精品解析：广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三下学期寒假学习质量检测数学试题

东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年 高三寒假学习质量检测高三数学 命题人：宗克志 审题人：周郡 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前项和为.若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以 为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 5. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 23 B. 27 C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 8. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知关于 的经验回归方程为，且，则 C. 一组样本数据，，…，（），其中是最小值，是最大值，则，，…，的75%分位数一定与，…，的75%分位数不同 D. 若事件，满足，则与独立 11. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M， ，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. △ABD的面积的最大值为 C. 若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D. BD的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________. 13. 有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束．则最后只剩红球的概率为___________． 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 16. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和. 17. 如图，三棱柱中，平面平面，，， 为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求直线 与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 设分别是椭圆的左、右焦点，已知椭圆的长轴为，是椭圆上一动点，的最大值为1． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于 两点， 为椭圆上一点， 为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围． （3）如图，直线 为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年 高三寒假学习质量检测高三数学 命题人：宗克志 审题人：周郡 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合 ，按交集的定义求解即可. 【详解】因为, 或 ， 所以或 = . 故选：C. 2. 设等差数列的前项和为.若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，进而结合题意列出关于的方程解得，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 所以，即，解得， 所以 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以 为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系求出，根据两角和的正弦公式求解. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 又由题意可知， 所以， 故选：C. 4. 已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求得，根据平面向量数量积坐标运算计算即可. 【详解】复数 ，则， 所以， 故. 故选：B 5. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件推得函数的对称性和周期性，并利用函数的这些性质可推得C项正确，根据条件无法确定其它选项正误. 【详解】由可知函数的一条对称轴为直线， 由，可知函数的一个对称中心为，故函数的一个周期为. 对于，取，可得，解得， 又由，取，可得，故C正确. 由函数的周期性和对称性，可得，根据题设条件无法推得其它三个选项的正误. 故选：C. 6. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 23 B. 27 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两根，再根据韦达定理以及换底公式化简求出. 【详解】可化为， 因为，是方程的两个根， 所以是方程的两根， 则， 则. 故选：C 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率. 【详解】已知椭圆 的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为. 故选：D 8. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，结合导数的几何意义及判断出的大小关系，求出并判断出正负值，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】， . 因为，所以 因为，所以，即. 所以或. 不妨取， ，， 所以，，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理逐项判定即可. 【详解】对于A，因为 分别是的中点，所以. 因为在正方体中，，所以. 因为，所以，A正确； 对于B，因为分别是的中点，所以. 而平面，所以与平面相交，不平行，B错误； 对于C，因为，所以. 因为 平面，不在平面内，所以 平面. 因为，所以， 因为平面， 不在平面内，所以平面. 又平面，所以平面平面，C正确； 如果平面，而平面，所以， 则根据勾股定理有. 设正方体的棱长为1，则在直角三角形中，， 所以，而，. 很显然不成立，所以不成立，所以D错误. 故选：AC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知关于的经验回归方程为，且，则 C. 一组样本数据，，…，（），其中是最小值，是最大值，则，，…，的75%分位数一定与，…，的75%分位数不同 D. 若事件，满足，则与独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解A, 将样本中心代入回归方程即可求解B, 根据百分位数的计算即可求解C,根据相互独立的性质即可求解D. 【详解】对于A，由于，，则，故A错误， 对于B，将代入可得，故 ，B正确； 对于C，将原来17个数从小到大排列，， 则17个数的75%分位数为17个数中的第13个数， 去掉其中最大和最小两个数据后，， 故剩下的15个数据的75%分位数为15个数中的第12个数字，也是17个数中的第13个数，故两者可能相等，C错误， 对于D，，所以相互独立，因此 也相互独立，D正确， 故选：BD. 11. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M， ，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. △ABD的面积的最大值为 C. 若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 D. BD的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得 ，再由求最小值判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，△ABC为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，所以 ，当且仅当时取等号， 由于， 所以的面积的最大值为，故选项B错误； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故，选项C正确； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以 的最小值为，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项展开式通项，结合的系数求解即可. 【详解】展开式的通项公式， 令 ，得，依题意有，解得. 故答案为：1 13. 有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时结束．则最后只剩红球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】最后一个球规定为红球，只需考虑剩余个红球在前个位置的放法种数即可. 【详解】在个红球，个白球中，个红球的放法有种，即基本事件总数为， 由于最后一个是红球，那么在前 个球中有个白球，个红球，其中个红球的放法有种， 故所求概率． 故答案为：. 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可． 【详解】法1：由题意得， 令，则， 所以当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当，时，取得最小值2. 综上所述，的最小值为2. 法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和. 作于，， 令，则， 令 ，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 故的最小值为2． 故答案为： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 16. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）在第一问基础上得到，，，根据求出，，求出等差数列的公差，及通项公式，从而求出. 【小问1详解】 由，得： 当时，， 当时， 符合上式， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.故 ，； 【小问2详解】 因为，， ∴， 又∵，其中是中的最小元素， ∴， ∵的公差是3的倍数， ∴. 又∵， ∴， 解得：，所以， 设等差数列的公差为d， 则， 所以， 所以的通项公式为. 因此数列的前n项和. 17. 如图，三棱柱中，平面平面，，，为 的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接与交于点，连接， 三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点， 又为 的中点，所以， 又因为平面， 平面， 所以平面. （2）因为，所以， 又因为，， 所以， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面 ， 所以平面， 又因为，所以平面， 又 平面，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据平面平面和得到平面，从而得到平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； （3）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，，得， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由： 由于，所以与的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点. 不妨设的两个零点为，，的两个零点为，， 则有， 因为，得，① 所以，② 又 ，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况： （1）当时，即，，，成等差数列，则有，③ 由②③得， 代入①得，，④ 又，⑤ 将④代入⑤式可得， 由等差数列性质及，可得，从而有， 可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在； （2）当时，即，，，成等差数列，则，③ 由②③得，同理得，，④ 又，⑥ 将④代入⑥式可得， 代入③可得，解得，， 这与④矛盾，故实数不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得答案； （2）求导，判断的单调性，求出极值，列式运算得解； （3）由，得与的零点个数相同，所以与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可. 【小问1详解】 由， 当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，. 故有两个零点，即，. 【小问3详解】 略 19. 设分别是椭圆的左、右焦点，已知椭圆的长轴为，是椭圆上一动点，的最大值为1． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于 两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围． （3）如图，直线 为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由长轴长求出，根据向量数量积表示出，结合椭圆方程求最值，进而求出，即可得到椭圆方程. （2）设出直线方程 及，坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得到，，由向量关系得到点坐标，代入椭圆方程得到与的关系，再根据弦长公式求解即可. （3）设出公切线方程，分别于椭圆、抛物线方程联立，利用求出，坐标，进而求出；求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，利用点到直线公式求出点到公切线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式及函数单调性求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，所以. 设，，，则，， 所以. 因为在椭圆上，所以，即， 则，又，所以， 所以当 时，取得最大值，即， 所以，. 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 设直线的方程为 ，，，. 联立，整理得. ，所以，则，. 因为，所以， 所以. 又点在椭圆上，所以，整理得. 因为，则，所以. 又，因此. 由弦长公式得 令，则， 所以. 因为，所以. 因为在上单调递减，所以， 所以. 故的取值范围为. 【小问3详解】 设，，直线 的方程为 ，不妨取， . 联立，整理得①， 则，即. 代入①中得，，即，解得，即. 联立，整理得②， 则，即. 代入②中得，，即，解得，即. 所以. 又，所以，所以直线：. 联立，整理得，所以，. 所以点到直线 的距离为 ， 所以 令，则，当且仅当，即时，等号成立， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 根据椭圆和抛物线的对称性可知，当， 时，的最小值也是. 综上，的最小值也是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $