精品解析：北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

高二第二学期期末试卷 数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】集合，，所以. 故选：A 2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法运算计算即得. 【详解】由复数的共轭复数是，得， 则， 所以复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D 3. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 4. 设，若，则（ ） A. 80 B. 40 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 5. “一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知截取第n次后，剩余的棍棒长为尺, 然后列不等式可求出n的值. 【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺， 则第n次剩余的棍棒长为尺， 由，解得， 所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时,需要截取的最少次数为7. 故选: C. 6. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离， 再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由，可得圆心，半径， 又， 当且仅当时，等号成立， 此时， 由等面积可得点到直线的距离， 又点到直线的距离， 解得，， 因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件. 故选：C. 7. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：B 8. 将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】现根据平移得到的表达式，再由，可知在处，一个取最小值，一个取最大值，且相邻，进而可以列出等式，求解即可. 【详解】的图象向左平移个单位后得到， 因为， 所以在处，一个取最小值，一个取最大值， 不妨设，， 则， 因为，则，解得. 故选:. 9. 边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，根据二面角的定义，余弦定理，可得是两腰为1，底边为的等腰三角形，从而可得旋转体为两个同底面的圆锥组合体，将该旋转体的内切球的半径再转化为其轴截面菱形的内切圆的半径，最后根据等面积求出，即可得到该旋转体的内切球的表面积. 【详解】由边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角， 则可得，，，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 又为的中点，为的中点，为的中点， 则可得,, 过作于点，连接， 则，平面， 又平面， 又，，，, ， 在中，， 又， ， 将绕直线旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体， 作出其轴截面，如图， 则该轴截面中和为边长为1的等边三角形， 该旋转体的内切球的半径即为菱形的内切圆的半径， 由等面积法，则， 即，则， 因此该旋转体的内切球的表面积为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于得到旋转体为两个同底面的圆锥组合体，其次把求旋转体的内切球的半径，转化为求轴截面菱形的内切圆的半径. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 10. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由全概率公式求解可得. 【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”， 事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”， “居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”， 则，且互斥，， 由题意可知，，， 且，， 由全概率公式可知 ， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为. 故答案为：. 11. 设函数，若的最小值为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合反比例函数性质求的函数值的范围，结合条件及对数函数的定义域及单调性列不等式求. 【详解】当时，， 由反比例函数性质可得，当时，， 所以当时，，故， 又函数在上单调递增， 故当时，的函数值的最小值为， 因为的最小值为， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 14. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论： ①函数在无数个点处的曲率为1； ②函数的曲率恒为； ③函数的曲率半径随着变大而变大； ④若函数在与（）处的曲率半径相同，则. 其中，所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据给定的定义，求出各个命题中的，由有无数个解判断①；计算判断②；利用导数探讨函数单调性判断③；由有两个不等正根，构造函数结合极值点偏移推理判断④. 【详解】对于①，，则，当时，， 因此函数在无数个点处的曲率为1，①正确； 对于②，，，则，，②正确； 对于③，，则函数的曲率半径， 令，求导得， 由，得，当时，， 则函数在上单调递减，函数在上单调递减，③错误； 对于④，，则函数的曲率半径， 依题意，，令，则方程有两个不等正根， 即直线与函数的图象有两个交点，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为， 因此当时，方程有两个不等正根，不妨令， 令函数，求导得 ， 函数在上单调递增，，即， 令，则，，又函数在上单调递增， 因此，即，④正确， 所以所有正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在五面体中，平面，平面. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、线面平行的判定性质推理即得. （2）结合已知可得直线两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再利用线面角的向量求求解即得. 【小问1详解】 由平面，平面，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 令，则，有， 于是，由已知得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数，其中，，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. （1）求，的值； （2）当时，函数恰有一个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）条件①结合的单调性比较大小可知不符合要求；条件②③结合函数的对称性与周期关系待定，再由最值点代入求即可； （2）整体换元转化为函数与的图象在上恰有一个公共点，结合图象可得. 【小问1详解】 . 由，则周期为，且最大值为，最小值为. 由在上单调递减，且， 得的图象关于直线对称，所以在单调递增. 条件①由在单调递增，， 得， 故， 这与最小值为矛盾，故不选条件①； 选择条件②：在上单调递减，且，， 则，所以，解得， 所以， 由得，故，解得， 故； 选择条件③：在单调递增，由知关于对称， 由，则关于对称，且与为相邻的对称轴， 故，所以，解得， 所以， 由得，故，解得， 故； 【小问2详解】 函数恰有一个零点， 即与的图象在上恰有一个公共点. ,， 设，， 要使与的图象在上恰有一个公共点， 则，即. 17. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； （2）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率； （2）结合超几何分布可求的分布列和数学期望； （3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试. 【小问1详解】 由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. 【小问2详解】 参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. 【小问3详解】 记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 18. 已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 【答案】（1）; （2）1 【解析】 【分析】（1）由题可知，再由条件两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形可知，结合求解，进而得到椭圆方程和离心率. （2）设直线的方程，联立直线和椭圆，由韦达定理得到两根的关系；根据平行得到斜率相等，可以写出直线的方程，进而得到的坐标，联立直线得到点的坐标，发现纵坐标之间的关系即可. 【小问1详解】 依题意得， 解得, 所以椭圆C的方程为，离心率. 【小问2详解】 由于，所以直线l的斜率不为0. 设直线l的方程为:,， 联立，消去并整理得， 其中， 所以， 对于直线l的方程，令，得， 所以点M的坐标为， 由于直线的斜率为， 直线直线,所以， 从而直线的方程为， 令，有 将代入，得， 于是点N的坐标为 由于直线的斜为， 所以直线的方程为, 因为， ， 即 即， 其中， 所以， 于是有， 从而得 即点的坐标为， 因为 其中分子为 将和代入,有， 因此有 即， 即点为点和点的中点， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出的坐标，进而发现纵坐标之间的关系. 19. 已知函数，其中. （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若对于任意，都有，求的值. 【答案】（1）增区间是，减区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，由题意得求出，检验可得； （2）先将“不等式恒成立”问题等价转化为“恒成立”问题，再构造函数，由与，分三类探究即可. 【小问1详解】 ，由，函数定义域为. 则， ∵在处取得极值， ∴， 设，则在单调递减， 至多一个实数根，又， 方程有且仅有一个实数根. 当时，，其中. ， ， 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 所以在处取得极大值，极大值为. 故的增区间是，减区间是； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为， 即任意时，都有，满足题意. 由，得， 令，则，不等式转化为， 即在恒成立. 设，其中， ，其中， ①当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递减， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； ②当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； 综上所述，若对于任意，都有，则. 【点睛】已知不等式恒成立求参数问题，我们可以先取定义域内的一个或几个特殊点探路.如题目第（2）问中得到，由恒成立，考虑，再借助与的大小分类讨论求解即可. 20. 已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作. （1）设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； （2）求所有的整数，使得存在数列满足； （3）设数列与数列满足，，，.证明：. 【答案】（1）.（答案不唯一）； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列举可求，举例数列满足即可； （2）法一，按集合中最大最小元素的符号进行讨论，分最小元素、最大元素、三类讨论满足题意条件的可能性，再对有可能的取值举例验证； 法二，先对可能的取值举例，再对其他情况用反证法证明其不符合要求； （3）利用等式与不等式的性质得，结合放缩法对比两相等集合确定，再转化为，进而分析出，故得证. 【小问1详解】 数列，所有连续可表数构成的集合， 则；， 则. 令数列，所有连续可表数构成的集合， 设， 则，故， 数列是一个与不同的数列，且满足； （其他参考答案：； .答案不唯一） 【小问2详解】 若数列满足，不妨设. 假设数列只有两项，则中至多3个元素， 这与中有4项矛盾，故假设错误， 所以数列至少3项，即. ①当时，由， 得，且， 解得，所以，又，所以，即； ②当，即时，由， 得，且， 解得，所以，又，则； ③当时，由，. 综上所述，可能的取值有. 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 综上所述，满足题意所有的整数有； 法二：当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，假设满足， 得， 则且中存在某项或连续若干项的和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾， 故不存在数列满足； 当时，假设满足， 则，且， 中存在若干连续的项和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾. 故不存在数列满足. 综上所述，满足题意所有的整数有； 【小问3详解】 ，， 由题意可知中最小和最大元素分别为和； 中最小和最大元素分别为和. 因为，所以， 故， 由，则， 因为，由，所以， 又，是连续项之和中最大的连续可表数. 故中比大，且比小的元素只可能是 连续项之和或， 由，， 又 ， 所以. 即， 则，由知，而， 所以，故. 故得证. 【点睛】关键点点睛：该题目属于数列与集合综合考查的新定义题型，解答关键有三点： 一是对新定义的透彻理解，理解连续可表数的定义，核心就是数列连续几项（可以是一项）之和；二是由集合中最大元素与最小元素与数列中最大（小）项及所有项之和之间关系的分类讨论；三是两集合相等条件的转化，最大与最小元素必对应相等，再由不等式，结合数列的正项有序性，利用放缩法与不等式的性质确定两元素的相等关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第二学期期末试卷 数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 4. 设，若，则（ ） A. 80 B. 40 C. D. 5. “一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 8 D. 9 8. 将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（） A. B. C. D. 9. 边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 10. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 11. 设函数，若的最小值为，则的值为______. 12. 已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________. 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________. 14. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论： ①函数在无数个点处的曲率为1； ②函数的曲率恒为； ③函数的曲率半径随着变大而变大； ④若函数在与（）处的曲率半径相同，则. 其中，所有正确结论的序号是_____________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在五面体中，平面，平面. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数，其中，，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. （1）求，的值； （2）当时，函数恰有一个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； （2）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 18. 已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 19. 已知函数，其中. （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若对于任意，都有，求的值. 20. 已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作. （1）设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； （2）求所有的整数，使得存在数列满足； （3）设数列与数列满足，，，.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $