奇偶性6种高频考点专项训练-2026届高三数学二轮复习

奇偶性6种高频考点专项训练 奇偶性6种高频考点专项训练 考点目录 奇偶性的定义与判定 奇偶性的应用：利用奇偶性求参数 奇偶性的应用：利用奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：利用奇偶性求解析式 奇偶性的应用：利用奇偶性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 奇偶性的定义与判定 例1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 例2．（25-26高二下·山西长治·开学考试）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·山西晋中·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数，在上单调递减 B．函数是偶函数，在上单调递增 C．函数是奇函数，在上单调递减 D．函数是奇函数，在上单调递增 考点二 奇偶性的应用：利用奇偶性求参数 例1．（25-26高三下·天津南开·月考）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 例3．（2026·江西·一模）已知函数是偶函数，则___________． 例4．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则________. 变式1．（2026·广东·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 变式3．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知为奇函数，则_____________． 变式4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 考点三 奇偶性的应用：利用奇偶性判断函数图像 例1．（25-26高二上·重庆·月考）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 变式1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 考点四 奇偶性的应用：利用奇偶性求解析式 例1．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 例4．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________． 变式1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知是定义在上的奇函数，且时，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 变式2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广西贵港·月考）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 变式4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数是奇函数，当时，，则____. 考点五 奇偶性的应用：利用奇偶性解不等式 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 例4．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 变式1．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________. 变式4．（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 考点六 抽象函数的奇偶性 例1．（2026·广东佛山·二模·多选）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 例2．（25-26高三下·河南·开学考试·多选）已知函数 满足 ，，且，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 例3．（25-26高三上·福建漳州·月考）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 例4．（25-26高三上·河北保定·月考）已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 变式1．（25-26高三上·山东日照·期末·多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 变式2．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．零点个数大于1 变式3．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意x，y∈R，都有，当时，. (1)证明：为奇函数； (2)若，解不等式. 变式4．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $奇偶性6种高频考点专项训练 奇偶性6种高频考点专项训练 考点目录 奇偶性的定义与判定 奇偶性的应用：利用奇偶性求参数 奇偶性的应用：利用奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：利用奇偶性求解析式 奇偶性的应用：利用奇偶性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 奇偶性的定义与判定 例1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【详解】对于A，， 设，， ，其中， 故不为奇函数，为偶函数，故A错误，B正确. ，其中， 设，则， 故 故既不是奇函数，也不是偶函数，故CD错误. 例2．（25-26高二下·山西长治·开学考试）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A项，函数为偶函数，故A项错误； 对于B项，函数在R上单调递减，故B项错误； 对于C项，，函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数，故C项正确； 对于D项，函数在上单调递减，在上单调递减，故D项错误． 变式1．（25-26高三上·山西晋中·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项：，定义域为，且为奇函数，在上单调递增，A选项正确； 对选项B，令，定义域为，， 所以为偶函数，故B错误； C选项：定义域为，为非奇非偶函数，C选项错误； D选项：是定义域为，的奇函数，且在，上单调递增， 但其在区间上不单调递增，例如，取，，有，D选项错误； 故选：A. 变式2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数，在上单调递减 B．函数是偶函数，在上单调递增 C．函数是奇函数，在上单调递减 D．函数是奇函数，在上单调递增 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以函数在上单调递增. 故选：D. 考点二 奇偶性的应用：利用奇偶性求参数 例1．（25-26高三下·天津南开·月考）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 例2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【详解】是奇函数，为偶函数， 为奇函数， . 故选：D. 例3．（2026·江西·一模）已知函数是偶函数，则___________． 【答案】2 【详解】因为为偶函数，所以， ， 即， 化简可得对于任意恒成立， 所以，所以． 例4．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数， 当时,，由可得， 即 因是任意非零实数，则,解得,，故. 故答案为：. 变式1．（2026·广东·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入，可得，则， 于是，显然其对称轴， 而是偶函数即曲线关于对称，故得. 故选：C. 变式2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D 变式3．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知为奇函数，则_____________． 【答案】 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得， 当，，不为奇函数，不合题意舍去． 当时，，即，为奇函数，符合题意， 所以． 变式4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 【答案】2 【详解】为幂函数， ， 解得或； 当时，，是偶函数，满足题意； 当时，，其定义域为，不为，故不满足题意； 综上所述：； 故答案为：2 考点三 奇偶性的应用：利用奇偶性判断函数图像 例1．（25-26高二上·重庆·月考）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 变式1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，其定义域为. 对于任意. 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项； 当时，，所以，则； 当时，，所以，则，故排除B选项； 当时，，所以排除选项A. 故选：C. 变式2．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A 考点四 奇偶性的应用：利用奇偶性求解析式 例1．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以 函数是上的奇函数，所以 故选：B. 例2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以对任意，都有，且. 于是 即. 因为当时，当时，，则， 故有， 由得或， 解得或. 综上，不等式的解集为. 故选：B 例3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 例4．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【详解】任取，则，，又为偶函数，， 所以， 所以，所以切点坐标为， 又，所以， 即切线的斜率，所以切线的点斜式方程为， 整理得， 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知是定义在上的奇函数，且时，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】当时，，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以. 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 变式3．（25-26高三上·广西贵港·月考）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 变式4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数是奇函数，当时，，则____. 【答案】 【详解】因为， 且是奇函数， 所以, 故答案为：. 考点五 奇偶性的应用：利用奇偶性解不等式 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上的减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 例2．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减， 可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减， 函数的图像如图所示， 结合图像可得，不等式的解集为. 故选：A.    例3．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 例4．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 【答案】 【详解】设，则， 因为当时，，所以当时，， 所以函数在上单调递减， 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即是上的奇函数， 故函数在上单调递减，， 又为偶函数，则，所以，所以， 不等式等价于，结合图象解得或， 则不等式的解集为. 变式1．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，当时，；当时，． 由奇函数的性质可得函数的图象如下： 由图象可得，不等式的解集为． 故选:B． 变式2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由题意得，，所以， 在上单调递增. 又，所以为上单调递增的奇函数. 则可化为， 又在上单调递增，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为是奇函数，所以， 则等价于． 又在上单调递增，所以，解得或． 则其解集为. 故答案为：. 考点六 抽象函数的奇偶性 例1．（2026·广东佛山·二模·多选）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【详解】令，则，化简得，又，，故A正确， 令，，化简得，又，，故B正确， 令，则，化简得，故为奇函数，故C错误. 令，则，化简得， 又，， 再令，则， 又为偶函数，，又为奇函数，， 故化简得， ，解得，故D正确. 例2．（25-26高三下·河南·开学考试·多选）已知函数 满足 ，，且，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【详解】令，，则，即， 因为，所以，则，故A正确； 令，，则，所以， 又，所以 0，故B错误； 令，得，即，所以， 由，得 ，即， 两边平方并整理得，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 令，则，所以在上单调递减， 又，，所以，所以 ， 取，得，所以， 又在上单调递减，所以，故 正确. 故选：ACD. 例3．（25-26高三上·福建漳州·月考）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2) 【详解】（1）是奇函数， 理由如下： 由，① 令，代入①式，得，即． 令，代入①式，得，又， 则有．即对任意成立， 所以是奇函数． （2），即，又在上是单调函数， 所以在上是增函数 又由（1）是奇函数．， ∴，对任意成立． 令，问题等价于对任意恒成立． 令，其对称轴． 当即时，，符合题意； 当时，对任意，恒成立． 解得． 综上所述，当时，对任意恒成立． 例4．（25-26高三上·河北保定·月考）已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1)，， (2)偶函数，证明见解析 【详解】（1）令，得， 因为，所以． 令，得， 因为，所以． 令，得， 即， 因为，所以，所以． （2）为偶函数． 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数． 变式1．（25-26高三上·山东日照·期末·多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】A：令，，可得，解得， 所以，故A正确； B：由题可得函数的定义域为，令，则得， 即，所以为偶函数，故B错误； C：令，即，即， 将替换可得， 得，则， 所以，故C正确； D：令，则，因，所以； 由，所以当时，， 当时，，当时，， 令，，则，解得，所以， 所以在一个周期内， 因，所以，故D正确． 故选：ACD． 变式2．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．零点个数大于1 【答案】ACD 【详解】对于A项，令，由已知可得，，解得. 令，由已知可得，， 解得.故A正确； 对于B项，令，代入已知条件可得， . 又，所以有.故B错误； 对于C项，令，代入已知条件可得， . 因为， 所以有， 所以，是奇函数.故C正确； 对于D项，令，代入已知有. . 令，由可得， . 令，，由可得， . 因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得. 根据函数为奇函数，可知. 所以，函数至少存在三个零点.故D正确. 故选：ACD. 变式3．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意x，y∈R，都有，当时，. (1)证明：为奇函数； (2)若，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵函数的定义域为，则定义域关于原点对称． ∵对任意x，y∈R，都有， 故令，则，， 令，则，即， 是奇函数； （2）任取，且，由题意得，，， ， ， ， 在上为减函数． 因，∴， ∴ ， 解得， ∴的解集为：． 变式4．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $