10.2二元一次方程组的概念 导学案 2025-2026学年七年级苏科版数学下册

《10.2二元一次方程组的概念》导学案 学科 数学 年级册别 七年级下册 共1课时 教材 苏科版义务教育教科书·数学七年级下册 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 教材分析 本节是在学生已掌握一元一次方程概念及解法的基础上，引入二元一次方程（组）的概念。教材通过具体问题情境，引导学生发现实际问题中存在多个未知量及其数量关系，从而自然过渡到对含有两个未知数的方程的研究。 首先，通过分析“篮球联赛胜负场次”等实际问题，抽象出含有两个未知数的等式，引出二元一次方程的定义，并明确其一般形式ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b不同时为零）。 其次，通过对同一问题中两个等量关系的分析，引导学生认识到需要联立两个二元一次方程才能确定两个未知数的值，从而建立二元一次方程组的概念。 最后，通过判断一组数值是否同时满足方程组中的所有方程，引入二元一次方程组的解的概念，强调其“公共解”的本质。 本节内容是后续学习二元一次方程组解法及应用的基础，对于培养学生的方程思想、建模能力及抽象思维具有重要意义。 课时教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，能准确识别二元一次方程及方程组。 2.能根据实际问题中的数量关系列出二元一次方程或方程组。 3.会检验一组数是否为二元一次方程组的解，初步体会方程组解的含义。 教学重点、难点 重点 1.二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。 2.根据实际问题列出二元一次方程或方程组。 难点 1.理解二元一次方程（组）解的含义，尤其是方程组解的“公共性”。 2.从实际问题中抽象出二元一次方程组模型。 【课前预习·自主探究】 活动一：温故知新 1. 什么是一元一次方程？请写出一个一元一次方程的标准形式：____________。 2. 方程 3x - 5 = 7 的解是 x = ______。什么是一元一次方程的解？_________________________________。 活动二：情境引入，初识二元 问题：某文具店出售A、B两种型号的笔记本，A型号每本售价3元，B型号每本售价5元。小明买了这两种笔记本共4本，一共花了16元。请问小明买了A型号和B型号笔记本各多少本？ 思考： （1）此问题中，有几个未知量？分别是什么？_________________________________ （2）若设小明买了A型号笔记本x本，B型号笔记本y本。 ① “共买了4本”可表示为：_________________ ② “一共花了16元”可表示为：_________________ （3）观察你列出的两个式子，它们与一元一次方程有什么相同点和不同点？ 相同点：_________________________________ 不同点：_________________________________ 活动三：概念辨析 阅读教材相关内容，思考并填空： 1. 含有______个未知数，并且含有未知数的项的次数都是______的整式方程，叫做二元一次方程。 2. 下列方程中，哪些是二元一次方程？是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由。 (1) 3x + 2y = 7 ( ) 理由：_________________ (2) xy = 5 ( ) 理由：_________________ (3) ( ) 理由：_________________ (4) 2x - y + z = 1 ( ) 理由：_________________ 3. 把两个含有相同未知数的_________________方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4. 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的______。 5. 二元一次方程组中各个方程的_________________，叫做这个二元一次方程组的解。 【课堂检测·巩固提升】 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程 (m-2)x│m-1│ + (n+3)yn-2 = 5 是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值。 解： 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二元一次方程 2x - 3y = 6。 (1) 用含x的代数式表示y：y = _________________ (2) 请写出该方程的三组解： ① 当x=0时，y=______； ② 当y=0时，x=______； ③ 当x=3时，y=______。 5.下列各组数中，是方程组 的解的是（ ） A. B. C. D. 1. 若 是关于、的二元一次方程 的一组解，求的值。 【课后拓展·实践应用】 1. 根据下列问题，列出二元一次方程组（不必求解）： (1) 某校七年级共有学生320人，其中男生人数比女生人数的2倍少100人，求男、女生各有多少人？ (2) 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个。如果一个螺栓配两个螺母，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使当天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 1. 已知方程组 的解是 ，求的值。 解： 1. 小明在解关于、的二元一次方程组 时，不小心将墨水滴在作业本上，其中一个方程的系数看不清了，现知道这个方程组的解是 ，请求出被墨水污染的系数（假设是或）。 解： 4. 思考：二元一次方程 3x + 2y = 12 有多少组正整数解？请一一写出。 【参考答案】 【课前预习·自主探究】 活动一： 1. 含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程； ax + b = 0 (a≠0) （形式不唯一） 2. 4；使一元一次方程左右两边相等的未知数的值。 活动二： （1）两个；A型号笔记本的本数和B型号笔记本的本数。 （2）① x + y = 4 ② 3x + 5y = 16 （3）相同点：都是整式方程，未知数的次数都是1。 不同点：所含未知数的个数不同，一元一次方程含一个未知数，列出的式子含两个未知数。 活动三： 1. 两；1 2. (1) √，含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，是整式方程。 (2) ×，含未知数的项xy的次数是2。 (3) ×，不是整式方程（分母含有未知数）。 (4) ×，含有三个未知数。 3. 二元一次 4. 解 5. 公共解 【课堂检测·巩固提升】 1. B 2. 解：由题意得：|m-1|=1 且 m-2≠0，n-2=1 且 n+3≠0 解得：m=0，n=3 3. D 4.(1) （或 ） (2) ① ； ② ； ③ 5.A 6.解：将 代入 得： 所以 【课后拓展·实践应用】 1.(1) 设女生有人，男生有人。 (2) 设分配人生产螺栓，人生产螺母。 2.解：将 代入方程组得： (满足第一个方程) 即 （注：题目中未给出、的其他条件，无法直接求出的值。若原题第一个方程为，则可解得，，。此处按原题意，若仅为，则，的值不确定。请核对题目。） 3.解：假设被污染的是，则将 代入 得：，解得 假设被污染的是，则将 代入 得：，解得 答：被墨水污染的系数是（若污染的是）或（若污染的是）。 4.解：二元一次方程 的正整数解有： 当时，，解得。 所以正整数解为 学科网（北京）股份有限公司 $