等差数列9种高频考点专项训练-2026届高三数学二轮复习

等差数列9种高频考点专项训练 等差数列9种高频考点专项训练 考点目录 等差数列通项公式与前n项和的计算 等差中项 等差数列通项公式的函数性质 等差数列前n项和的函数性质 等差数列片段和的性质 两个等差数列的前n项和之比问题 含绝对值的等差数列前n项和 等差数列奇数项或偶数项的和 等差数列的应用 考点一 等差数列通项公式与前n项和的计算 例1．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，， 则. 例2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】设该等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 又因为，可得，解得， 所以． 例3．（25-26高二下·广西玉林·月考）等差数列的前n项和为，公差为d，且，则______． 【答案】2 【详解】等差数列中，， 则，所以， 则. 例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为为其前项和，若也是等差数列，则__________. 【答案】/ 【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，而， 则，，而， 由，得；由，得， 联立解得，此时，都是等差数列，符合题意， 所以. 故答案为： 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】由，则， 在等差数列中，. 变式2．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，由， 则，解得：. 变式3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 则由，可得，， 解得， 所以， 故答案为： 变式4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）记为等差数列的前项和，若，，则_____. 【答案】88 【详解】解：设首项为，公差为，由，， 可得， 解得，所以． 故答案为：88． 考点二 等差中项 例1．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 例2．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 例3．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【详解】因为，且，则， 于是，则，. 解法2  由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 故答案为：14. 例4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正数，，成等差数列，所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以，当且仅当即时取等号. 两个等号可以同时取得，所以的最小值为. 故答案为：. 变式1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 变式2．（24-25高三上·福建厦门·月考）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 变式3．（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为________. 【答案】12 【详解】由题意得，结合等差数列的性质可知， 可得，即， 则. 故答案为：12 变式4．（25-26高三上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为___________. 【答案】7 【详解】由韦达定理得， 又数列是等差数列，故，所以，解得. 故答案为：7 考点三 等差数列通项公式的函数性质 例1．（25-26高三下·广西桂林·月考·多选）已知数列满足，，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，，可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由数列是以为首项，为公差的等差数列， 知，故C正确； 对于D，因为，所以数列是递增数列，故D错误. 例2．（2026·安徽安庆·二模·多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由，得或， 即或，显然，故B正确； 则，故A正确； 对于C，当时，有， 此时，等差数列为递增数列，则，故C错误； 对于D，当时，有， 解得，则，故D正确. 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（   ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是14 【答案】ACD 【详解】根据题意，数列是等差数列，设其公差为， 对于A，等差数列中，易得，又由，则， 故，数列为递减数列，A正确； 对于B，由的结论，，B错误； 对于C，由的结论，且，，可知数列为递减数列，故的最大值为，C正确； 对于D，，， 故使得时的最大值是14，D正确． 变式2．（25-26高二上·广东韶关·期末·多选）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 【答案】AD 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以数列单调递减，故B错误； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，由可得，，解得. 又，所以. 所以数列的前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确. 故选：AD. 考点四 等差数列前n项和的函数性质 例1．（2026·四川成都·二模·多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 例2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列，公比为，则（    ） A．的公差为3 B． C．既存在最大值又存在最小值 D．只存在最大值不存在最小值 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 由，，成等比数列，得， 而，解得，故A正确； 得到数列的通项公式为， 则，，则不存在最大值，存在最小值，故C错误； 由，，得到，故B正确； ，， 由二次函数性质得只存在最大值不存在最小值，故D正确. 变式1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模·多选）记数列的前项和为，若，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．当时，有最小值 【答案】AB 【详解】选项A：当时，，，故A正确. 选项B：当时，， 则， 即（），又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确. 选项C：由B知，，，故C错误. 选项D：由C知，， 因为，所以当或时，取最小值，故D错误. 变式2．（25-26高二上·河北石家庄·期末·多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 【答案】ACD 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，当时，取得最大值，C选项正确； 所以数列是首项，的等差数列，A选项正确； ，则，B选项错误； ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为，D选项正确. 故选：ACD 考点五 等差数列片段和的性质 例1．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】令 ，可得， 则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ， 解得． 例2．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 例3．（25-26高三上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 例4．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则__________. 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以成等差数列， 所以，即， 解得. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 变式2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．60 B．50 C．90 D．70 【答案】C 【详解】成等差数列， 又， 所以，所以， 故选：C 变式3．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则______________. 【答案】56 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·广东东莞·月考）已知为等差数列的前项和，若，则______． 【答案】27 【详解】法一：因为为等差数列的前项和，所以成等差数列， 即， 又，所以， 所以，解得． 法二：设等差数列的公差为，由题意， 即，即，解得， 则． 故答案为：27. 考点六 两个等差数列的前n项和之比问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以． 故选：A 例2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等差中项性质，， 所以. 又因为等差数列前项和， 所以. 已知，令，则， 因此，， 故选：C. 例3．（24-25高二下·江西·月考）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 例4．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________． 【答案】 或. 【详解】由等差数列的性质可得：，， ，因为， 所以； 因为， 所以, 要使的值为正整数，所以为的约数， 所以或或，因为，所以或. 故答案为：；或. 变式1．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因分别是等差数列的前项和，由， 可设，，则， 于是， ， 则. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】/ 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 【答案】1 【详解】由，， 所以. 故答案为： 考点七 含绝对值的等差数列前n项和 例1．（25-26高二上·湖北·期末）记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． （2）由（1）知，，则， 由，得， 则当时，，当时，， 故 ． 例2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为，所以， 即， 又因为，所以，即. 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 则，所以. （2）设数列公差为， 由（1）知，， 因为为与的等差中项，所以， 又因为，则. 所以. 解法一： 当时，， 当时，， . 综上，数列的前项和. 解法二： 记数列前项和为，则 . 又因为， 当时，. 当时， . 综上，数列的前项和 变式1．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 变式2．（25-26高二上·湖北·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以数列为等差数列，故，. （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上，. 考点八 等差数列奇数项或偶数项的和 例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 【答案】B 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 例2．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 例3．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 【答案】10 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 例4．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则__________． 【答案】10 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 变式1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 变式3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【答案】 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 变式4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是______. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 考点九 等差数列的应用 例1．（25-26高三上·内蒙古·期末）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯___________盏． 【答案】26 【详解】依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列， 所以，解得， 所以，即塔的底层共有灯26盏． 故答案为：26. 例2．（2026·重庆·模拟预测）在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是_____________人. 【答案】 【详解】设游戏人数为， 若，则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，小明在报数之前没有报“过” ， 综上，， 故答案为： 例3．（2025·广东广州·模拟预测） 2024年11月17日，我国自主设计建造的大洋科考钻探船“梦想”号在广州正式入列，标志着我国深海探测关键技术装备取得重大突破．假设在“梦想”号的某次试钻中钻探深度需达11000米，钻探进度如下：第1天钻探深度为600米，受海底地质条件的影响，之后每天的钻探深度较前一天都有所减少，且每5天的日钻探深度的减少量增加4米．具体为：第天每天钻探深度比前一天减少5米，第天每天钻探深度比前一天减少9米，，依次类推，则要完成钻探任务至少需要的天数为______． 【答案】23 【详解】解法一：设每天的钻探深度构成数列的前项和为，第至天为第个阶段，第个阶段的钻探深度和为， 则，第个阶段每天钻探深度比前一天减少的量为， 由题意知是公差为的等差数列， 所以，即只要找到每段等差数列的中项即可， 因为当时，第段中项到第段中项相差， 当时，， 当时，，， 当时，，，， 同理可得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 因为，， 所以，， 所以要完成任务，至少需要钻探23天． 解法二：设每天的钻探深度构成数列，每5项为一个阶段，第个阶段的钻探深度和为，列表如下． ， ，，所以要完成钻探任务，至少需要23天， 故答案为：23 变式1．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 变式2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则__________.    【答案】2 【详解】设向外每层雕孔依次增加固定的数量为，所以每层雕孔数为等差数列， 所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，得出，所以， 所以，所以，因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，所以或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 故答案为：2. 变式3．（24-25高三上·北京·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为__________，春分时节的日影长为__________尺. 【答案】 / 【详解】冬至､小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得： ， 解得： 所以， 所以， 即春分时节的日影长为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $等差数列9种高频考点专项训练 等差数列9种高频考点专项训练 考点目录 等差数列通项公式与前n项和的计算 等差中项 等差数列通项公式的函数性质 等差数列前n项和的函数性质 等差数列片段和的性质 两个等差数列的前n项和之比问题 含绝对值的等差数列前n项和 等差数列奇数项或偶数项的和 等差数列的应用 考点一 等差数列通项公式与前n项和的计算 例1．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 例2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3．（25-26高二下·广西玉林·月考）等差数列的前n项和为，公差为d，且，则______． 例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为为其前项和，若也是等差数列，则__________. 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）等差数列中，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 变式2．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______. 变式4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）记为等差数列的前项和，若，，则_____. 考点二 等差中项 例1．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 例2．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______. 例4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为______. 变式1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 变式2．（24-25高三上·福建厦门·月考）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 变式3．（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为________. 变式4．（25-26高三上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为___________. 考点三 等差数列通项公式的函数性质 例1．（25-26高三下·广西桂林·月考·多选）已知数列满足，，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递减数列 例2．（2026·安徽安庆·二模·多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（   ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是14 变式2．（25-26高二上·广东韶关·期末·多选）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．-20是数列中的项 D．数列前7项和最大 考点四 等差数列前n项和的函数性质 例1．（2026·四川成都·二模·多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 例2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列，公比为，则（    ） A．的公差为3 B． C．既存在最大值又存在最小值 D．只存在最大值不存在最小值 变式1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模·多选）记数列的前项和为，若，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．当时，有最小值 变式2．（25-26高二上·河北石家庄·期末·多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 考点五 等差数列片段和的性质 例1．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例2．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 例3．（25-26高三上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 例4．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则__________. 变式1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．60 B．50 C．90 D．70 变式3．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则______________. 变式4．（25-26高三上·广东东莞·月考）已知为等差数列的前项和，若，则______． 考点六 两个等差数列的前n项和之比问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·江西·月考）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 例4．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________． 变式1．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 变式4．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 考点七 含绝对值的等差数列前n项和 例1．（25-26高二上·湖北·期末）记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 例2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 变式1．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 变式2．（25-26高二上·湖北·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 考点八 等差数列奇数项或偶数项的和 例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 例2．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 例3．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 例4．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则__________． 变式1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 变式3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 变式4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是______. 考点九 等差数列的应用 例1．（25-26高三上·内蒙古·期末）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯___________盏． 例2．（2026·重庆·模拟预测）在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是_____________人. 例3．（2025·广东广州·模拟预测） 2024年11月17日，我国自主设计建造的大洋科考钻探船“梦想”号在广州正式入列，标志着我国深海探测关键技术装备取得重大突破．假设在“梦想”号的某次试钻中钻探深度需达11000米，钻探进度如下：第1天钻探深度为600米，受海底地质条件的影响，之后每天的钻探深度较前一天都有所减少，且每5天的日钻探深度的减少量增加4米．具体为：第天每天钻探深度比前一天减少5米，第天每天钻探深度比前一天减少9米，，依次类推，则要完成钻探任务至少需要的天数为______． 变式1．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 变式2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则__________.    变式3．（24-25高三上·北京·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为__________，春分时节的日影长为__________尺. 2 学科网（北京）股份有限公司 $