解三角形与平面向量、三角函数综合问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 考点目录 解三角形与向量综合问题 解三角形与三角函数的图像与性质综合问题 考点一 解三角形与向量综合问题 例1.(2026宁夏银川一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 3c sin C=(3a+2b)sin A+(3b+a)sin B. (1)求角C的大小： (2)若CA.CB=-8,求C的最小值及ABC的面积 例2.(2026陕西铜川一模)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A-B)=sinA+C)+sinC (1)求∠A; (2)若点D是BC边上一点，AB.AD=0,3CD=2CB,求cos/BDA. 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 例3.(25-26高三上山东威海期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的面积为 5(a2-b2-c2） 4 0若D是∠A的角平分线，4D-吕8C=9,求4BC的周长， (②)若BC=3BD,AD=tBD,求t的最小值. 例4.(25-26高三上安徽宣城期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知2 bcosC=2a-√3c (1)求角B的大小； (2)若a=4,AC边上的中线BM长为V13,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,求线段AD的长 2 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 变式1.(25-26高三上·福建南平.月考)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,点0是ABC 的外心 (1)当AB=2时，求AO.AB; (2)对于任意的m,n,p,q∈R,用向量方法证明不等式(m2+n2)(p2+g)≥(mp+nq2(当且仅当mg=np时，等号 成立) 后0小x40-0.Rmac价天 变式2.(24-25高一下·福建三明期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2a+c=2 bcosC. (I)求B; (2)ABC所在平面内一点0满足0A.0B=OB.OC=OC.OA,若b=2√3，求△A0C的周长的最大值 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 变式3.(25-26高三上·福建福州月考)已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a= b+c cos B+cos C (1)求角A; (2)若MA+MB+MC=0,且AM=1,求ABC外接圆半径R 变式4.(24-25高一下安徽六安期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知c=2,且 sin B-sinCb-a sinA b+c (1)求C: (2)若G为ABC内一点且GA+GB+2GC=0,求GC长度的最大值； (3)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围. 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 考点二 解三角形与三角函数的图像与性质综合问题 例1.(2026-江西弹乡.一模)已知函数f()=Mcosx+p)+k(M>0,0>0,<受)的部分图象如图所示. 3 主 -1-6 (I)求f(x)的解析式： (2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若fA=2,sinB=√2cosA,a=2V5,求ABC的周长 例2.(25-26高二上·云南大理·期末)已知函数f(x)=V3cos2x+sinxcosx ()求∫(x)的最大值以及取得最大值时自变量x构成的集合： (②)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f =√5，D点在线段BC上，且AD平分LBAC,若 BD=2CD,且AD=√5，求ABC的面积 5 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 例3.(25-26高二上云南保山期末)已知函数f(x)=√3sin2x-2cos2x. (1)求∫(x)的单调递增区间； ②设4BC的内角4,8，C的对边分别为ahc,A为统角，且a=4,B-至，f八个=0，求BC的面积. 例4.(2026陕西渭南一模)已知函数f(x)=cos4x+2 sinxcosx-sinx. (1)求∫(x)的最小正周期及单调递增区间： ②版锐角8C的内角，8，C所对的边分别为a46:G若a=丽，6=5、f任引-1，求48C的面 积 6 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 变式1.(25-26高三上贵州贵阳月考)将函数y=6 sincos的图象横坐标压缩为原来的)，纵坐标不变，然后再 2 2 向左平移无个单位长度得到函数y=f)的图象 (1)求函数∫(x)的解析式，并写出∫(x)的单调递增区间； ②已知a48C的内角4,8，C的对边分别为a,b,←者/（台-5，B-24,a=3求c 变式2.(25-26高三上天津-月考)已知fx=-V5cos2x+2sim3π+xsin(x+x,xeR. 2 (1)求∫(x)的最小正周期及单调递减区间： (2)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=V3,a=4,求ABC面积的最大值. 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 变式3.(2026~广东佛山一模)已知函数f)=2in(or+0X0<a<2.0<9<受，f0)=5,且)s/停恒成 立 (I)求∫(x)的解析式： (2)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且f(B)=0,a=4,ABC的面积为2√3，求sinC. 变式4.2526商三上：陕西威阳月考)已如到数时= sin2x-cos'x-1 2 x∈R (1)求函数y=f(x的最小正周期和对称轴： (2)求函数∫(x)的单调递减区间； (3)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=V3,f(C)=0,若sinB=2sinA,求S4Bc· 8解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 解三角形与向量综合问题、解三角形与三角函数的图像与性质综合问题专项训练 考点目录 解三角形与向量综合问题 解三角形与三角函数的图像与性质综合问题 考点一 解三角形与向量综合问题 例1．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 【答案】(1) (2); 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 例2．（2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在的内， 所以 则， 可得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. （2）因为，所以. 由（1）可知， 则. 如图，设， 则. 在中，，即， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 又因为，所以， 又，故， 即， 可得，即， 故，故为锐角， 又，为锐角，则， 所以的值为. 例3．（25-26高三上·山东威海·期中）在中，内角的对边分别为，且的面积为． (1)若是的角平分线，，求的周长； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)19． (2)． 【详解】（1）在中，由三角形的面积公式可得， 所以，所以， 因为，所以． 因为是的角平分线，所以， 所以，所以， 由余弦定理可知：， 所以， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以的周长为19． （2）由题意知， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以当，即时，的最大值为1，此时有最小值， 所以的最小值为． 例4．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 变式1．（25-26高三上·福建南平·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． (1)当时，求； (2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点， 则为向量在向量上的投影向量， 设与的夹角为，所以． （2）构造向量，因为（其中为向量的夹角）， 所以， 于是， 即 当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有， 即，不等式得证． （3）如图，令，由， 得，化简得． 由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有， 代入上式得，所以． 又是的外接圆的半径，故， 于是有， 由（2）结论可知，，故， 从而，于是，当且仅当时，等号成立， 因此的最大值为． 变式2．（24-25高一下·福建三明·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 同理可得，所以点O是的垂心， 又因为，所以， 在中，因为，即， 由余弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以的周长的最大值为. 变式3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， (1)求角； (2)若，且，求外接圆半径R 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 根据余弦定理，得 化简得， ∵，， （2）令是的中点，则, ， ，， 由（1）知，， 所以外接圆半径. 变式4．（24-25高一下·安徽六安·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且. (1)求C； (2)若G为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得， 即，得，所以， 又，所以． （2）如图，设是的中点，因为， 所以， 所以是的中点． 因为， 所以． 由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，所以，得， 所以，即长度的最大值为．    （3）因为，所以， 由正弦定理知 . 又为锐角三角形，所以得， 所以，所以， 所以， 所以， 即的周长的取值范围为． 考点二 解三角形与三角函数的图像与性质综合问题 例1．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由图知：，解得：，； 又，即，则，； 由，得，又，则； 故的解析式为：. （2）因为，即，又，解得； 所以，则或（舍去）； 在中，由正弦定理知：，故； ； 则， 故的周长为. 例2．（25-26高二上·云南大理·期末）已知函数. (1)求的最大值以及取得最大值时自变量构成的集合； (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在线段上，且平分，若，且，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，   所以当时，取到最大值， 此时，解得. 所以取得最大值时，自变量构成的集合. （2） 因为，可得. 因为，，可得，解得.   由题可知. 设，则， 由正弦定理得，， 即，，解得①.   又，即， 化简得②.  由①②解得，. 所以的面积为. 例3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 令， 解得，即的单调递增区间为． （2）由（1）可得，则， 因为，所以，则，解得， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以． 例4．（2026·陕西渭南·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，. (2) 【详解】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）将函数的图象横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象. (1)求函数的解析式，并写出的单调递增区间； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，若，，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以将其图象上点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，得. 所以. 由，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）得，所以. 因为，所以为锐角，所以. 由正弦定理，得， 所以. 易知， 由余弦定理的推论，得，即，. 解得，或（舍去）. 所以. 变式2．（25-26高三上·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意有：， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间； （2）由，即， 又，所以， 所以，即， 由余弦定理得：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的面积的最大值为. 变式3．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 变式4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数. (1)求函数的最小正周期和对称轴： (2)求函数的单调递减区间； (3)设的内角的对边分别为且，若，求. 【答案】(1)最小正周期为；对称轴为 (2) (3) 【详解】（1）， 则最小正周期是； 令，解得：， 所以函数的对称轴为 （2）由于； 令，解得：； 所以的单调递减区间为 （3），则， ，，所以， 所以，，因为，由正弦定理得， ① 由余弦定理得，即 ②， 由①②解得：，． 所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $