重难点11 三角函数恒成立与存在性问题 训练-2025-2026学年高一数学下学期沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点11 三角函数恒成立与存在性问题 与不等式恒成立问题有关的结论 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 题型一、恒成立问题--分类讨论法 1.已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上，m的取值范围是. 2．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可得，即，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）因为，所以，则， 令， 设，函数图象开口向上，恒过定点. 由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知， 只需， 解得，故的取值范围为. 题型二、恒成立问题--参变分离法 3．已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得， 解得 所以 ， 由，得， 所以的单调递减区间为 （2）由（1）可知 因为，所以 所以 所以 当，即时，取得最小值 因为恒成立等价于，所以 所以实数的取值范围是 4.已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再由正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）求出的取值范围，由参变量分离法可得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为， 因为，则，由可得， 所以，函数的严格减区间为. （2）解：由（1）可知，，则， 所以，，即， 所以，， 由可得， 所以，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 5. 已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式易得周期，将看成整体角，利用正弦函数的增区间即得其单调增区间； （2）将不等式变形为，利用正弦型函数的图象求得在上的值域，列出不等式组解之即得. 【解析】（1）函数的最小正周期为, 由，解得，， 故函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由可得，即（*）， 因，设，当时，， 而在上递增，在上递减，故，则， 要使（*）式恒成立，需使，解得.故实数的取值范围是. 6.已知. （1）试将表示成的形式. （2）当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. （3）对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【小问1详解】 由二倍角公式及辅助角公式可得 . 【小问2详解】 由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 7.已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】求含cosx的函数的单调性、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． （2）恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 题型三、转化为最值问题 8.已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【解析】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 9．已知函数． (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表： 0 2 0 0 (2)求与的交点坐标； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)，. (3) 【详解】（1）解：根据三角函数的五点作图法，可得： 0 0 2 0 0 （2）解：令，即， 可得或， 解得或， 所以与函数的交点坐标为，. （3）解：因为，可得，所以， 当时，即时，； 当时，即时，， 对任意都有成立，即， 所以，所以实数的取值范围为. 10.已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）根据三角函数的周期性、对称性等知识求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）利用分离常数法，结合正弦函数的值域、函数的单调性等知识来求得的取值范围. 【解答过程】（1）由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得，则； 令，则： 故的单调递增区间为：. （2）由， 因为，可得， 所以，即， 又由，方程有解， 即方程有解，即有解， 令，即有解， 令在上为单调递增函数， 则,所以， 即实数的取值范围为. 题型四、存在性问题 11.已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据和的值域以及恒成立、存在性等知识求得的取值范围. 【解析】， 所以. 的开口向下，对称轴为， 所以在区间上单调递增，， 所以， 由于任意，存在，使得， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为： 12.已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 题型五、转化为值域的包含关系 13.已知函数，. （1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域； （2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为；值域为；（2）. 【分析】 （1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域； （2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可. 【详解】 （1）当时，的图像如图示， ∴的单调递减区间为；值域为 （2），由知：， ∵上递减；上递增； ∴在上单增，在上单减， ∴在上的值域为，记B= 设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需. 对于： 当时，在上单增，有， 此时，只需，解得：. 当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为， 此时，只需，解得：； 当时，在上单减，有， 此时，只需，无解. 综上：. ∴实数t的取值范围为 14.已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出； （2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值； （3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果. 【解析】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 15.已知函数 (1)求f(x)的定义域； (2)若，求f(x)的值域; (3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答. （2）求出函数在上的值域，再结合对数函数单调性求解作答. （3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答. 【解析】（1）函数有意义，有，即，解得， 所以函数f(x)的定义域为. （2）当时，，则，，， 所以f(x)的值域是. （3）由（2）知，，，函数图象对称轴， 而，当，即时，显然， 因为任意，总存在唯一的，使得成立， 则必有，解得或，显然无解， 当，即或时，函数在上单调递减，， 因为任意，总存在唯一的，使得成立，则， 于是得，解得或，满足或，因此或， 所以a的取值范围是. 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集 ． 题型七、其他恒成立问题 16.已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【解析】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 17.已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域； （2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值； （3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与． 【解析】（1）由题意， 在中，， 在中， ， 当时，， ∴的值域为：. （2）由题意及（1）得， 在中， ①当即， ， 函数在定义域上单调递减 ，， ②当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ③当即时，， 函数在上单调递增， ，， ④当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ∴函数是周期为的周期函数，图像如下： 在中， 存在，对任意，有恒成立， ∴ ∴当最小时，由图像可知，， （3）由题意，， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， 设，， ∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点， ∵在周期内，与有1~2个交点， ∴在上有1~4个交点， ∴若在内恰有2022个零点，则， 在中， 当即或，此时有1个交点， ①当函数有两个零点时， 若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点， ，解得：， ∴当有2022个交点时，， 若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， ②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， 综上： 当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性. 1.若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】令，将原问题转化为在上恒成立，研究最大值即可． 【详解】令，则原问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， ， 即在上恒成立， 令，易知在单调递减， 所以，， 所以， 故答案为：. 2.若不等式在恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 所以， 于是有，因为，所以，要想 在时恒成立，一定有. 故选：D 3.已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求解； （2）利用的图象与性质，直接求出的单调区间，再结合条件，即可求解； （3）根据条件，得在内恒成立，构造函数，，求出的最大值，即可求解. 【解答过程】（1）由，又，解得. （2）由（1）知， 由，，解得，， 当时，得，又，所以， 当时，得，又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和 （3）因为不等式在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，， 则，当时，， 则，， 故m的取值范围为. 4.已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【解析】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 5.已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【解答过程】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 6.已知函数 （1）求函数的最小正周期 （2）当时，求函数的最大值和最小值 （3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 则最小正周期为. 【小问2详解】 ； 则函数的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 ， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 7. 设 （1）求的最小正周期； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1） 利用两角和的余弦公式和两角和的正弦公式的逆用，将的解析式化简，即可求解； （2）将题目转化为在上恒成立，只需求出在上的最大值即可求解； （3）将函数在上有两个零点转化为直线与曲线有两个交点，再数形结合即可求解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 在上恒成立，在上恒成立， 即在上恒成立， ，，， ，实数的取值范围是； 【小问3详解】 函数在上有两个零点， 令，，则， 即，即直线与曲线有两个交点， ，，， 结合正弦函数的图象可得， 实数的取值范围是. 8.已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【解析】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 9.已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【解析】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 10．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或; (2); (3) 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【解析】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点11 三角函数恒成立与存在性问题 与不等式恒成立问题有关的结论 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 题型一、恒成立问题--分类讨论法 1.已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 2．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型二、恒成立问题--参变分离法 3．已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 4.已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 5. 6. 已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 6.已知. （1）试将表示成的形式. （2）当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. （3）对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 7.已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 题型三、转化为最值问题 8.已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 9．已知函数． (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表： 0 2 0 0 (2)求与的交点坐标； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 10.已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 题型四、存在性问题 11.已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ． 12.已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 题型五、转化为值域的包含关系 13.已知函数，. （1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域； （2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围. 14.已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 15.已知函数 (1)求f(x)的定义域； (2)若，求f(x)的值域; (3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 题型六、其他恒成立问题 16.已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 17.已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 1.若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是 . 2.若不等式在恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3.已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 4.已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 5.已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 6.已知函数 （1）求函数的最小正周期 （2）当时，求函数的最大值和最小值 （3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 7. 设 （1）求的最小正周期； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 8.已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 9.已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 10．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $