专题2.2 一元一次不等式（5大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题2.2 一元一次不等式 知识点1：一元一次不等式的定义 1.定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2.标准形式：、、、（，、为常数）。 3.判定关键：同时满足“整式、单未知数、一次、系数非0”四个条件，缺一不可。 知识点2：一元一次不等式的解法 1.基本依据：不等式的基本性质（注意：不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向要改变）。 2.一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（步骤可根据不等式特点灵活调整）。 3.解集的数轴表示： 大于（）、大于等于（）：向右画；小于（）、小于等于（）：向左画； 含等号（、）用实心圆点，不含等号（、）用空心圆圈。 知识点3：一元一次不等式的特殊解 1.定义：在不等式的解集中，符合特定条件的解（如整数解、正整数解、负整数解、非负整数解等）。 2.求法：先求出不等式的解集，再根据条件筛选出符合要求的特殊解。 知识点4：一元一次不等式与方程（组）的综合 1.方程解代入不等式：先解出方程的解，将解代入不等式，求解字母参数的取值范围。 2.方程组解结合不等式：先解方程组（用含参数的式子表示解），将解代入不等式，求解参数范围。 知识点5：一元一次不等式的实际应用 1.解题步骤：审（找不等关系）→设（设未知数，不含不等词汇）→列（列一元一次不等式）→解（解不等式）→验（检验解集是否符合实际）→答（补全不等词汇）。 2.关键关键词：将“至少、最多、不小于、不大于、超过、不超过”转化为对应不等号（、、、、、）。 对比表格：一元一次不等式与一元一次方程 对比维度 一元一次不等式 一元一次方程 式子特点 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 表示关系 不等关系（、、、） 相等关系（） 解法步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（乘除负数变号） 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（无需变号） 解的个数 无数个解（解集） 唯一解 解的形式 /// 【基础必考题型】 【题型1】一元一次不等式的判定 1.核心知识点 一元一次不等式的定义； 整式与分式的区别、未知数次数与个数的判定。 2.解题方法技巧 逐一验证“整式、单未知数、一次、系数非0”四个条件； 排除含分式、多个未知数、未知数次数不为1的式子。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：因为该不等式中含有， 所以不是一元一次不等式； （2）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式； （3）解：因为该不等式中含有x，y两种未知数， 所以不是一元一次不等式； （4）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式． 【题型2】利用定义求字母参数的值 1.核心知识点 一元一次不等式的定义； 绝对值的求解、系数非0的限制条件。 2.解题方法技巧 令未知数的次数=1，解出字母的可能值； 代入验证未知数的系数≠0，排除不符合的解。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）当________时，不等式是关于的一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是同时满足“未知数的次数为”和“未知数的系数不为”这两个条件，避免遗漏系数不为的限制． 要使不等式是关于的一元一次不等式，需要满足两个核心条件：①未知数的次数为；②未知数的系数不为． 【详解】解：根据一元一次不等式的定义，我们列出条件： ①次数条件： ， 解得，即：或． ②系数条件： ， 解得． 综合两个条件，可得：． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么_______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 【题型3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 1.核心知识点 一元一次不等式的解法步骤； 不等式的基本性质； 解集的数轴表示规则。 2.解题方法技巧 去分母时不要漏乘不含分母的项； 系数化为1时，若系数为负数，务必改变不等号方向； 数轴表示先定“方向”，再定“圆点类型”。 【例题3】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 解得． 解集在数轴上表示如下： 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：不等式的解集为，在数轴上表示正确的是： 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江台州·月考）解不等式，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，并在数轴上表示出解集． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示为： ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析. (2)，数轴见解析. 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴如下： 【题型4】求一元一次不等式的常规特殊解 1.核心知识点 一元一次不等式的解法； 正整数、负整数、非负整数等特殊解的定义。 2.解题方法技巧 先解出不等式的解集，再结合数轴筛选特殊解； 注意特殊解的“边界值”，做到不重不漏。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据题意直接求出负整数解即可． 【详解】解：不等式的负整数解有，，共2个． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为_____． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山东潍坊·期末）写出不等式的一个负整数解___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． （2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 【培优高频题型】 【题型5】根据不等式的解集求字母参数的值/范围 1.核心知识点 一元一次不等式的解法； 解集的对应等价关系； 含参数的等式/不等式求解。 2.解题方法技巧 先解出含参数的不等式解集（用参数表示）； 将其与已知解集等价对应，列方程/不等式求参数； 注意解集边界值的“等号取舍”。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集​，判断出的符号，并得到与的数量关系，再将该关系代入待求不等式，化简后求解． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ∴，． ∴． 将代入不等式得： ． ∵，两边同时除以（负数），不等号方向改变： ． 约去后得到：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和含参数不等式的解法，解题关键是：通过已知解集判断系数的符号，建立参数间的关系，再代入目标不等式求解． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键； 将不等式解出，令最后结果与2作比较即可求得a的取值范围 ． 【详解】解： 不等号右侧整理可得 已知不等式的解集为 观察解集与原不等式可得： 解得 故答案为：． 【变式题5-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解关于的不等式，再根据不等式的最大整数解是，列出关于的不等式，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为得：， ∵关于的不等式的最大整数解为， ， 解得：． 故答案为：． 【题型6】方程组的解结合不等式求参数范围 1.核心知识点 二元一次方程组的解法（加减消元/代入消元）； 一元一次不等式的解法； 用含参数的式子表示方程组的解。 2.解题方法技巧 解方程组，用含参数的式子表示x、y； 将x、y代入不等式，转化为关于参数的一元一次不等式求解； 若涉及、，可直接整体消元求解，简化计算。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法与一元一次不等式的求解，关键是运用整体思想简化计算，无需分别求解和的具体表达式．将方程组的两个方程左右两边相加，提取公因式后得到关于的代数式，再根据已知条件建立一元一次不等式，最后解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：， 整理化简，得； ， ，解得； 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·周测）若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 直接把两方程相减，得到关于的表达式，再代入不等式求解即可． 【详解】解：方程组 ，得：， ， ， 解得， 故选：A． 【变式题6-2】.（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 【题型7】不等式解集的包含关系求参数范围 1.核心知识点 一元一次不等式解法；解集的包含关系；参数的不等式求解 2.解题方法技巧 分别解出两个不等式的解集；根据“前解集是后解集的子集”列关于参数的不等式；注意边界值的等号取舍。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解法，注意解不等式的依据是不等式的性质，理解不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变是关键． 将代数式化简为 ，然后根据值不大于列出不等式求解． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值始终不大于 ， ∴ ， 两边乘（正数，不等号方向不变）：， 移项：， 两边乘 （负数，不等号方向改变）：， ∴ 的取值范围是 ， 故选： A． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 【变式题7-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先把看作常数求出两个不等式的解集，再根据“不等式的解都是关于x的不等式的解”列不等式进行计算即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵不等式的解都是关于x的不等式的解， ，解得， 的取值范围为． 【变式题7-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）若关于x的方程的解是不等式的一个解，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的综合应用，掌握先分别求解方程和不等式，再根据解的关系建立新不等式求参数范围是解题的关键． 先解方程得到 关于 的表达式，再解不等式得到 的取值范围，最后根据方程的解是不等式的一个解，建立关于 的不等式并求解． 【详解】解：解方程 ， 得 ； 解不等式 ， 得 ； 由题意，， 解得 ． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型8】一元一次不等式的基础实际应用 1.核心知识点 一元一次不等式的实际应用步骤； 购物折扣、阶梯计费的数量关系分析。 2.解题方法技巧 抓住“折扣、满减、阶梯收费”等关键词，分析数量关系； 找准不等关系，将“不超过、至少、低于”转化为对应不等号； 检验解集是否符合实际（如数量为正整数）。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）骑行作为一种低碳环保的出行方式，正在逐渐改变着我们的生活．现有两家商场愿意购进一批某品牌自行车．如图为该自行车生产商和两家商场的对话，请你帮助该生产商解决问题． 【答案】当销售自行车的数量为50辆时，选择两个商场的收益一样高；当销售自行车的数量超过50辆时，选择甲商场的收益比较高；当销售自行车的数量不足50辆时，选择乙商场的收益比较高． 【详解】解：设该生产商销售辆自行车，选择甲商场的收益为元，选择乙商场的收益为元， 根据题意可得，． 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得， 当销售自行车的数量为50辆时，选择两个商场的收益一样高；当销售自行车的数量超过50辆时，选择甲商场的收益比较高；当销售自行车的数量不足50辆时，选择乙商场的收益比较高． 【变式题8-1】.（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元 (2)最多购进乙种纪念品70件 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进乙种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元， 由题意可得：， 解得：， 答： 甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元； （2）解：设购进乙种纪念品m件， 由题意可得：， 解得：， 答： 最多购进乙种纪念品70件． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。 （1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的，直接用甲种玩偶的单价乘以即可求出乙种玩偶的单价。 （2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多个表示出乙种玩偶的数量，再根据总费用不超过元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。 【详解】（1）解： 元． 答：乙种玩偶的单价为每个元． （2）解：设该游客购买了个甲种玩偶． 由题意得， 解得 因为为整数，所以该游客最多购买个甲种玩偶． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽亳州·期末）某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如下表：若施甲种化肥每亩利润为（元），施乙种化肥每亩利润为（元），设该种农作物每千克单价（元），已知，施肥前每亩产量为． 化肥种类 化肥单价元 所需化肥数量/亩 每亩地增产 甲 5.2 40 150 乙 2.5 40 120 (1)求出，与之间的函数表达式． (2)选用哪种化肥合算？ (3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为__________． 【答案】(1)与之间的函数表达式为，与之间的函数表达式为 (2)当时，选择乙化肥更合算；当时，选择甲、乙化肥一样合算；当时，选择甲化肥更合算 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键是正确列出函数解析式并加以分析． （1）根据数量关系找到、与x之间的函数表达式即可； （2）当时，算出两者利润相同时x的值，再考虑和时的结果即可； （3）根据题意得，从而得到，再根据，即可求出最终结果． 【详解】（1）解：由题意知，每亩利润=每亩农作物总售价每亩所用化肥总价， 则施甲肥每亩利润的表达式为：， 施乙肥每亩利润的表达式为：； （2）①当时，即， 解得； ②当时，即， 解得； ③当时，即， 解得． 综上所述，当时，选择乙化肥更合算；当时，选择甲、乙化肥一样合算；当时，选择甲化肥更合算； （3）解：根据题意得， 整理得． 因为，， 所以当时，取最大值， 所以，所以的最小值为． 故答案为：． 【题型9】新定义与一元一次不等式的综合 1.核心知识点 一元一次不等式的解法； 新定义的理解与转化； 数形结合思想。 2.解题方法技巧 认真阅读新定义，将新定义转化为常规的数量关系； 根据转化后的关系列一元一次不等式，按常规步骤求解； 结合数轴辅助理解新定义中的数量关系。 【例题9】.（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 【变式题9-1】.（21-22九年级上·浙江嘉兴·月考）定义一种运算：当时，；当时，．如， ．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解不等式，分若，即和若，即两种情况分析即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：若，即恒成立， ∴， ， 若，即， ∴， ∴无解， 综上可得：， 故选：． 【变式题9-2】.（23-24八年级下·陕西西安·月考）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 【变式题9-3】.（24-25八年级下·江西抚州·月考）在江西南昌中学八年级数学社团活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式．求绝对值不等式和的解集． 小江同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集． (1)请将小江的探究过程补充完整： ①确定的解集过程如下：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于3的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图1，所以，的解集是或________． ②再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于3的所有点所表示的数，并在图2数轴上用笔画线标明范围，所以，的解集为：________． ③经过大量特殊实例的实验，小江得到绝对值不等式的解集为________，的解集为________． (2)请你根据小江的探究过程及得出的结论，利用所学知识求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①②③或， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴的几何意义解绝对值不等式，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）①利用数轴的几何意义进行求解即可； ②利用数轴的几何意义进行求解即可； ③利用数轴的几何意义进行归纳求解即可； （2）利用数轴的几何意义进行求解，然后再根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴的几何意义得， 的解集是或， 故答案为：； ②根据数轴的几何意义得， 的解集为， 故答案为：； ③的解集为或， 的解集为； 故答案为：或，； （2）解： 整理得，， 根据数轴的几何意义得， ， ∴． 易错点 1.判定一元一次不等式时，忽略“不等式两边为整式”，误将含分式的式子判定为一元一次不等式。 2.利用定义求参数时，只考虑未知数次数为1，忘记验证“未知数系数不为0”，导致多解。 3.解不等式去分母时，漏乘不含分母的常数项，导致解集错误。 4.系数化为1时，忽略系数为负数，未改变不等号方向，这是最常见的计算错误。 5.数轴表示解集时，混淆实心圆点和空心圆圈，含等号用空心、不含等号用实心。 6.实际应用中，设未知数时包含“至少、最多”等不等词汇，或检验时忽略实际意义（如数量为正整数）。 重点 1.一元一次不等式的定义判定，能准确区分一元一次不等式与其他不等式/等式。 2.一元一次不等式的解法步骤，能熟练解不等式并正确在数轴上表示解集。 3.利用不等式的解集求字母参数的值或范围，掌握“解集等价对应”的思想。 4.方程（组）与不等式的综合应用，能将方程（组）的解代入不等式求参数。 5.一元一次不等式的实际应用，能找准不等关系，将实际问题转化为数学不等式问题。 难点 1.含参数的一元一次不等式的求解，能根据参数系数的正负性进行分类讨论。 2.不等式的恒成立问题，掌握分类讨论的思路，能准确分析参数的取值范围。 3.方程组的解结合不等式求参数，能熟练用含参数的式子表示方程组的解，并代入不等式求解。 4.一元一次不等式的方案设计类实际应用，能筛选出符合条件的整数解并分析最优方案。 5.新定义与一元一次不等式的综合，能快速理解新定义并转化为常规的数学问题。 6.跨学科的一元一次不等式应用，能结合跨学科知识分析数量关系和不等关系。 【对应练习题】 一、单选题 1．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为， x与2的差的3倍可表示为， ∵该式子是非负数， ∴． 2．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 3．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 4．一元一次不等式去分母后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式去分母的操作，解题思路是找到两个分母的最小公倍数，将不等式两边同时乘以最小公倍数去掉分母，过程中注意不等号方向不变． 【详解】解： ， 去分母，得 ． 5．下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解与解集的概念，通过代入验证或解不等式即可判断各选项正误． 【详解】解：∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的解， A说法正确，不符合题意； ∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的一个解， B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，解得，不是， ∴C说法错误，符合题意； ∵不等式的整数解包括所有小于10的整数，有无数个， ∴D说法正确，不符合题意. 二、填空题 6．在0，5，，，3，，2中，__________是方程的解；__________是不等式的解；__________是不等式的解． 【答案】 5，，3，2 0，， 【分析】先通过解一元一次方程求出方程的解，再依据解一元一次不等式的步骤求出两个不等式的解集，最后从给定数集中筛选出符合条件的数即可． 【详解】解：解方程， 移项，得， 系数化为1，得， 因此在给定数中，是方程的解； 解不等式， 移项，得， 系数化为1，得， 在，，，，，，中，满足的数为，，，， 因此这些数是不等式的解； 解不等式， 移项，得， 系数化为1，得， 在，，，，，，中，满足的数为，，， 因此这些数是不等式的解． 7．若方程的解是非负数，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解题的关键是，直接求解，再令解大于等于，转化为一个一元一次不等式求解集的问题． 解方程得到的表达式，根据解是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 两边除以得． 由于方程的解是非负数，即， ． 去分母得， 移项得， 解得． 故答案为：． 8．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 9．若关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，解一元一次不等式． 将方程变形，用k表示x，根据解的非负性列出不等式，求解k的范围即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有________学生． 【答案】28 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、公倍数的应用，熟练掌握根据实际问题列不等式及求最小公倍数的方法是解题的关键． 设班级总人数为，根据题意表示出踢足球的学生人数．根据“踢足球的学生不足6人”列出不等式，求出的取值范围．结合必须是2、4、7的公倍数，求出满足条件的最小． 【详解】解：设该班有个学生． ， ∵， ∴， 是2、4、7的公倍数，且2、4、7的最小公倍数为28， ． 故答案为：28． 三、解答题 11．解不等式，并在数轴上表示它的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项并合并同类项，得， 该解集在数轴上表示为： （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为： 12．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 13．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． (1)求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元 (2)最多可以采购30个乙型玩偶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，找准等量关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元，再根据“销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元”列一元一次方程求解即可； （2）设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元， ，解得：， 所以． 答：甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元． （2）解：设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶， 根据题意得，，解得：． 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 14．某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 【答案】(1)每个篮球140元，每个足球80元 (2)21个 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据已知列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据总费用低于元列出一元一次不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元， 由题意可得， 解得， 每个篮球元，每个足球元； （2）设购买足球个，则购买篮球个， 由题意可得，解得， 为足球的个数，应为正整数， 的最小值为， 至少购买足球个． 15．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元一次不等式 知识点1：一元一次不等式的定义 1.定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2.标准形式：、、、（，、为常数）。 3.判定关键：同时满足“整式、单未知数、一次、系数非0”四个条件，缺一不可。 知识点2：一元一次不等式的解法 1.基本依据：不等式的基本性质（注意：不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向要改变）。 2.一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（步骤可根据不等式特点灵活调整）。 3.解集的数轴表示： 大于（）、大于等于（）：向右画；小于（）、小于等于（）：向左画； 含等号（、）用实心圆点，不含等号（、）用空心圆圈。 知识点3：一元一次不等式的特殊解 1.定义：在不等式的解集中，符合特定条件的解（如整数解、正整数解、负整数解、非负整数解等）。 2.求法：先求出不等式的解集，再根据条件筛选出符合要求的特殊解。 知识点4：一元一次不等式与方程（组）的综合 1.方程解代入不等式：先解出方程的解，将解代入不等式，求解字母参数的取值范围。 2.方程组解结合不等式：先解方程组（用含参数的式子表示解），将解代入不等式，求解参数范围。 知识点5：一元一次不等式的实际应用 1.解题步骤：审（找不等关系）→设（设未知数，不含不等词汇）→列（列一元一次不等式）→解（解不等式）→验（检验解集是否符合实际）→答（补全不等词汇）。 2.关键关键词：将“至少、最多、不小于、不大于、超过、不超过”转化为对应不等号（、、、、、）。 对比表格：一元一次不等式与一元一次方程 对比维度 一元一次不等式 一元一次方程 式子特点 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 表示关系 不等关系（、、、） 相等关系（） 解法步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（乘除负数变号） 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（无需变号） 解的个数 无数个解（解集） 唯一解 解的形式 /// 【基础必考题型】 【题型1】一元一次不等式的判定 1.核心知识点 一元一次不等式的定义； 整式与分式的区别、未知数次数与个数的判定。 2.解题方法技巧 逐一验证“整式、单未知数、一次、系数非0”四个条件； 排除含分式、多个未知数、未知数次数不为1的式子。 【例题1】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】利用定义求字母参数的值 1.核心知识点 一元一次不等式的定义； 绝对值的求解、系数非0的限制条件。 2.解题方法技巧 令未知数的次数=1，解出字母的可能值； 代入验证未知数的系数≠0，排除不符合的解。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）当________时，不等式是关于的一元一次不等式． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么_______． 【题型3】解一元一次不等式并在数轴上表示解集 1.核心知识点 一元一次不等式的解法步骤； 不等式的基本性质； 解集的数轴表示规则。 2.解题方法技巧 去分母时不要漏乘不含分母的项； 系数化为1时，若系数为负数，务必改变不等号方向； 数轴表示先定“方向”，再定“圆点类型”。 【例题3】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江台州·月考）解不等式，并把解在数轴上表示出来． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【题型4】求一元一次不等式的常规特殊解 1.核心知识点 一元一次不等式的解法； 正整数、负整数、非负整数等特殊解的定义。 2.解题方法技巧 先解出不等式的解集，再结合数轴筛选特殊解； 注意特殊解的“边界值”，做到不重不漏。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为_____． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山东潍坊·期末）写出不等式的一个负整数解___________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【培优高频题型】 【题型5】根据不等式的解集求字母参数的值/范围 1.核心知识点 一元一次不等式的解法； 解集的对应等价关系； 含参数的等式/不等式求解。 2.解题方法技巧 先解出含参数的不等式解集（用参数表示）； 将其与已知解集等价对应，列方程/不等式求参数； 注意解集边界值的“等号取舍”。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为_____． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【变式题5-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为___________． 【题型6】方程组的解结合不等式求参数范围 1.核心知识点 二元一次方程组的解法（加减消元/代入消元）； 一元一次不等式的解法； 用含参数的式子表示方程组的解。 2.解题方法技巧 解方程组，用含参数的式子表示x、y； 将x、y代入不等式，转化为关于参数的一元一次不等式求解； 若涉及、，可直接整体消元求解，简化计算。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·周测）若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为________． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7】不等式解集的包含关系求参数范围 1.核心知识点 一元一次不等式解法；解集的包含关系；参数的不等式求解 2.解题方法技巧 分别解出两个不等式的解集；根据“前解集是后解集的子集”列关于参数的不等式；注意边界值的等号取舍。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【变式题7-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知不等式的解都是关于x的不等式的解，求a的取值范围． 【变式题7-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）若关于x的方程的解是不等式的一个解，则m的取值范围为________． 【压轴素养题型】 【题型8】一元一次不等式的基础实际应用 1.核心知识点 一元一次不等式的实际应用步骤； 购物折扣、阶梯计费的数量关系分析。 2.解题方法技巧 抓住“折扣、满减、阶梯收费”等关键词，分析数量关系； 找准不等关系，将“不超过、至少、低于”转化为对应不等号； 检验解集是否符合实际（如数量为正整数）。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）骑行作为一种低碳环保的出行方式，正在逐渐改变着我们的生活．现有两家商场愿意购进一批某品牌自行车．如图为该自行车生产商和两家商场的对话，请你帮助该生产商解决问题． 【变式题8-1】.（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【变式题8-2】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽亳州·期末）某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如下表：若施甲种化肥每亩利润为（元），施乙种化肥每亩利润为（元），设该种农作物每千克单价（元），已知，施肥前每亩产量为． 化肥种类 化肥单价元 所需化肥数量/亩 每亩地增产 甲 5.2 40 150 乙 2.5 40 120 (1)求出，与之间的函数表达式． (2)选用哪种化肥合算？ (3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为__________． 【题型9】新定义与一元一次不等式的综合 1.核心知识点 一元一次不等式的解法； 新定义的理解与转化； 数形结合思想。 2.解题方法技巧 认真阅读新定义，将新定义转化为常规的数量关系； 根据转化后的关系列一元一次不等式，按常规步骤求解； 结合数轴辅助理解新定义中的数量关系。 【例题9】.（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【变式题9-1】.（21-22九年级上·浙江嘉兴·月考）定义一种运算：当时，；当时，．如， ．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（23-24八年级下·陕西西安·月考）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【变式题9-3】.（24-25八年级下·江西抚州·月考）在江西南昌中学八年级数学社团活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式．求绝对值不等式和的解集． 小江同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集． (1)请将小江的探究过程补充完整： ①确定的解集过程如下：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于3的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图1，所以，的解集是或________． ②再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于3的所有点所表示的数，并在图2数轴上用笔画线标明范围，所以，的解集为：________． ③经过大量特殊实例的实验，小江得到绝对值不等式的解集为________，的解集为________． (2)请你根据小江的探究过程及得出的结论，利用所学知识求绝对值不等式的解集． 易错点 1.判定一元一次不等式时，忽略“不等式两边为整式”，误将含分式的式子判定为一元一次不等式。 2.利用定义求参数时，只考虑未知数次数为1，忘记验证“未知数系数不为0”，导致多解。 3.解不等式去分母时，漏乘不含分母的常数项，导致解集错误。 4.系数化为1时，忽略系数为负数，未改变不等号方向，这是最常见的计算错误。 5.数轴表示解集时，混淆实心圆点和空心圆圈，含等号用空心、不含等号用实心。 6.实际应用中，设未知数时包含“至少、最多”等不等词汇，或检验时忽略实际意义（如数量为正整数）。 重点 1.一元一次不等式的定义判定，能准确区分一元一次不等式与其他不等式/等式。 2.一元一次不等式的解法步骤，能熟练解不等式并正确在数轴上表示解集。 3.利用不等式的解集求字母参数的值或范围，掌握“解集等价对应”的思想。 4.方程（组）与不等式的综合应用，能将方程（组）的解代入不等式求参数。 5.一元一次不等式的实际应用，能找准不等关系，将实际问题转化为数学不等式问题。 难点 1.含参数的一元一次不等式的求解，能根据参数系数的正负性进行分类讨论。 2.不等式的恒成立问题，掌握分类讨论的思路，能准确分析参数的取值范围。 3.方程组的解结合不等式求参数，能熟练用含参数的式子表示方程组的解，并代入不等式求解。 4.一元一次不等式的方案设计类实际应用，能筛选出符合条件的整数解并分析最优方案。 5.新定义与一元一次不等式的综合，能快速理解新定义并转化为常规的数学问题。 6.跨学科的一元一次不等式应用，能结合跨学科知识分析数量关系和不等关系。 【对应练习题】 一、单选题 1．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 4．一元一次不等式去分母后正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 二、填空题 6．在0，5，，，3，，2中，__________是方程的解；__________是不等式的解；__________是不等式的解． 7．若方程的解是非负数，则的取值范围是_________． 8．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 9．若关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围为______． 10．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有________学生． 三、解答题 11．解不等式，并在数轴上表示它的解集： (1)； (2)． 12．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 13．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． (1)求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 14．某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 15．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $