解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年数学七年级下册（六大板块）

解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年 人教版七年级下册（六大板块） 板块一：对顶角、邻补角、垂直的计算 1.已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB． (1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　． (2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　． (3)求∠EOD的度数． 2.如图，直线AB，CD相交于点O，，OF平分，若.求的度数. 3.如图，已知直线与相交于点O，是的平分线，于O，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 4.如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 5.如图，点O在直线上，与互补，    (1)若，，求的度数； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示）． 板块二：平行线的判定 1.如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？ 2.如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由． 3.如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由． 4.如图，已知，，，求证：ab． 5.已知：，，求证：． 6.如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC． 板块三：平行线的判定与性质的运用（书写过程） 1.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知） ∴∠1＝∠2（ 　 　）； ∴AC∥BD（ 　 　）； 又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知）， ∴　 　（垂直的定义）； ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ 　 　）； 即∠　 　＝∠　 　； ∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）． 2.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 3.完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 4.请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：AB∥CD． 证明：∵MP平分∠NMQ， ∴∠NMP＝∠PMQ（ 　） ∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ， ∴∠AMN+　 　＝　 　+∠PMQ． ∵∠AMB＝180°， ∴∠AMP＝90°， ∵MP⊥直线CD， ∴∠MPD＝90°（　 　）． ∴AB∥CD（　 　） 5.如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 板块四：平行线的判定与性质的运用（计算与证明） 1.如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2． (1)求证：； (2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数． 2.已知：如图，． (1)求证：； (2)求的度数． 3.如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且． (1)求证：； (2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由． 4.如图，已知，，． (1)求证：； (2)求证：． 板块五：平行线的判定与性质综合（角度之间的关系） 1.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． （1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？ （2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 2.如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间： (1)图甲中，容易求得，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系； (2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明； (3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系． 3.如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余． (1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明． (2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系． 4．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 板块六：平行线的判定与性质综合（三角形旋转问题） 1．【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：    【问题解决】 (1)①若，则的度数为______度； ②若，则的度数为______度； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 3．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】 解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年 人教版七年级下册（六大板块） 板块一：对顶角、邻补角、垂直的计算 1.已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB． (1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　． (2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　． (3)求∠EOD的度数． 【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD (2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD (3)140° OE＝x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果． （1） 解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． 故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． （2） 图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠BOE=180°， ∴∠COE+∠BOE=180°， ∴∠EOC和∠EOB互补， ∵∠COE+∠EOD=180°， ∴∠AOE+∠EOD=180°， ∴∠AOE和∠EOD互补． 故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD． （3） ∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC＝∠AOE， 设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，由平角定义得， x+x+x＝180°， 解得：x＝100° ∴∠EOC＝∠AOE＝（180°﹣100°）＝40°， ∴∠DOE＝100°+40°＝140°， 答：∠EOD的度数为140°． 2.如图，直线AB，CD相交于点O，，OF平分，若.求的度数. 【答案】65° 【详解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°， ∴∠FOD=∠AOF=∠AOD=25°， ∵OE⊥CD， ∴∠EOD=90°， ∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°． 3.如图，已知直线与相交于点O，是的平分线，于O，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：是的平分线， . ， ， ； （2）解：于O， . ， ， ． 4.如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 【答案】(1)的邻补角是的余角是 (2)见解析 【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是； ∵， ∴， ∴的余角是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 5.如图，点O在直线上，与互补，    (1)若，，求的度数； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 板块二：平行线的判定 1.如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？ 【答案】BEDF，见解析 【详解】解：BEDF， ∵， ∴∠ABC=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∵，， ∴∠1=∠4， ∴BEDF． 2.如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【详解】解：；理由如下： ∵是它的补角的3倍， ∴设，则的补角为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3.如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【详解】解：平行， 理由如下： ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°， ∴∠1+∠CAE=90°， ∵∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°， ∴∠CAE=∠C， ∴DEBC． 4.如图，已知，，，求证：ab． 【答案】见解析 【详解】证明：如下图： ， 又， ， ． 5.已知：，，求证：． 【答案】证明：，， ，， ，， ． 6.如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC． 【答案】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAD＝20°，∠B＝70°， ∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°， ∴ADBC． 板块三：平行线的判定与性质的运用（书写过程） 1.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知） ∴∠1＝∠2（ 　 　）； ∴AC∥BD（ 　 　）； 又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知）， ∴　 　（垂直的定义）； ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ 　 　）； 即∠　 　＝∠　 　； ∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）． 【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EAC＝∠FBD＝90°；等式的性质；EAB；FBM；AE；BF． 2.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 【答案】已知；同角的补角相等；∠1；等量代换；内错角相等，两直线平行． 3.完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 4.请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：AB∥CD． 证明：∵MP平分∠NMQ， ∴∠NMP＝∠PMQ（ 　） ∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ， ∴∠AMN+　 　＝　 　+∠PMQ． ∵∠AMB＝180°， ∴∠AMP＝90°， ∵MP⊥直线CD， ∴∠MPD＝90°（　 　）． ∴AB∥CD（　 　） 【答案】角平分线的定义；∠NMP，∠BMQ；垂直的定义；内错角相等，两直线平行． 5.如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 板块四：平行线的判定与性质的运用（计算与证明） 1.如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2． (1)求证：； (2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠ADG＝40° （2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解． （1） 证明：∵， ∴∠1＝∠DBC． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠DBC， ∴． （2） ∵EF⊥AC， ∴∠CEF＝90°． ∵∠2＝∠1＝50°， ∴∠C＝90°－50°＝40°． ∵， ∴∠ADG＝∠C＝40°． 2.已知：如图，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2)∠C= （1） 证明：， ∴， FGB， ， ， ∴； （2） 解：由（1）得，， ， ， ∴= ， ． 3.如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且． (1)求证：； (2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，说明见详解 （1） 证明：∵，， ∴， ∴． （2） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴， ∴． 4.如图，已知，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行； （2）证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 板块五：平行线的判定与性质综合（角度之间的关系） 1.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． （1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？ （2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【答案】解：（1）①∠C+∠D＝∠DEC； ②∠C+∠D+∠DEC＝360°； ③∠DEC＝∠C﹣∠D； ④∠DEC＝∠D﹣∠C； （2）选图③，过点E作EF∥AD，如图： ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥BC， ∴∠C＝∠CEF，∠D＝∠DEF， 又∵∠DEC＝∠CEF﹣∠DEF， ∴∠DEC＝∠C﹣∠D． 2.如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间： (1)图甲中，容易求得，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系； (2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明； (3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系． 【答案】(1)∠1＋∠2＝270° (2)∠2－∠1＝90°；见解析 (3)∠1＝∠2＋90° （1） 如图，过三角板的直角顶点作的平行线，得 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴． （2） 如图，过三角板的直角顶点作的平行线，得 ∴， 又∵ ∴ ∴． （3） 如图，过点作的平行线，得 ∴ ∴ ∴． 3.如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余． (1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明． (2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系． 【答案】(1)∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由见解析 (2)∠BMC=∠DCM-∠ABM或∠BMC=∠ABM-∠DCM． （1） 解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下： 如图，过M作MFAB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF， 又∵ABCD， ∴MFCD， ∴∠DCM=∠FMC， ∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC； （2） 解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM； 过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF， 又∵ABCD， ∴MFCD， ∴∠DCM=∠FMC， ∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM； 当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM． 过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF， 又∵ABCD， ∴MFCD， ∴∠DCM=∠FMC， ∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM． 4．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）如图①所示：过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）猜想： 如图①所示：过点P作 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ； （3）①当点P在延长线上时，有．理由如下： 过点P作， ， ②当点P在延长线上时，有．理由如下：   过点P作， ， ，， ∴综上所述：当点P不在线段DC上时， 或． 板块六：平行线的判定与性质综合（三角形旋转问题） 1．【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：    【问题解决】 (1)①若，则的度数为______度； ②若，则的度数为______度； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)存在，的度数为：或，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意，中，，中，，， ①若时，， ∴， 故答案为：； ②若时，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴； （3）解：存在，的度数为：或，理由如下， 如图所示，当时，    ∵， ∴； 如图所示，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时，    ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意； 如图所示，点在直线的下方，均不符合题意；    综上所述， 的度数的变化，存在三角板的一边是否能与三角板的一边平行，的度数为：或； 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中． (1)填空：与的数量关系_______；理由是_______； (2)直接写出与的数量关系_______； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，图见解析，的度数为或或或 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：由题意知，，， ∴， 故答案为：； （3）①解：当时，如图1，作， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②解：由题意知，分，，，四种情况求解； 当时，如图2， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， ∴； 当时，如图4， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴； 综上所述，存在，的度数为或或或． 3．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，   ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为；    ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为；    ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 学科网（北京）股份有限公司 $