即可得到对称轴． 【详解】∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同， ∴这两点一定关于对称轴对称， ∴对称轴是：x==2， 故答案为：直线x=2． 【点睛】此题考查了抛物线的性质，抛物线上两个点的纵坐标相等时，这两个点关于对称轴对称． 15. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】±2 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则 再列方程，解方程可得答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键. 16. 将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式为______________． 【答案】y=x2-10x+27． 【解析】 【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（1，-1）， 平移后抛物线顶点坐标为（-5，2）， 又因为平移不改变二次项系数， ∴所得抛物线解析式为：y=（x-5）2+2．即y=x2-10x+27． 故答案为：y=x2-10x+27． 17. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____． 【答案】.x1＝－3，x2＝2 【解析】 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)， ∴当x=−3或x=2时，y=0， 即方程的解为 故答案为： 18. 若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： 解得； 【小问4详解】 解：在中，， ∴ ， ∴ ， 解得． 20. 已知m是方程x2+x-1=0的根，求式子2m2+2m+2018的值． 【答案】2020． 【解析】 【分析】先根据方程的根的定义可得，从而可得，再代入求值即可得． 【详解】∵m是方程的根， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了方程的根的定义、整式的求值，掌握理解方程的根的定义是解题关键． 21. 某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．求每期减少的百分率是多少？ 【答案】20%． 【解析】 【分析】设每期减少的百分率是x，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每期减少的百分率是x， 根据题意得：400(1﹣x)2＝256， 解得x1＝0.2，x2＝1.8(舍去)， 答：每期减少的百分率为20%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【解析】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 23. 先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． （1）若是方程的两个根，则___________，___________； （2）若是方程的两个根，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）将变形为，再结合题意求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，，， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得，在中，，，， ∴，， ∴ ． 24. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 【答案】若要使顾客得到实惠，则应涨价元 【解析】 【分析】根据“每千克盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后选择较小的涨价值即可． 【详解】解：设每千克涨价元， 根据题意可得，， 则， 解得，， 若要使顾客得到实惠，则应涨价元． 25. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 26. 天虹商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足一次函数关系，当销售单价定为元时，每天可销售件；当销售单价定为元时，每天可销售件． （1）求与的函数关系式； （2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润元与每件的销售价元之间的函数关系式； （3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？ 【答案】（1）m与x的函数关系式为：； （2） （3）每件的销售单价定为42元时，商场每天所获的利润最高，最高利润为432元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可； （2）根据题意列出函数解析式，即可求解； （3）利用二次函数函数性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：把；代入得， ，解得：． 故m与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式：； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，y的最大值为432， ∴每件的销售单价定为42元时，商场每天所获的利润最高，最高利润为432元． 27. 如下图①，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，进而得到经过原点且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点M在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）首先根据二次函数的解析式求出点D的坐标，从而得出轴，根据题意得出和全等，得出点G的坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式，然后求出一次函数和二次函数的交点坐标，根据点P在抛物线对称轴的左侧得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴经过原点且与直线平行的直线解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴当点M在直线上时，满足题意， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，连接，设交y轴于点G， 在中，当时， ， ∴点D的坐标为， 由（2）知点C的坐标为， 轴，， ∵点B的坐标为， ， ， ， 又， ， ， ， ∴点G的坐标为， 设直线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 令，解得， ∵点P是抛物线对称轴（直线）左侧的一点，即， ， 把代入抛物线中，得， ∴存在满足题意的点P，点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质，全等三角形的性质与判定等等，通过利用待定系数法求出对应的函数解析式，然后联立函数解析式求出交点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $