精品解析：河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期一模检测数学试题

2025-2026学年高三下学期一模检测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即 为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即 为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为 ，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则 ，解得. 故选：B. 2. 设函数，若对任意都有，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域，比较和的两个根的大小， 即可讨论得，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】由于，令，则，令则， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，此时，所以， 当， 取等号，故的最大值为， 故选：B 3. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：   点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 4. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 【答案】B 【解析】 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 6. 已知复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解． 【详解】由，可得, 所以的虚部为， 故选：C 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理求A的值，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简即可得出结果. 【详解】由余弦定理及，得，即，所以， 所以. 故选：D. 8. 已知函数是奇函数，是 的导函数，且 满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，可判断函数的周期性，可判断A的真假；对函数求导，分析的奇偶性、周期性和对称性，可判断BCD的真假. 【详解】由，则， 又函数是奇函数，则，， 因此可得，即函数 的周期为2， 由，则， 所以，故A正确； 由函数是奇函数，则， 两边求导，得， 又是 的导函数，则，故B正确； 由，则，即，故C正确； 由，得为的对称轴，即， 两边求导得：. 令，得 ，即. 而，由， 得，则为的对称轴，的值不一定为0，故D不正确 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，且，则 C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据二项分布的方差计算公式求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性求解；对于C，先把数据从小到大排列，8个数中的第3个数即为结果；对于D，根据方差的计算公式求解. 【详解】对于A，随机变量，，则，故A正确； 对于B，随机变量，且，则根据正态分布曲线的对称性可知，故B正确； 对于C，依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5，6，7，7，8，9， 8，8，第30百分位数是7，故C错误； 对于D，依题意，设50名男生为，50名女生为， 则，， ，， 这100名学生的平均成绩， 这100名学生数学成绩的方差，故D错误. 故选：AB. 10. 对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据确定出，然后分类讨论，，，或 时的结果，由此确定出的解析式.由对数的运算法则可判断A和B；根据小于梯形的面积可判断C；取特殊值可判断D. 【详解】由题意，所以. 当时，； 当时，； 当时，； 当或 时，也成立. 综上所述，. 对于A，，， 所以，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，故B正确； 对于C，如图， 因为， 所以， 即，故C错误； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据和分类讨论确定的解析式. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形 的面积为，点的轨迹为曲线.则（ ） A. 圆与没有公共点 B. 曲线与没有公共点 C. 上存在三点、、，使得 为等边三角形 D. 在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，根据四边形 的面积为求出点的轨迹方程，将曲线的方程与圆的方程联立，判断公共解的个数，可判断A选项；将曲线的方程以曲线的方程联立，判断公共解的个数，可判断B选项；取点，取直线的方程为，取直线 的方程为，将直线方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可判断C选项；写出切线方程，将切线方程与方程联立，利用三角形面积公式并结合韦达定理可判断D选项. 【详解】易知，又因为 ，，则四边形 为矩形， 设点，则，， 矩形 的面积为，可得， 故曲线的方程为， 对于A选项，联立可得或， 所以，曲线与圆有个公共点，其坐标分别为、、、，A错； 对于B选项，联立可得，该方程无解， 所以，曲线与没有公共点，B对； 对于C选项，不妨取点，取直线的方程为， 取直线 的方程为， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 由平面内两点间的距离公式可得， 同理可得，此时， 为等边三角形，C对； 对于D选项，设为双曲线 上一点， 先证明出双曲线 在点处的切线方程为， 联立可得 ，， 所以，双曲线 在点处的切线方程为， 易知，直线、的方程可视为， 设点、，联立可得， 由韦达定理可得， 所以，， 因为点关于直线的对称点为，则， 所以，曲线关于直线对称， 由对称性可知，当点在曲线上时，的面积也为定值，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 记为等差数列的前n项和．若，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可. 【详解】因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 13. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 【答案】 ①. 36 ②. ## 【解析】 【分析】根据题意有两名志愿者去同一场馆，进而根据排列组合分组分配问题得共有（种）分配方法；再结合的可能取值为1，2，求解对应概率计算期望即可. 【详解】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者， 故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中, 故共有（种）分配方法. 的可能取值为1，2，且，， 所以. 14. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由得到 的图像的对称轴，由的图像得到此函数的对称轴，由函数与的图像有6个交点，得到3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，从而得到所求． 【详解】由知 的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） ，12.4万台 （2）（ⅰ） 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联； （3） 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 年份代码的平均数 ，销量的平均数 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为 ， 由于2027年对应的年份代码为，得 ， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． 【小问2详解】 （ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问3详解】 从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 17. 在平行四边形中（如图1）， ，为的中点，将等边 沿折起，连接， ，且 （如图2） （1）求证： 平面 ； （2）点在线段 上，若点到平面 的距离为，求平面 与平面 所成角的余弦值． 【答案】（1）连接 ，在 中，∵ ，， ∴， 在 中，∵，∴ ， 同理可得 ，∵ ， 平面 ， ∴ 平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得 ， ，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得 平面 ，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面 和平面 的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为的中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ， 又∵平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，∴以点为坐标原点， 为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ ， 设平面 的法向量为， ∵ ， ， 取，∴ ， ∴设， ∵ ，∴ ， 设点到平面 的距离为， ∴，∴， ∴是线段 上靠近点的三等分点，易求平面 的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， ∵ ， ， 取 ，∴ ， 设平面 与平面 所成的角为， ∴． 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. （1）求的方程. （2）过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且 的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线 与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）或；（ii）在一条定直线上，定直线方程为. 【解析】 【分析】（1）根据外接圆面积的最小值即可得到，解出，再根据关系即可得到椭圆方程； （2）（i）设的方程为 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得的值，再根据点到直线距离得到三角形的高，从而得到关于的方程，解出即可； （ii）分别写出直线 的方程，相除后，再根据韦达定理中和积关系代入计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，则直线与没有公共点． 由题可知外接圆的圆心在轴上，且当的外接圆与直线相切时， 外接圆的半径最小． 因为外接圆面积的最小值为，所以，得， 则， 则的方程为． 【小问2详解】 （i）设的方程为． 由得，， 则． 因为的斜率为1，所以. 设，则点到的距离． 因为 的面积为，所以， 解得或 ，则点的坐标为或． （ii）在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，则，， 则直线 的方程为，直线的方程为， 两式相除得． 若的斜率存在，则由， 可得，则， 则， 即，解得. 若的斜率不存在，令，则，解得， 则设，而， ，， 则直线 与的方程分别为和， 联立，解得，则两直线交点， 故在一条定直线上，且该直线的方程为． 19. 已知函数，． （1）证明：当 时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 【答案】（1） 因，则， 当 时，，所以在上单调递减， 所以，故当 时， ． （2） （3） 由（1）知，当 时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为 在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和 三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当 时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时， ，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若 ，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期一模检测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2. 设函数，若对任意都有，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数是奇函数，是 的导函数，且 满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，且，则 C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80 10. 对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形 的面积为，点的轨迹为曲线.则（ ） A. 圆与没有公共点 B. 曲线与没有公共点 C. 上存在三点、、，使得 为等边三角形 D. 在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 记为等差数列的前n项和．若，，则______． 13. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 14. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在平行四边形中（如图1）， ，为的中点，将等边 沿折起，连接，，且 （如图2） （1）求证： 平面 ； （2）点在线段上，若点到平面 的距离为，求平面 与平面 所成角的余弦值． 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是的右焦点，是直线上的动点，且外接圆面积的最小值为. （1）求的方程. （2）过点，且不与轴重合的直线与交于，两点. （ⅰ）若的斜率为1，且 的面积为，求点的坐标. （ⅱ）设直线 与交于点，试判断是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 19. 已知函数，． （1）证明：当 时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $