1.3乘法公式（平方差公式、完全平方公式）题型总结 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版七年级下第一章 整式的乘除 1.3乘法公式（平方差公式、完全平方公式）题型总结 【题型一】平方差公式 【例1】（2026•沙坪坝区校级开学）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　） A．（﹣a﹣b）（﹣b+a） B．（xy+z）（﹣xy+z） C．（﹣2x﹣y）（2x+y） D．（0.5x﹣y）（﹣y﹣0.5x） 【分析】各式利用平方差公式判断即可． 【解答】解：A．原式＝（﹣b﹣a）（﹣b+a）＝b2﹣a2，不符合题意； B．原式＝（z+xy）（z﹣xy）＝z2﹣x2y2，不符合题意； C．原式＝﹣（4x2+4xy+y2）＝﹣（2x+y）2，符合题意； D．原式＝（﹣y+0.5）（﹣y﹣0.5）＝y2﹣0.25，不符合题意． 故选：C． 【例2】（2025秋•宁乡市期末）若a+b＝2，a﹣b＝5，则a2﹣b2＝　10　 ． 【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝5， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×5＝10， 故答案为：10． 【例3】（2025秋•南召县期末）阅读以下内容：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22026＝　22027﹣1　 ． 【分析】对于任意正整数n，有（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn﹣1，令x＝2，n＝2027，即可求得答案． 【解答】解：令x＝2，n＝2027可得： （2﹣1）×（22026+22025+⋯+2+1）＝22027﹣1． 即1+2+22+23+24+⋯+22026＝22027﹣1． 故答案为：22027﹣1． 【例4】（2025秋•新宁县期末）（1）（1）（1）…（1）＝　　 ． 【分析】根据平方差公式分解因式后计算即可． 【解答】解：（1）（1）（1）…（1） ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）...（1）（1） ... ． 故答案为：． 【变式1】（2025秋•龙岩期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（m﹣1）（1﹣m） C．（﹣2x+1）（﹣2x﹣1） D．（x+p）（p﹣x） 【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故A不符合题意； B、（m﹣1）（1﹣m）＝﹣（m﹣1）2，故B不符合题意； C、（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）＝4x2﹣1，故C不符合题意； D、（x+p）（p﹣x）＝p2﹣x2，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025秋•思明区校级期末）已知a＞0，b＞0，（a+2b+2）（a+2b﹣2）＝5，则a2+2ab+6b的值是　9　 ． 【分析】根据平方差公式计算得出（a+2b）2﹣4＝5，即可求出a+2b的值，再结合已知条件进一步确定a+2b的值，再将要求的代数式变形为a（a+2b）+6b代入计算即可． 【解答】解：∵（a+2b+2）（a+2b﹣2）＝5， ∴（a+2b）2﹣4＝5， ∴（a+2b）2＝9， ∴a+2b＝±3， ∵a＞0，b＞0， ∴a+2b＞0， ∴a+2b＝3， ∴a2+2ab+6b＝a（a+2b）+6b＝3a+6b＝3（a+2b）＝3×3＝9， 故答案为：9． 【变式3】（2025秋•三河市期末）计算：2026×2024﹣20252＝　﹣1　 ． 【分析】将2026×2024转化为（2025+1）×（2025﹣1），再利用平方差公式计算即可求解． 【解答】解：2026×2024﹣20252 ＝（2025+1）×（2025﹣1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝（20252﹣20252）﹣1 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式4】（2025秋•资阳期末）已知a2＝b2+4，则（a+b）（a﹣b）＝　4　 ． 【分析】利用平方差公式化简后代入求值即可． 【解答】解：∵a2＝b2+4， ∴a2﹣b2＝4， ∴原式＝4． 故答案为：4． 【变式5】（2024秋•邯郸校级期末）若，，则a﹣b的值为 　　 ． 【分析】由平方差公式进行因式分解，再代入计算即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【题型二】完全平方公式 【例1】（2025秋•衡水期末）已知a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025，若a2+b2＝56，则c2的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．27 【分析】由a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025，可得a＝c+1，b＝c﹣1，代入 a2+b2＝56即可求解． 【解答】解：∵a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025， ∴a＝c+1，b＝c﹣1， ∴a2+b2＝（c+1）2+（c﹣1）2＝c2+2c+1+c2﹣2c+1＝2c2+2， 又∵a2+b2＝56， ∴2c2+2＝56， ∴2c2＝56﹣2， ∴2c2＝54， ∴c2＝27， 即c2的值为27， 故选：D． 【例2】（2025秋•焦作期末）如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH．当长方形ABCD的面积为9cm2时，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为（　　） A．18cm2 B．17cm2 C．16cm2 D．15cm2 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【解答】解：设AB＝x，AD＝y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，长方形ABCD的面积为9cm2， ∴x+y＝6，xy＝9， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣18＝18（cm2）， 即正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为18cm2， 故选：A． 【例3】（2025秋•南康区期末）若a2+ab＝7，b2+ab＝9，则（a+b）2＝　16　 ． 【分析】将两个已知方程相加，得到 a2+b2+2ab 的值，即 （a+b）2 的结果． 【解答】解：将两个已知方程相加可得： （a2+ab）+（b2+ab）＝16． ∵（a2+ab）+（b2+ab）＝a2+b2+2ab＝（a+b）2， ∴（a+b）2＝16． 故答案为：16． 【例4】（2025秋•闽清县期末）计算：1032+103×194+972＝　40000　 ． 【分析】通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【解答】解：原式＝1032+2×103×97+972 ＝（103+97）2 ＝2002 ＝40000， 故答案为：40000． 【变式1】（2025秋•阳泉期末）若x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（　　） A．8 B．7 C．5 D．6 【分析】完全平方公式的运用，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，代入数值即可． 【解答】解：由完全平方公式可得： x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝32﹣2×2 ＝5． 故选：C． 【变式2】（2025秋•武汉期末）已知x2﹣5x+1＝0．下列结论：①；②；③；④x3﹣24x+5＝0．其中正确的有　①③④　 （请填写序号）． 【分析】所给的结论中有三个是分式，应先出现分式，所以把等式x2﹣5x+1＝0两边同除以x，整理后可得①是否正确；根据可得②是否正确；根据可得③是否正确；由x2﹣5x+1＝0可得x2＝5x﹣1，把x3分成x2•x，把x2＝5x﹣1代入后进行整理，即可求得x3﹣24x+5的值，即可判断出④是否正确． 【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0， ∴x﹣50， ∴x5， 故①正确； ∵，x5， ∴， 故②错误； ∵，x5， ∴， 故③正确； ∵x2﹣5x+1＝0， ∴x2＝5x﹣1， ∴x3﹣24x+5 ＝x•x2﹣24x+5 ＝x（5x﹣1）﹣24x+5 ＝5x2﹣x﹣24x+5 ＝5x2﹣25x+5 ＝5（x2﹣5x+1） ＝5×0 ＝0， 故④正确． 故答案为：①③④． 【变式3】（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知m、n满足m﹣n＝3，m2﹣3mn+n2＝14，则mn的值为　﹣5　 ． 【分析】由m﹣n＝3平方得到m2﹣2mn+n2＝9，再与已知的m2﹣3mn+n2＝14相减即可求出mn的值． 【解答】解：∵m、n满足m﹣n＝3，m2﹣3mn+n2＝14①， ∴（m﹣n）2＝9， ∴m2﹣2mn+n2＝9②， ∴①﹣②得（m2﹣3mn+n2）﹣（m2﹣2mn+n2）＝14﹣9， ∴mn＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【变式4】（2025秋•固原期末）已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　6　 ． 【分析】把已知的两式相减，从而可求解． 【解答】解：∵（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝30﹣6， x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝24， 4xy＝24， xy＝6． 故答案为：6． 【变式5】（2025秋•攀枝花期末）已知x+y＝1，xy＝﹣12，求下列代数式的值： （1）x2+y2； （2）x﹣y． 【分析】（1）根据（x+y）2＝x2+y2+2xy进行计算x2+y2的值即可； （2）根据（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy结合（1），进行计算x﹣y的值即可． 【解答】解：（1）∵x+y＝1，xy＝﹣12， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝1﹣2×（﹣12）＝1+24＝25， 则x2+y2＝25； （2）由（1）知，x2+y2＝25， ∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy， ∴（x﹣y）2＝25﹣2×（﹣12）＝49， ∴x﹣y＝±7． 【课后练习】 1．（2025秋•石林县校级月考）下列计算正确的是（　　） A．a2•a＝2a2 B．（﹣3a）2＝﹣6a2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x8÷x4＝x4 【分析】通过计算每个选项，依据指数运算法则和乘法公式判断即可． 【解答】解：对于A：a2•a＝a3≠2a2，故A错误； 对于B：（﹣3a）2＝9a2≠﹣6a2，故B错误； 对于C：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，故C错误； 对于D：∵x8÷x4＝x8﹣4＝x4，故D正确． 故选：D． 2．（2025秋•威远县期末）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 【分析】根据题意，设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，将原式中的两个平方项转化为关于t的表达式，展开化简得出t2＝15，把x＝t+2025代入（x﹣2025）2进而得出答案． 【解答】解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025， ∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38， ∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38， ∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38， ∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38， ∴2t2+8＝38， 解得：t2＝15， ∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15． 故选：C． 3．（2025秋•鹿泉区期末）下列运算正确的是（　　） A．a3⋅a2＝a6 B．ab2÷ab＝b C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣3x3y）2＝9x9y2 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，单项式除以单项式法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方进行判断即可． 【解答】解：A．a3⋅a2＝a5≠a6，故此选项不符合题意； B．ab2÷ab＝b，正确，故此选项符合题意； C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2≠m2﹣n2，故此选项不符合题意； D．（﹣3x3y）2＝9x6y2≠9x9y2，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（2025秋•大英县期末）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　3　 ． 【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3， 故答案为：3 5．（2025秋•呼图壁县期末）已知x＝5﹣y，则2x2+4xy+2y2﹣7的值为　43　 ． 【分析】首先得出x+y＝5，再利用完全平方公式将原式变形求出答案． 【解答】解：∵x＝5﹣y， ∴x+y＝5， ∴2x2+4xy+2y2﹣7 ＝2（x+y）2﹣7 ＝2×25﹣7 ＝43． 故答案为：43． 6．（2025秋•龙潭区校级期末）若（x﹣1）2＝2，则x2﹣2x+5＝　6　 ． 【分析】根据完全平方公式可求出x2﹣2x的值，然后代入原式即可求出答案． 【解答】解：由题意得，x2﹣2x+1＝2， ∴x2﹣2x＝2﹣1， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+5＝1+5＝6 故答案为：6． 7．（2025秋•襄城县期末）已知a+b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2的值为　19　 ． 【分析】把a2+b2变成（a+b）2﹣2ab，代入求出即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝3， ∴a2+b2， ＝（a+b）2﹣2ab， ＝（﹣5）2﹣2×3， ＝19． 故答案为：19． 8．（2025秋•营山县期末）若（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b＝　±1　 ． 【分析】根据和的平方等于平方和加积的2倍，差的平方等于平方和减积的2倍，可得答案． 【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a2+2ab+b2）﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣24＝1， ∴a﹣b＝±1， 故答案为：±1 9．（2025秋•朝阳区校级期末）已知（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝13，则ab＝　　 ． 【分析】利用完全平方公式，即可求出ab的值． 【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7， 将两式相减得4ab＝13﹣7＝6， ∴， 故答案为：． 10．（2025秋•龙岩期末）计算： （1）（a+3）（a﹣2）； （2）（2x﹣5）2． 【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项；（2）利用完全平方公式对剩余的多项式进行分解． 【解答】解：（1）（a+3）（a﹣2） ＝a2+3a﹣2a﹣6 ＝a2+a﹣6； （2）（2x﹣5）2 ＝（2x）2﹣2•（2x）•5+52 ＝4x2﹣20x+25． 11．（2025秋•汉阳区期末）（1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy的值． 【分析】（1）已知a+b和ab的值，可利用完全平方公式的变形a2+b2＝（a+b）2﹣2ab来求解； （2）已知（x+y）2和（x﹣y）2的值，可将两式展开后相减，消去x2和y2，从而求出xy的值． 【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝52﹣2×3 ＝25﹣6 ＝19； （2）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝25﹣9， ∴4xy＝16， ∴xy＝4． 12．（2025秋•雁塔区校级期末）已知x+y＝3，xy＝﹣10，求： （1）（3﹣x）（3﹣y）的值． （2）求x2+3xy+y2的值． 【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，然后把已知等式代入计算即可； （2）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可． 【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝﹣10， ∴（3﹣x）（3﹣y） ＝9﹣3y﹣3x+xy ＝9﹣3（x+y）+xy ＝9﹣3×3+（﹣10） ＝9﹣9+（﹣10） ＝﹣10； （2）∵x+y＝3，xy＝﹣10， ∴x2+3xy+y2 ＝x2+2xy+y2+xy ＝（x+y）2+xy ＝32+（﹣10） ＝9+（﹣10） ＝﹣1． 13．（2025秋•斗门区期末）已知x+y＝7，xy＝2．求： （1）（x+1）（y+1）的值； （2）x2+y2的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再代入求值即可； （2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求值即可． 【解答】解：（1）∵x+y＝7，xy＝2， ∴（x+1）（y+1） ＝xy+x+y+1 ＝2+7+1 ＝10； （2）∵x+y＝7，xy＝2， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×2＝45． 14．（2025秋•湘西州期末）计算：（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣3）． 【分析】先用完全平方公式、多项式乘多项式展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣（x2+2x﹣3x﹣6） ＝4x2﹣4x+1﹣x2﹣2x+3x+6 ＝3x2﹣3x+7． 15．（2025秋•西安期末）如图1，长方形的长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形， 【自主探究】 （1）观察图1、图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ； 【知识运用】 （2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的公式，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】 （3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值． 【分析】（1）根据图2的面积即可得出答案； （2）代入到（1）即可得出答案； （3）令x﹣2024＝t，则（t+1）2+（t﹣1）2＝10，进而得出答案． 【解答】解：（1）观察图二可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． （2）原式＝（2x﹣3y）2+4×2x×3y ＝（2x﹣3y）2+24xy ＝52+24×1 ＝25+24 ＝49． （3）令x﹣2024＝t， 则（t+1）2+（t﹣1）2＝10， t2+2t+1+t2﹣2t+1＝10， t2＝4， 故（x﹣2024）2＝4． 16．（2025秋•榆阳区期末）已知a+b＝5，ab＝3，求： （1）a2+b2的值； （2）（a﹣b）2的值． 【分析】（1）将a+b＝5两边同时平方并利用完全平方和公式展开，然后将ab＝3代入并计算即可； （2）将原式利用完全平方差公式展开后代入数值并计算即可． 【解答】解：（1）∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝3， ∴a2+6+b2＝25， ∴a2+b2＝19； （2）∵a2+b2＝19，ab＝3， ∴（a﹣b）2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝19﹣6 ＝13． 17．（2025秋•合江县期末）已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）（x﹣1）（y﹣1）． 【分析】（1）将x+y＝5两边平方，利用完全平方公式展开，将xy的值代入即可求出所求式子的值； （2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将xy与x+y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）将x+y＝3两边平方得： （x+y）2＝x2+2xy+y2＝9， 将xy＝2代入得： x2+y2＝5； （2）原式＝xy﹣（x+y）+1 ＝2﹣3+1 ＝0． 18．（2025秋•衡阳期末）已知a+b＝5，ab＝6，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）a﹣b． 【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab求解即可； （2）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab先求出（a﹣b）2的值，然后再求a﹣b的值即可． 【解答】解：（1）由条件可得： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝25﹣12＝13； （2）由条件可得： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×6＝25﹣24＝1， ∴a﹣b＝±1． 19．（2025秋•赣州期末）已知x﹣y＝2，xy＝3，利用乘法公式求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x+y． 【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy进行计算 （2）根据（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy以及平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝2，xy＝3， ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝4+6＝10； （2）∵x﹣y＝2，xy＝3， ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝4+12＝16， ∴x+y＝±4． 20．（2025秋•徐闻县期末）（1）计算：； （2）化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣2）2． 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣9＝﹣9； （2）原式＝a2+a﹣6﹣（a2﹣4a+4） ＝a2+a﹣6﹣a2+4a﹣4 ＝5a﹣10． 21．（2025秋•邹城市期末）运用乘法公式计算： （1）99×101； （2）982． 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣1＝10000﹣1＝9999； （2）原式＝（100﹣2）2．＝1002﹣2×100×2+22＝10000﹣400+4＝9604． 22．（2025秋•双流区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3xy﹣y＝2x B．（﹣2x2y）3＝8x6y3 C．（x﹣1）2＝x2﹣1 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可． 【解答】解：A．3xy与y不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意； B．（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故选项B不符合题意； C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故选项C不符合题意； D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 23．（2025秋•武汉期末）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（﹣x+y） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（x﹣y）（x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（x+y）（﹣x+y）＝y2﹣x2，故A符合题意； B、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，故B不符合题意； C、（x﹣y）（x﹣y）＝x2﹣2xy+y2，故C不符合题意； D、（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，故D不符合题意； 故选：A． 24．（2025秋•浦东新区校级期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A．（4p+q）（4q﹣p） B．（m+1）（﹣m﹣1） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x+2y）（﹣x+2y） 【分析】根据平方差公式的形式为（a+b）（a﹣b）逐一判断即可． 【解答】解：A、（4p+q）（4q﹣p），无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、（m+1）（﹣m﹣1）＝﹣（m+1）（m+1）不可用平方差公式计算，不符合题意； C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）不可用平方差公式计算，不符合题意； D、（x+2y）（﹣x+2y）＝（2y+x）（2y﹣x）可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 25．（2025秋•张北县期末）已知x﹣y＝1，x2﹣y2＝3，则x+y＝　3　 ． 【分析】先把x2﹣y2＝3的左边根据平方差公式分解因式，再根据已知条件求出答案即可． 【解答】解：∵x2﹣y2＝3， ∴（x+y）（x﹣y）＝3， ∵x﹣y＝1， ∴x+y＝3， 故答案为：3． 26．（2025秋•长沙期末）计算（2y﹣1）（2y+1）的结果为　4y2﹣1　 ． 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（2y﹣1）（2y+1） ＝（2y）2﹣12 ＝4y2﹣1， 故答案为：4y2﹣1． 27．（2025秋•南开区期末）计算252﹣23×27的结果为　4　 ． 【分析】把原式变形为252﹣（25﹣2）×（25+2），再利用平方差公式求解即可． 【解答】解：原式＝252﹣（25﹣2）×（25+2） ＝252﹣（252﹣22） ＝4． 故答案为：4． 28．（2025秋•宝山区期末）计算：1002025×1002027﹣10020262＝　﹣1　 ． 【分析】观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设n＝1002026，则1002025＝n﹣1，1002027＝n+1，原式＝（n﹣1）（n+1）﹣n2，利用平方差公式简化计算． 【解答】解：设n＝1002026，则1002025＝n﹣1，1002027＝n+1， 1002025×1002027﹣10020262 ＝（n﹣1）（n+1）﹣n2 ＝n2﹣1﹣n2 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 29．（2025秋•扎兰屯市期末）已知a2﹣b2＝14，a+b＝2，则a﹣b＝　7　 ． 【分析】根据平方差公式求解即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 由题意可得： ， 故答案为：7． 30．（2025秋•汝南县期末）已知x2﹣2＝x，则代数式（x+2）（x﹣2）﹣x的值为　﹣2　 ． 【分析】由已知变形为x2﹣x＝2，再根据平方差公式计算，然后代入求值即可． 【解答】解：∵x2﹣2＝x， ∴x2﹣x＝2， ∴（x+2）（x﹣2）﹣x ＝x2﹣4﹣x ＝2﹣4 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 31．（2026•沙坪坝区校级开学）计算： （1）（﹣2a2b3）2+（﹣a）4•（2b2）3； （2）（a﹣2b）（a2+4b2）（a+2b）． 【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）原式＝4a4b6+8a4b6＝14a4b6； （2）原式＝（a﹣2b）（a+2b）（a2+4b2） ＝（a2﹣4b2）（a2+4b2） ＝a4﹣16b4． 32．（2025秋•建瓯市期末）化简：（a+1）2+（a+1）（a﹣1）． 【分析】直接用公式将原式展开，去掉括号后合并同类项． 【解答】解：原式＝a2+2a+1+a2﹣1 ＝2a2+2a． 33．（2025秋•广信区期末）（1）计算：（100+2）（100﹣2）； （2）计算：1022． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝1002﹣22 ＝9996； （2）原式＝（100+2）2 ＝1002+22+2×100×2 ＝10404． 34．（2025秋•黄浦区校级期末）计算：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y）． 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式进行计算，再合并即可． 【解答】解：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y） ＝﹣（x+2y）（x+2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y） ＝﹣（x+2y）2﹣（y+2x）（y﹣2x） ＝﹣（x2+4xy+4y2）﹣（y2﹣4x2） ＝﹣x2﹣4xy﹣4y2﹣y2+4x2 ＝3x2﹣4xy﹣5y2． 35．（2025秋•金昌校级期末）用简便方法计算： （1）482+96×52+522； （2）30.252﹣20.252． 【分析】（1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【解答】解：（1）482+96×52+522 ＝482+2×48×52+522 ＝（48+52）2 ＝1002 ＝10000； （2）30.252﹣20.252 ＝（30.25+20.25）×（30.25﹣20.25） ＝50.5×10 ＝505． 36．（2025秋•大庆校级期末）化简： （1）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）； （2）（2x+y+3）（2x﹣y+3）． 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为[（2x+3）+y][（2x+3）﹣y]，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25） ＝4x2+8x+4﹣4x2+25 ＝8x+29； （2）原式＝[（2x+3）+y][（2x+3）﹣y] ＝（2x+3）2﹣y2 ＝4x2+12x+9﹣y2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级下第一章 整式的乘除 1.3乘法公式（平方差公式、完全平方公式）题型总结 【题型一】平方差公式 【例1】（2026•沙坪坝区校级开学）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　） A．（﹣a﹣b）（﹣b+a） B．（xy+z）（﹣xy+z） C．（﹣2x﹣y）（2x+y） D．（0.5x﹣y）（﹣y﹣0.5x） 【例2】（2025秋•宁乡市期末）若a+b＝2，a﹣b＝5，则a2﹣b2＝　 　 ． 【例3】（2025秋•南召县期末）阅读以下内容：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22026＝　 　 ． 【例4】（2025秋•新宁县期末）（1）（1）（1）…（1）＝　 　 ． 【变式1】（2025秋•龙岩期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（m﹣1）（1﹣m） C．（﹣2x+1）（﹣2x﹣1） D．（x+p）（p﹣x） 【变式2】（2025秋•思明区校级期末）已知a＞0，b＞0，（a+2b+2）（a+2b﹣2）＝5，则a2+2ab+6b的值是　 　 ． 【变式3】（2025秋•三河市期末）计算：2026×2024﹣20252＝　 　 ． 【变式4】（2025秋•资阳期末）已知a2＝b2+4，则（a+b）（a﹣b）＝　 　 ． 【变式5】（2024秋•邯郸校级期末）若，，则a﹣b的值为 　 　 ． 【题型二】完全平方公式 【例1】（2025秋•衡水期末）已知a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025，若a2+b2＝56，则c2的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．27 【例2】（2025秋•焦作期末）如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH．当长方形ABCD的面积为9cm2时，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为（　　） A．18cm2 B．17cm2 C．16cm2 D．15cm2 【例3】（2025秋•南康区期末）若a2+ab＝7，b2+ab＝9，则（a+b）2＝　 　 ． 【例4】（2025秋•闽清县期末）计算：1032+103×194+972＝　 　 ． 【变式1】（2025秋•阳泉期末）若x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（　　） A．8 B．7 C．5 D．6 【变式2】（2025秋•武汉期末）已知x2﹣5x+1＝0．下列结论：①；②；③；④x3﹣24x+5＝0．其中正确的有　 　 （请填写序号）． 【变式3】（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知m、n满足m﹣n＝3，m2﹣3mn+n2＝14，则mn的值为　 　 ． 【变式4】（2025秋•固原期末）已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　 　 ． 【变式5】（2025秋•攀枝花期末）已知x+y＝1，xy＝﹣12，求下列代数式的值： （1）x2+y2； （2）x﹣y． 【课后练习】 1．（2025秋•石林县校级月考）下列计算正确的是（　　） A．a2•a＝2a2 B．（﹣3a）2＝﹣6a2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x8÷x4＝x4 2．（2025秋•威远县期末）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 3．（2025秋•鹿泉区期末）下列运算正确的是（　　） A．a3⋅a2＝a6 B．ab2÷ab＝b C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣3x3y）2＝9x9y2 4．（2025秋•大英县期末）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　 　 ． 5．（2025秋•呼图壁县期末）已知x＝5﹣y，则2x2+4xy+2y2﹣7的值为　 　 ． 6．（2025秋•龙潭区校级期末）若（x﹣1）2＝2，则x2﹣2x+5＝　 　 ． 7．（2025秋•襄城县期末）已知a+b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2的值为　 　 ． 8．（2025秋•营山县期末）若（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b＝　 　 ． 9．（2025秋•朝阳区校级期末）已知（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝13，则ab＝　 　 ． 10．（2025秋•龙岩期末）计算： （1）（a+3）（a﹣2）； （2）（2x﹣5）2． 11．（2025秋•汉阳区期末）（1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy的值． 12．（2025秋•雁塔区校级期末）已知x+y＝3，xy＝﹣10，求： （1）（3﹣x）（3﹣y）的值． （2）求x2+3xy+y2的值． 13．（2025秋•斗门区期末）已知x+y＝7，xy＝2．求： （1）（x+1）（y+1）的值； （2）x2+y2的值． 14．（2025秋•湘西州期末）计算：（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣3）． 15．（2025秋•西安期末）如图1，长方形的长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形， 【自主探究】 （1）观察图1、图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式是 　 ； 【知识运用】 （2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的公式，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】 （3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值． 16．（2025秋•榆阳区期末）已知a+b＝5，ab＝3，求： （1）a2+b2的值； （2）（a﹣b）2的值． 17．（2025秋•合江县期末）已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）（x﹣1）（y﹣1）． 18．（2025秋•衡阳期末）已知a+b＝5，ab＝6，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）a﹣b． 19．（2025秋•赣州期末）已知x﹣y＝2，xy＝3，利用乘法公式求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x+y． 20．（2025秋•徐闻县期末）（1）计算：； （2）化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣2）2． 21．（2025秋•邹城市期末）运用乘法公式计算： （1）99×101； （2）982． 22．（2025秋•双流区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3xy﹣y＝2x B．（﹣2x2y）3＝8x6y3 C．（x﹣1）2＝x2﹣1 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 23．（2025秋•武汉期末）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（﹣x+y） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（x﹣y）（x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 24．（2025秋•浦东新区校级期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A．（4p+q）（4q﹣p） B．（m+1）（﹣m﹣1） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x+2y）（﹣x+2y） 25．（2025秋•张北县期末）已知x﹣y＝1，x2﹣y2＝3，则x+y＝　 　 ． 26．（2025秋•长沙期末）计算（2y﹣1）（2y+1）的结果为 　 ． 27．（2025秋•南开区期末）计算252﹣23×27的结果为　 　 ． 28．（2025秋•宝山区期末）计算：1002025×1002027﹣10020262＝　 　 ． 29．（2025秋•扎兰屯市期末）已知a2﹣b2＝14，a+b＝2，则a﹣b＝　 　 ． 30．（2025秋•汝南县期末）已知x2﹣2＝x，则代数式（x+2）（x﹣2）﹣x的值为　 　 ． 31．（2026•沙坪坝区校级开学）计算： （1）（﹣2a2b3）2+（﹣a）4•（2b2）3； （2）（a﹣2b）（a2+4b2）（a+2b）． 32．（2025秋•建瓯市期末）化简：（a+1）2+（a+1）（a﹣1）． 33．（2025秋•广信区期末）（1）计算：（100+2）（100﹣2）； （2）计算：1022． 34．（2025秋•黄浦区校级期末）计算：（x+2y）（﹣x﹣2y）﹣（2x+y）（﹣2x+y）． 35．（2025秋•金昌校级期末）用简便方法计算： （1）482+96×52+522； （2）30.252﹣20.252． 36．（2025秋•大庆校级期末）化简： （1）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）； （2）（2x+y+3）（2x﹣y+3）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $