（暑假作业）基础与拔高专题：相交线与平行线 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 该专项以“基础巩固+拔高训练”分层设计，系统整合相交线与平行线核心知识，提炼辅助线构造、模型应用等解题方法，强化几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-19题|对顶角识别、平行线性质应用、平移性质|从概念（对顶角、同位角）到性质判定，再到简单应用| |拔高训练|20-22题|猪蹄模型构建、辅助线（作平行线）、角转化推理|以模型为载体，综合平行线性质与判定，培养逻辑推理|

（暑假作业）基础与拔高专题：相交线与平行线-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 基础巩固 1．下列图形中，一定能得出与相等的是（     ） A．B． C． D． 2．下列图形中，是用其图形中的一部分平移得到的是（     ） A． B． C． D． 3．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 4．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（    ） A．右转 B．左转 C．右转 D．左转 7．如图，给出以下结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 9．将一副直角三角板按如图所示摆放，，点在上，，，经测量，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示是一块蹄形磁铁的主视图．下列条件中，能验证磁铁上下面平行（）的是（     ） A． B． C． D． 11．飞机在某高空因任务向左偏转，飞行一段距离完成任务后返回，返回时要回到与原航向平行的轨道上，则需要向右偏转______度． 12．如图，在三角形中，，，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，连接，且，则三角形的周长为______． 13．点A为直线l外一点，点B在直线l上，且，若，则点A到直线l的距离______3．（填“＞”“＜”或“＝”） 14．如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是______． 15．如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，，则的度数为_________． 16．如图，已知中，，10，把沿射线方向平移至，平移距离为4，若，则图中阴影部分的面积为___________． 17．如图，在中，平分，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 18．如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 19．如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 拔高训练 20．已知，点在上方，连接，． (1)如图1，若，，则 °； (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点．若平分，求的值． 21．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 22．在学习了相交线与平行线这一章内容后，我们知道了：如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．因此在某些探究性问题中，通过“构造平行线”可以起到转化角的作用． 已知，，一块三角板中，，，． 初步探究： 如图1，若将三角板的顶点放在直线上，与相交于点，于点．则的度数是多少呢？若过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而可以求得的度数为 (1)请你直接写出： ， ； 类比再探： (2)若将三角板按图2所示方式摆放（与不垂直），请你猜想与的数量关系？并说明理由． 总结应用： (3)请你总结（1）、（2）解决问题的思路，在图2中探究与的数量关系？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C D A B C A B 1．B 【分析】根据对顶角相等的性质及图形特征进行判断． 【详解】解：A．与不一定相等，不合题意； B．与是对顶角，一定相等，符合题意； C．与不一定相等，不合题意； D．与不相等，不合题意． 2．D 【分析】根据平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A． 图形中的两部分方向相反，不能通过平移得到，不符合题意； B． 图形中的四个箭头方向不同，不能通过平移得到，不符合题意； C． 图形中的四个部分方向不同，不能通过平移得到，不符合题意； D． 图形中的四个小正方形方向相同，形状大小一致，是用其图形中的一部分平移得到的，符合题意． 3．D 【详解】解：对于选项A：两直线平行，同位角相等，为真命题，故A不符合题意； 对于选项B：同旁内角互补，两直线平行，为真命题，故B不符合题意； 对于选项C：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，故C不符合题意； 对于选项D：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，原命题缺少两直线平行的前提，为假命题，故D符合题意． 4．C 【分析】利用直尺两边平行得到同位角相等，再结合三角板直角为，通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．D 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ，故该选项错误，不符合题意； D、， ， ， ，故该选项正确，符合题意． 6．A 【分析】设处正北方向为射线，，延长至，根据题意可得即为所求，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，设处正北方向为射线，，延长至， 依题意，，， ∴， ∴ ∴ 即需向右转． 7．B 【详解】解：由图可知，与都在截线（水平线）上方，且在两被截线之间，是同旁内角，故①正确； 与都在截线（水平线）上方，且都在被截线右侧，是同位角，故②正确； 在截线上方，在截线下方，但在被截线外侧，与不是内错角，故③错误； 与没有公共截线，不是同位角，故④错误； 与互为邻补角，不是对顶角，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有2个. 8．C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 9．A 【分析】根据题意可得，则可求出，据此可判断B；再求出的度数，则可得到，，据此可判断A、C、D． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴与不平行，故A结论错误，符合题意； ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意． 10．B 【分析】识别截线与被截直线，利用平行线的判定定理进行判断． 【详解】解： 与 是直线和被直线 所截形成的内错角， ∵， ∴， 故B选项符合题意． 其余选项均无法证明，不合题意． 11． 【分析】画出飞行航向示意图，结合平行线的性质计算偏转角度即可． 【详解】解：如图，与是原定的平行轨道，为飞机偏转后的轨道，则为飞机返航时的轨道， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴飞机需要向右偏转度才能回到与原航向平行的轨道上． 12． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形， ∴，， ∴， ∴三角形的周长为 ． 13．= 【分析】根据定义，直线外一点到已知直线的距离为该点到直线的垂线段的长度，据此即可得到结果. 【详解】解：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 已知点是直线外一点，点在直线上，且， 因此点到直线的距离就是垂线段的长度，即点到直线的距离为 故点到直线的距离 14． 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．/度 【分析】根据网格特点可知与均为竖直方向的网格线，从而，利用两直线平行同旁内角互补，结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知，． (两直线平行，同旁内角互补)． ∵， ， ， ， ． 16． 【分析】根据平移得到，，，根据梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由平移得，，，， ∵， ∴， ∴． 17．(1)证明：∵平分， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先由角平分线的定义得到，然后等量代换得到，即可证明； （2）首先由平行线的性质得到，然后由角平分线的定义求出，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵平分， ， ∵， ∴，， ． 18．(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义以及角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 19．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）先由垂直的定义得到，推导出；再结合互余的条件得到，利用同角的余角相等证得，依据内错角相等，两直线平行证明． （2）根据角平分线定义求出的度数；再利用两直线平行，内错角相等得到，最后通过角的差运算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．(1)31 (2)解：． 理由：如图2，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ， ， ， 即． (3) 【分析】（1）过C点作，根据平行线的性质和角的和差即可得解； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长，交于点，过点作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过C点作， 则，， ∴． （2）略 （3）解：如图3，延长，交于点，过点作， ． ， ． ， ，， ， ． ， ． 平分，平分， ，， ． 由（2），可得， ， 即． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 21．(1)解：与、之间的数量关系为：，理由如下： 如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与、之间的数量关系为：． (2)① ② 【分析】（1）过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质即可得相等，相等， 进一步根据角的和差计算即可得与、之间的数量关系． （2）根据“猪蹄模型”，结合（1）得：等于，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质得，根据角平分线定义求出，等量代换可得，再根据求出，再根据角平分线定义求出，再根据求出，再后根据计算即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， 根据“猪蹄模型”，结合（1）得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． 22．(1)，； (2)解：， 理由如下：如图，过点作，则， ，， ， ， ； (3)解：， 理由如下：如图，过点作，则， ，， ， ， ． ． 【分析】（1）由，，可得，则，根据三角板的度数，得出，再根据平行线的性质，可得； （2）如图，过点作，则，根据平行线的性质可得； （3）过点作，则，进而根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $