北京市第八十中学2024-2025学年高二下学期期末复习数学综合练习一

2026届高二下学期数学期末复习 综合练习一 北京市第八十中学2024-2025学年第二学期 高二数学综合练习一2025年5月 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（    ） A． B． C． D． 6．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（    ） A．60种 B．50种 C．40种 D．30种 7．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 10．设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 11．函数的定义域是 . 12．函数的最小值是 ，此时的值是 ． 13．已知，则实数 14．小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则E(X)=_____________,D(X)=_____________。 15．抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为 ． 16．已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 三、解答题共5小题，共70分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．已知集合，． （1）若时，求实数的取值范围； （2）若时，求实数的取值范围． 18．已知， (1)求的极值； (2)若函数存在两个零点，求的取值范围. 19．某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 20．已知 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且满足，求的值； (3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：； (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 试卷第24页，共25页 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二下学期数学期末复习 综合练习一 北京市第八十中学2024-2025学年第二学期 高二数学综合练习一 参考答案2025年5月 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.【答案】B 【详解】因为，，所以. 2.【答案】C 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 3.【答案】C 【详解】，在区间上单调递减，A选项错误； ，在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误； ，在区间上单调递增，C选项正确； ，在区间上单调递减，D选项错误； 4.【答案】B 【详解】因为，，， 所以. 5.【答案】C 【详解】六名同学选名同学，有种选法， 其中恰好选出一名男同学和两名女同学有种选法，所以， 6.【答案】D 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①选出的3人为2男1女，有种选法； ②选出的3人为1男2女，有种选法； 所以一共有种选法. 7.【答案】D 【详解】因为当时，恒成立，即恒成立，所以在上单调递增，因为是偶函数，所以的图象关于对称，因为，，，因为， 所以，即，所以． 8.【答案】A 【详解】设函数，其定义域为． 对求导，根据求导公式，可得． 因为，所以，则． 这表明函数在上单调递增． 当时，，即，移项可得． 所以由能推出，充分性成立． 当时，即． 因为，且在上单调递增，所以时，． 这说明当时，不一定有，必要性不成立． 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件． 9.【答案】D 【详解】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 10.【答案】C 【详解】当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为， 又因为函数的值域为R， 所以，解得， 当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为，与题意矛盾， 综上所述，a的取值范围是. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 11.【答案】 【详解】为了让函数的表达式有意义，需要. 解得，所以函数的定义域是. 12.【答案】 【详解】，， 当且仅当即时，等号成立.故函数的最小值为4，此时； 13.【答案】 【详解】因为 ，所以，故. 14.【答案】E(X)=4.8,D(X)=1.92 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 15.【答案】 【详解】甲投掷股子可能出现的点数为：， 乙投掷股子可能出现的点数为：， 则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）： ，，一共有18种情况， 乙不小于甲骰子点数的情况有：， ，一共有12种， 则在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为. 16.【答案】①③④ 【详解】取，得，因为， 所以，使得关于直线对称；故①对；由， 所以， 若， 当时，令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以 在单调递减， 当时，令，则， 所以 在单调递减， 所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对， 如图    若，则当函数与直线的图象相切时， 设切点横坐标为，此时，则， 得到方程组，化简得，易得， 则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示， 则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， 三、解答题共5小题，共70分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17.【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）由题意得， ∴， ∴的取值范围为． （2）， i）时，则有，∴， ii）时，则， ∴的取值范围为． 18.【答案】(1)极大值为，无极小值； (2). 【详解】（1）令且，则， 当时，当时， 所以在上递增，上递减， 故的极大值为，无极小值. （2）由题设，有两个根，即与有两个交点， 由（1）知：在上递增，上递减， 在上，在上，且当趋向正无穷时趋向于0， 综上，只需，即. 19.【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)11月6日 【详解】（1）设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多， 所以； （2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天； 的所有可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 ； （3）由频率分布直方图知，步数在各个区间的人数如下， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 因为甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲走的步数在区间内，乙走的步数在区间内， 符合的只有11月6日这一天， 所以这是11月6日的数据. 20.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 所以， 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为， 所以， 因为有两个极值点， 所以有两个大于0的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得， 又因为， 即有， 整理得， 代入， 可得，解得， 又因为，所以可得， 经检验，符合题意． （3）由(2)可知且，从而， 因为在上恒成立， 令， 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，对称轴， ①当时，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． ②当时，， 所以有两个不等实根（不妨设）， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 综上，的取值范围是． 21. 【详解】（1）①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . （2）不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3）由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设为的一个4元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则由，与结论*矛盾. 如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为5. 试卷第24页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $