精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2025年高二下学期数学入学试题 一、单选题（共40分） 1. 抛物线y2＝x的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（ ） A. B. C. D. 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. 10 B. 12 C. D. 4. 在三棱柱中，若，，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共15分） 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为单调递增数列 C. 数列等比数列 D. 10. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（ ） A. 离心率为 B. 焦距为 C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为1 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为1 三、填空题（共25分） 12. 双曲线渐近线方程为__________. 13. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，点在椭圆上，则 ______． 14. 已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为______. 15. 若数列满足，则__________. 16. 设是空间中两两夹角都为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标. （1）若，且，则__________； （2）若，则三棱锥表面积为__________. 四、解答题（共70分） 17. 某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为180的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题： （1）算出第三组的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表） 18. 已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题 （1）若“且”是真命题，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 19. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线：与圆交，两点，且，求. 20. 已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 21. 已知数列满足，且点在直线上. （1）求数列通项公式； （2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值. 22. 在三棱台中，平面，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高二下学期数学入学试题 一、单选题（共40分） 1. 抛物线y2＝x的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标. 【详解】由y2＝x知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为， 故选:B． 【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下： 的焦点坐标 ,准线方程； 的焦点坐标 ,准线方程. 2. 已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】,所以, 所以, 故选：B 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. 10 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式求得结果. 【详解】记，则，， ， ． 故选：A. 4. 在三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题可知. 故选：D 5. 已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解. 【详解】设是平面的一个法向量， 则由题设，即 令，可得， ，所以 ， ， ，， ， 故点到平面的距离为 故点到平面的距离为， 故选：D． 【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离 设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为 6. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 8. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由得到，当直线的斜率为0时不合要求，当直线的斜率不为0时，设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而列出方程，得到，求出直线的斜率. 【详解】由题意得：， 因为，则， 设，则， 当直线的斜率为0时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不合要求， 当直线的斜率不为0时，设， 则联立与抛物线方程，得， 则， 因为，故， 所以，解得：， 故直线l的斜率为. 故选：C． 二、多选题（共15分） 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为单调递增数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用的关系求出可判断AD；利用等比数列的定义可判断C；由首项及公比可判断B. 【详解】∵，∴，故A正确； 当时，， ∴，也适合， ∴，故D错误； ∵，∴数列是公比为3的等比数列，故C正确； ∵，公比大于1，∴数列为单调递增数列，故B正确. 故选：ABC. 10. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（ ） A. 离心率为 B. 焦距为 C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可. 【详解】双曲线，可得，，， 则双曲线的离线率为，故A正确； 焦距，故B错误； 渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确； 焦点到渐近线的距离为，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线位置关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断C；根据空间距离的向量求法可判读D. 【详解】对于A，连接，则平面，平面， 平面平面，故不相交； 又，,平面， 故不平行，否则重合，不合题意， 即为异面直线，故，，，四点不共面，A错误； 对于B，以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 则，即，故，B正确； 对于C，，则, 故， 而直线与所成角的范围为，故直线与所成角的余弦值为，C错误； 对于D，， 则点到直线的距离为，D正确， 故选：BD 三、填空题（共25分） 12. 双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程. 【详解】由双曲线，可得， 所以双曲线的焦点在轴上的渐近线方程为：. 故答案：. 13. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，点在椭圆上，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得，，的值，可知为椭圆的焦点，由正弦定理可得，再由椭圆的定义可知，进而求出它的值． 【详解】由椭圆的方程可得，，所以， 所以可得为椭圆的焦点， 由椭圆的定义可知， 在中，由正弦定理可得． 故答案为：． 14. 已知圆，直线，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质，得到四边形面积，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 则四边形面积， 要使得四边形面积的最小值，只需最小， 由圆心到直线的距离为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 15. 若数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推关系求得周期为3，运算得解. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是周期为3的数列，故. 故答案为：. 16. 设是空间中两两夹角都为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标. （1）若，且，则__________； （2）若，则三棱锥的表面积为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算和坐标系中坐标的定义，解出即可； （2）由题意，三棱锥为棱长为2的正四面体，利用面积公式求表面积即可. 【详解】（1）若，且，有，则； （2）依题意，，两两夹角为，且模都是2，则三棱锥是正四面体，则表面积. 故答案为：1； 四、解答题（共70分） 17. 某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为180的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题： （1）算出第三组的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表） 【答案】（1）27（人），作图见解析；（2）众数为75分，中位数75分，平均数为73.5分． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质结合图形即可求解； （2）根据由频率分布直方图计算众数，中位数，平均数的方法求解即可 【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为： ， 所以第三组的频数为（人）， 完整的频率分布直方图如图， （2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为75分； 因为，， 所以中位数位于上， 所以中位数的估计值为：； 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为： （分）． 所以，样本的众数为75分，中位数75分，平均数为73.5分． 18. 已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题 （1）若“且”是真命题，求的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出 试题解析：（1）若为真： 解得 若为真：则 解得 若“且”是真命题，则 解得 （2）由是的必要不充分条件，则可得 即 （等号不同时成立） 解得 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 19. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线：与圆交，两点，且，求. 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； (2)求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出. 【小问1详解】 因为圆半径， 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设圆心到直线：的距离为， 则， 由垂径定理可得， 即，解得或. 20. 已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由渐近线为可得，根据焦点到渐近线的距离是，求出c，利用双曲线中即可求得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算． 【小问1详解】 解：由题知，， 设右焦点，取一条渐近线， 则焦点到渐近线的距离， ，从而， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：设，， 由，得， 则，， 所以， 则中点坐标为， 代入圆，得， 所以． 21. 已知数列满足，且点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由题设易得为等差数列，即可求其通项公式； （2）对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和，将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得. 【小问1详解】 点在直线上，得， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列． 故，即． 【小问2详解】 ， 所以 即，因 ，故， 故要使对恒成立，需使，即， 又，所以的最小值为5. 22. 在三棱台中，平面，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 取的中点，连接，，得为的中位线， ，且． 由于∽，， 故，而，，则，， 四边形为平行四边形，． 又平面，平面， 平面． 小问2详解】 如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面一个法向量为， 由，得， 令，则可取． 平面平面的法向量可取为． 设平面与平面的夹角为，, 则， 平面与平面的夹角余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$