精品解析：湖南岳阳市第一中2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题

数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分） 1. 已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知全集，，则（ ） A B. C. D. 3. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 52个 C. 60个 D. 120个 6. 在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ） A. 11 B. 14 C. D. 7. 已知双曲线：左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 8. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，错选0分，部分选对得部分分） 9. 给出下列结论，其中正确结论是（ ） A. 函数最大值为 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 若的图像是一条连续曲线，且，则在内没有零点 D. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. C. 图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题（每小题5分） 12. 设双曲线，的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为______. 13. 已知圆锥的内切球半径为，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为___________． 14. 若对一切恒成立，则的最大值为__________. 四、解答题 15. 已知内角所对的边长分㓩为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； （2）已知有三个不同的零点.求的取值范围． 17. 已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围． 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为．已知； （1）若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； （2）在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为． （ⅰ）若，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长． 19. 在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） （1）求的方程； （2）若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； （3）已知，两点在曲线上，，，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分） 1. 已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，结合共轭复数的概念即可求得答案. 【详解】由题意可得， 因为z与互为共轭复数， 所以，即z的虚部为1， 故选：A. 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据排列数公式求出集合，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，根据排列数公式，可得，即，解得. 又因为，且，所以，即. 已知全集，根据补集的定义，可得. 故选：C. 3. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线与直线互相垂直，所以或.再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以， 所以或. 因为“”可以推出“或”，“或”不能推出“”， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】由， 求导可得：， 令，可得：， 故选：B 5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 52个 C. 60个 D. 120个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，分类讨论，求出结果. 【详解】由题意可知，分为两种情况： 情况一：个位是0，则有不同的结果个； 情况二：个位不0，则有不同结果个； 所以共有个； 故选：B. 6. 在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ） A. 11 B. 14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． 7. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 8. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得. 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，错选0分，部分选对得部分分） 9. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 若的图像是一条连续曲线，且，则在内没有零点 D. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接由指数复合函数的值域即可判断；对于B，直接由对数复合函数单调性列出不等式组判断即可；对于C，由零点存在定理的相关知识点举出反例即可判断；对于B，首先得出直接的关系与符号，再将分式不等式等价转换为相应的一元二次不等式即可. 【详解】对于A，由于，所以，等号成立当且仅当，故A错误； 对于B，由于，所以关于在上是减函数， 若要使函数（且）在上是减函数， 则由复合函数单调性单调性可知函数关于在定义域内单调递增， 所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是，故B正确； 对于C，不妨设，满足的图象是一条连续曲线，且， 但在内有一个零点即，故C错误； 对于D，由题意，所以， 从而， 即关于的不等式的解集是，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】结合图像得出周期，求出判断B；根据图像以及周期得出一个单调区间，即可判断A；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则，故B正确； 由图像可得，，则恰好在区间单调递减， ，则恰好在区间单调递增，故A错误； 因在取得最大值，则， 得， 因，则，， ，C正确； ， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式计算的结果；作图得到截面；空间向量法计算线面所成角的正弦值；先求得三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积； 【详解】对于A，连接，因，平面，平面， 所以平面， 又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故A正确； 对于B，如图，延长交延长线于点，连接交于点，连接， 四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，故，则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又，故C正确． 对于D，如图所示，连接，取的中点为，连接， 设外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，连接， 在中，设其外接圆半径为，由正弦定理知， ，所以，即， 依题易得，故， 且和同对弦，故四点共圆， 则，设外接球半径为，过作，交于， 由正方体性质知平面，而平面，则， 又平面，则，所以矩形，则， 则在中，，即，①， 在中，，即②， 联立①②，解得，，故外接球的表面积为，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题（每小题5分） 12. 设双曲线，的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程可得，进而可得，结合双曲线的性质可得，即可得渐近线方程. 【详解】由双曲线可知，，， 则，可得， 且，即，解得， 由双曲线可知焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 13. 已知圆锥的内切球半径为，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图扇形弧长可构造方程求得，利用圆锥轴截面面积可构造方程求得的值，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 圆锥侧面展开图为半圆，侧面展开图扇形弧长为，解得：； 作出圆锥的轴截面如下图所示，其中为圆锥内切球球心， ，， 又，，解得：，， 圆锥体积. 故答案为：. 14. 若对一切恒成立，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 四、解答题 15. 已知内角所对的边长分㓩为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A； （2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，则. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； （2）已知有三个不同的零点.求的取值范围． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）分段求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合已知列式求解. （2）由函数零点的意义分离参数，构造函数，分类讨论，利用导数探讨函数性质即可； 【小问1详解】 由题意得：函数， 求导得， 则， 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 则，即，所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，由，得， 令函数，则 求导得， 当或时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极大值， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 而，当时，恒有， 又有三个零点，则， 所以的取值范围为. 17. 已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求解，将题干条件变形求得，然后按照等比数列的定义及通项公式求解即可； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和即可； （3）参变分离得恒成立，设，利用作差法研究其单调性，即可求解． 【小问1详解】 因为数列的前项和为， 当时，， 当，时，， 也满足上式，所以； 因为，所以， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，所以； 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ，所以， 当为偶数时，， 记， 则， 所以． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 所以恒成立，即求的最大值， 设， ， 所以单调递增，又，所以，所以． 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为．已知； （1）若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； （2）在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为． （ⅰ）若，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解； （2）（i）设，先证明平面，可得，结合题设易得，可得，建立空间直角坐标系，结合空间向量求解即可； （ii）设，设平面OBC与平面GPQ夹角为，利用空间向量表示出，令，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故. 19. 在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） （1）求的方程； （2）若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； （3）已知，两点在曲线上，，，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解动点轨迹方程即得； （2）解法一：根据与的面积相等结合图形推出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，即可求出点坐标；解法二：设，列出直线的方程，令求得，分别表示出和的面积，利用面积相等推得，将其代入椭圆方程即可求得点坐标. （3）设，，，当或斜率不存在时，易推出，当或斜率存在时，设，，利用直线与圆相切可推得，将直线与椭圆方程联立，求得，同法，即得，由条件求出和，可得，设线段的中点为，由，即得线段的中点在定圆上. 【小问1详解】 依题意，设，则， 因为在上，则有，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 解法一： 设，则，， 因为与的面积相等，则与的面积相等，则有， 又，，所以，故直线的方程为. 由解得，即，， 则点的坐标为. 解法二：设，则，，则直线的方程为， 令，得，即， 则的面积为， 的面积为， 所以， 即，即，即， 由，解得，所以，， 则点的坐标为. 【小问3详解】 如图，设，，， 则当或斜率不存在时，的半径. 又因为，所以， 从而与轴相切，故，必分别为的长轴和短轴的一个端点，所以. 当且斜率存在时，设，， 则，即. 同理，. 所以. 由得. 同理，.又，所以. 设关于直线对称点为，则所以，， 所以，又易知，所以. 设线段的中点为，则因为，所以， 所以线段的中点在定圆上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $