平面向量进阶（极化、等和、奔驰与四心、模的几何意义）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量进阶 平面向量进阶 1 【知识梳理1：极化恒等式】 1 【题型演练】 1 【知识梳理2：等和线】 4 【题型演练】 5 【知识梳理3：奔驰定理及四心问题】 7 【题型演练】 8 【知识梳理4：模的几何意义】 10 【题型演练】 10 1 学科网（北京）股份有限公司 平面向量进阶 【知识梳理1：极化恒等式】 极化恒等式： 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 【题型演练】 1．如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知是边长为1的正三角形，为中点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 5．如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为__________.    6．如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是________． 7．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 8．在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【知识梳理2：等和线】 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时， 则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由P, C, D三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线，设点P在上的射影为，直线交直线AB于点P1，则 (k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出|的范围便知的范围 【题型演练】 1．如图，在矩形中，为的中点，为的中点.若，则_____    2．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    3．如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． B． 4．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 6． 已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 7． 若点在以为圆心、6为半径的上，所对的圆心角为120°，且，则的取值范围为________． 【知识梳理3：奔驰定理及四心问题】 知识点1：奔驰定理 点O是△ABC所在平面上不与A,B,C重合的一点， 若 则， 即，反之亦然. 知识点2：四心问题 1） 重心：△ABC的重心G是三条中线的交点 1 2 = 3 4 若则 5 所在线为中线 2） 内心：△ABC的内心O是三条内角角平分线的交点 1 三角形内切圆得圆心 2 所在线为角A平分线 3 O是△ABC的内心 4 O是△ABC的内心 3） 外心:△ABC的外心是三条边的垂直平分线（中垂线）的交点 1 △ABC外接圆圆心 2 O是△ABC的外心OA=OB=OC 3 O是△ABC的外心+ ④ O是△ABC的外心 4） 垂心：△ABC的垂心是三条边的高的交点 1 H是△ABC的垂心 2 H是△ABC的垂心 3 H是非直角△ABC的垂心 4 + 所在线为高线 【题型演练】 1．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 4．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 5．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 6．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 7．（多选）如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 【知识梳理4：模的几何意义】 知识点1：模的性质及应用 性质1：对于平面向量，当且仅当时等号成立 性质2：对于任意的平面向量，有|，当且仅当时等号成立 知识点2：向量模的几何意义 模型一：若向量不共线，则，的几何意义为为邻边的平行四边形的两条对角线的长 模型二：形如| 模型三：形如|=1的形式，联想到单位圆 模型四：形如的形式，联想到投影向量和该向量重合 模型五：形如的形式，联想到垂直，轨迹为圆 【题型演练】 1．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 3．在平面内，三个非零向量，，两两的夹角相等，且，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 5． 已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 6．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． $ 平面向量进阶 平面向量进阶 1 【知识梳理1：极化恒等式】 1 【题型演练】 1 【知识梳理2：等和线】 8 【题型演练】 9 【知识梳理3：奔驰定理及四心问题】 15 【题型演练】 16 【知识梳理4：模的几何意义】 24 【题型演练】 25 1 学科网（北京）股份有限公司 平面向量进阶 【知识梳理1：极化恒等式】 极化恒等式： 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 【题型演练】 1．如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 2．已知是边长为1的正三角形，为中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算和向量的数量积运算，先将用已知条件的向量表示出来，然后计算向量的数量积. 【详解】由为中点，为正三角形，所以，如图所示： 由图可知， 所以. 因为边长，所以根据勾股定理可得. 所以. 故选：D. 3．（多选）如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，取定平面的一个基底，再利用向量运算逐项求解判断. 【详解】在边长为1的正方形中，令，， 对于A，，A正确； 对于BD，，， ，， 因此，B D正确； 对于C，，，C错误； 故选：ABD 4．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】. 故选：. 5．如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为__________.    【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ， ，则，设， 则（其中）， ， ，    所以，当时，取得最小值，当时取得最大值21. 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 【详解】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 7．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 8．在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【详解】（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 【知识梳理2：等和线】 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时， 则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由P, C, D三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线，设点P在上的射影为，直线交直线AB于点P1，则 (k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出|的范围便知的范围 【题型演练】 1．如图，在矩形中，为的中点，为的中点.若，则_____    【答案】/ 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，结合，求得的值，即可求解. 【详解】在矩形中，为的中点，为的中点， 由向量的线性运算法则，可得， 因为，所以，所以. 故答案为：. 2．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____.    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 3．如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平面向量基本定理和平行向量的知识可解出． 【详解】分别为的中点，， ， 而①，②， 联立①②得，. 故选：B. 4．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 5．（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【答案】ACD 【分析】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，进而可得，据此得到的最值并判断AB；由数量积得坐标运算及恒等变形可得，，再求取值范围即可． 【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则， 其中，，． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点， 当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误， ，， 所以， ． 因为，所以，故， 因此，所以的取值范围为，故C正确， 因为， 因为，所以，故， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD． 6．已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心， 因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则， 所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 7．若点在以为圆心、6为半径的上，所对的圆心角为120°，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】易知.如图，在线段上取点，使，分别在上取点，使，，则.由知点在线段上．由余弦定理及等面积法可得的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】 由题意可知，，所以. 如图，在直线上取点，使， 因，则. 分别在上取点，使，， 则.且 由，知点在线段上（含端点，）． 由于在中，，， 由余弦定理，得. 所以. 过点作，垂足为. 由，得. 因点在线段上（含端点，），则，即． 再由，可知. 故答案为：. 【知识梳理3：奔驰定理及四心问题】 知识点1：奔驰定理 点O是△ABC所在平面上不与A,B,C重合的一点， 若 则， 即，反之亦然. 知识点2：四心问题 1） 重心：△ABC的重心G是三条中线的交点 1 2 = 3 4 若则 5 所在线为中线 2） 内心：△ABC的内心O是三条内角角平分线的交点 1 三角形内切圆得圆心 2 所在线为角A平分线 3 O是△ABC的内心 4 O是△ABC的内心 3） 外心:△ABC的外心是三条边的垂直平分线（中垂线）的交点 1 △ABC外接圆圆心 2 O是△ABC的外心OA=OB=OC 3 O是△ABC的外心+ ④ O是△ABC的外心 4） 垂心：△ABC的垂心是三条边的高的交点 1 H是△ABC的垂心 2 H是△ABC的垂心 3 H是非直角△ABC的垂心 4 + 所在线为高线 【题型演练】 1．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 2．已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 3．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 4．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 5．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 6．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 7．（多选）如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 【答案】ABC 【分析】根据直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D. 【详解】设中点为，连接， 以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系， 则，，设，，，，且， 所以，，因为，所以， 即，故，即， 所以，，， 因为， 所以，即， 因为，故，A正确； 因为，所以，即， 所以三点共线，且为靠近的三等分点， 所以 ， 当且仅当，即时取等，故B正确； 因为， 所以， 当且仅当，即时取等，故，C正确； 因为， 所以， 因为且，所以， 记，由函数和在上递增， 可知在上单调递增，没有最值，即没有最值，故D错误. 故选：ABC 【知识梳理4：模的几何意义】 知识点1：模的性质及应用 性质1：对于平面向量，当且仅当时等号成立 性质2：对于任意的平面向量，有|，当且仅当时等号成立 知识点2：向量模的几何意义 模型一：若向量不共线，则，的几何意义为为邻边的平行四边形的两条对角线的长 模型二：形如| 模型三：形如|=1的形式，联想到单位圆 模型四：形如的形式，联想到投影向量和该向量重合 模型五：形如的形式，联想到垂直，轨迹为圆 【题型演练】 1．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】 ∵||＝||＝1，且， ∴可设，，． ∴． ∵， ∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1． ∴的最大值． 故选C． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 2．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0， 因为 则， 若夹角为，， 则． 故选：D． 3．在平面内，三个非零向量，，两两的夹角相等，且，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，按夹角大小分类，利用平面向量数量积定义以及运算律列式求解. 【详解】依题意，平面向量两两夹角可以为或， 当向量两两夹角为时，，解得，不符合题意； 当向量两两夹角为时，， 则， 因此，解得或（舍去）. 故选：C 4．已知向量，，满足，且，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，求出终点的轨迹，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】由，得，而，则， 在平面直角坐标系中，令，设， 由，得，即， 则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，则点的轨迹为直线， 所以的最小值为. 故选：D 5．已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 【答案】4 【分析】作，，，与的夹角为，不妨设，利用两角差的正切公式得，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图，作，，，与的夹角为，不妨设， 则 ， 当时，最大，即最大，此时． 故答案为：4. 6．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. $