重难点02 三角变换的八大技法讲义-2025-2026学年高一数学下学期沪教版第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02」 三角变换的八大技法 题型01：配凑角 题型02：升（降）幂公式 题型03：辅助角公式 题型04：半角公式 三角变换的八种技法 题型05：万能公式 题型06：三倍角公式 题型07：正余弦平方差公式 题型08：积化和差、和差化积 知识梳理 1.拼凑思想 2. =B-(B-） 2 a--lc+B)+(@-B)] B-z[(@+B)-(@-B)] 2.升降幂公式 升幂公式：cos2a=1-2sin2a,cos2a=2cos2a-1 降幂公式：sin2a=-cos2a,cos'a=1+cos2a 2 2 3辅助角公式 y=asinx+bcosx.(a>0)→y=a2+bsin(x+p）.其中iang-名oe(27 b ππ a 4.半角公式 sin a2=+1-cos a2),cosa2=+1+cos a2),tana2=+1-cos a1+cos a)=sin a1+cos a= 1-cos asin a. 5.万能公式 1/26 2tan 1-tan2x 2tan sinx=- 2 coSx=- tanx=- 2 1+tan2 1+tan2x 1-tan2 6积化和差、和差化积 sina+sin B=2sinc a-B -cos- 2 -sin a-B sina-sin B=2coss 2 2 cosa +cosB=2cosB a-B -cos 2 2 cosa-cosB=2sin+Bsina-B 2 2sin Acos B=sin(A+B)+sin(A-B) 2cos Acos B=cos(A+B)+cos(A-B) 2sin Asin B cos(A-B)-cos(A+B) 7三倍角公式 sin3a=3sina-4sin a cos3a=-3cost十4cos3a tan3&=tana tana=tanatan(号-a)tan(胥+a) 1-3tana 8.正余弦平方差公式 正弦平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B) 余弦平方差公式：cos2A-sin2B=cos(A+B)cos(A-B) 典型解析 题型01：配凑角 【方法点拨】拼凑思想的核心是观察目标，通过对已知式进行灵活的代数或三角恒等变形，将其“拼凑"成与 目标一致或更易求解的形式，是实现高效化简与转化的关键策略。 a-2.4 a=B-(B-) 2 a=【(a+B)+(a-B)】 1 ππ B=2Ia+B)-(a-B刃 (4 【例1】 1 3 的值为 c0s80°cos10 【解析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值 2/26 【详解】 -1-V5-cos10-5sin102sin(30-10）=2sin20=4 3 1 cos80°cosl0°sinl0° cos10°sin10°cos10°sin10°cos10 2 sin 20 【倒2】已知a-号.则sn行+2a 【份析】根提二倍角正弦公式、诱导公式得到s如（行+2如 2sin(-)cos) 再弦化切，即可得解 sin'(a-)+cos'(a-) 3 【详解】sin +2a=2sin爱+aco+a）=2sm+a-osr+a- =2cosa-3-sina-= 2sina-coa- 31 sin2a-牙)+cos2a-5》 3 2tan(a-) 3 312 4 tan (d)+1 113 9 【跟踪训练】 1若w号-2=-名则n+骨的值为 【分析】 利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果 【详解】 ow写-20=o2后训-2ms后0-1=名 6)= ..cos 4 snx+孕=cor-6c+=o(-= 3 4 sin(B-a)=o 3 2.若sin2a= 则a+B= 5 10 【分析】 由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解 【详解】 因为a∈ 所以2a∈ 2π 2 因为sin2o= 所以2a∈ 2 即a∈ ππ 5 42 所以cos2u=-V1-sin22a 5 2W5 5 5 3/26 因为a∈ 42 所以B-a∈ 因为sin(p-a)= V10 10 所以cos(B-a)=-V1-sin2(B-a) 10 310 10 10 所以cosB+a=cosB-a+2a）=cosB-a)cos2a-sinB-a)sin2a 302505V2 5厂1052 因为ue[引e[ 「3 5 所以B+a∈ π，2π 所以a+B-牙 3若ow兮-2)=名则s+的为 【得标1号-2=6o网2话-训-2m后-0-1名 6 cos( 6 -4 :smx+孕=cos(+=co-=± 6 4已知ae(号m),sin(a+)=- (1)求sina的值 2)求cos(-2x)的值 管1a唱 ②-5 【解题思路】(1)利用同角三角函数平方关系求cos(cx+零)，由sinc=sin[(c+等)一罩]，利用两角差的 正弦公式即可求解 (2)由(1)得sina,进而求cosa,利用二倍角公式求sin2C,cos2&,最后利用诱导公式和两角和的余弦公式 即可求解 【解答过程】1)由轻<a<π有要<&+牙<警，又sin(&十)=-罗。 所以cos(a+等)=-V-sin2(a+)=- 所以sina=sin[(cx+)-罩]=sin(c+)cos-cos(ax+)sin =-票x号+把×9= 4/26 (2)由(1)有sin= 号.号<a<m,所以cosa=--5in石=-9 5 所以sin2a=2 inco=2x号×(-29)--青cos2a=2cos2a-1=2×看-1=月 所以cos(管+2a)=coco2a-ini2x=9×号-×(-号)=35 所以cos(等-2a)=coslπ-（管+2a)]=-cos(g+2a)=-4 10 题型02：升（降）幂公式 【方法点拨】观察表达式中是否含有sin2a、cos2a 等二次项，或隐含可化为二次项的结构（如 sin4a=(sin2a)月)。利用二倍角公式的变形sin2u=1-c92,cos2a=1+c9s题 2 2 进行幂次转换，以实现简化 表达式、统一角度、求最值或积分等目的。 3 【例3】已知cos2 +a 则sin2a- 4 5 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案 【详解】 cos +a 1+os+2a） 1-sin2a_3,解得：sin2a= 5 2 【跟踪训练】 1.已知sin I-a 1 cos 4 4 3 则sin4a+cosa= 【分析】先由sin +acos π 4-a-3得sin2a= 3 3 再通过降幂公式化简得sin'a+cosa-2-sin22g 2 代入即可求解 2 【详解】由sin(+a)cos( 4 -a)=1 2 得 cosa+V -sin a 所 4 2 ,即(6ima+cosa=号.1+2 sin- 3 1 以sin2a= sin'a+cosa=(-cos2a+(+cos2a:=1+cos'2a=2-sin'2a17 2 2 18 2.已知角α的终边经过点P V15 则2cos20+sina= 4 4 2 【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案 【解析】由三角函数定义得sina= .5 1 4 cosa= 所以2cos20 +sina-1+cosa+sina=1-1515-15 444 π1 3.已知sin 则cos0+ 28+ 2 【份桐由=倍角公式可得29+君引-2o0+1,诱号公式可得co0+sm29+）结 5/26 合条件可求结论 详解1eos20+2os9+6/ 6 且c0s20+ 6 故cos20+ π） .1 =2cos20+ -1= 6 12 31 π 2 故cos2 0+ 12 3 题型03：辅助角公式 【方法点拨】asinx+-bcosx=Va2+b (sinx+ b /=Va2+b2 a VbCOSx b 令C0Sp= a a3+b2 sinp=- +而（或反之，取决于合并为正弦或余弦），则原式√a2+b2sin(x+p)。其 中P角由(a,b)所在象限决定。1.统-函数名：这是化一公式的主要应用。2.确定p角：通常由tanp=昌 及a,b符号共同确定象限，建议用cosp,sinp的值确定。3.注意系数符号：若a<0,提取模长后，需调整 辅助角的取值，确保公式正确。 【例4】已知V3sina+cosa=l,则cos2a+ 【答案】 1-2 π)1 【分标】利用辅助角公式可得smQ+后)2，利用二倍角的余弦公式可求解 【详解】由Bsina+cosa=1,可得22sina+,cosg =1, 乐以na+)号 故答案为： 2 【例5】若对任意实数x都有3sinx-4cosx=5sin(x+p),则角p的终边在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 3 4 【详解】3sinx-4cosx=5 sinx-cosx 5 6/26 5sin(x+o)=5(sinx coso+cosxsin), 3 因为sinp= 0,cos= 0,所以角的终边在第四象限 5 故选：D 【跟踪训练】 1.若sinx+V3cosr=2k-4 则k的取值范围是() k+3 A（3 [1+ B.2+ C.-3,+0 0.u3司 【答案】B 【分析】将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可 【详解】sinx+W5cosx=2k-4 k+3 ,π sinx+3 cosx 2sinx+ ∈[-2,2] 3 2k-4 -2s2-4 ≥-2 {4k+220 2→ k+3 k+3 k+3 2k-4 ≤2 -10 ≤0 k+3 k+3 所以之放选：B 2.已知函数f(x)=sin(x-p)-cosx,其中0<p<π， 满足f(0)=f 则p= 【答案】 【分析】根据f(0)=f 代入计算，化简可得关于4的方程，解方程即可. 【解行分l因为f八=m(x-p-cosx,f0=f(】 所以-mp-1=m写-p)号 3 所以3 co。sinp+sinp+,=0,即V3 2 2cosp+ = 2 所以snp+孕=2 1 又因为0<9<x,所以p骨石即pg 6 故答案为：6 π 7/26 【答案】3 【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得 【解标】sinr+cosx=V2sinx+-3y5 F=s一，故sinx+延=3V10/ 10 10 如+ 3V10 10=3 eos+ V10 10 故答案为：3 题型04：半角公式 【方法点拨】 利用公式sin号-1-2 sina 1-cosa 2 COs29=1+cosa 2 2 tan 一1+c0a sina 进行角度减半或平方 关系的转换。 【例6】若sina=} a∈(0，)， 2 则tanc 2 【答案】5-2V6 【详解】由sina= a∈(0，). 得cosa= 1-(=26 所以tang=1-cosa=5-2V6 2 sina 故答案为：5-2V6 【例7】已知3π<0<4π，求证： V2+2V2+2c0s0=-cos9 111,1 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为3x<0<4x,所以< 2<2π， 3π0 2 <兀 44 0 所以co |1+cos0 2V2 1+c052 C0S-=-1 4 2 0 所以左边 11110 110 1+cos- 0_右边 cos- V22V22 cos- =-C0S 2 V2 2 4 所以等式成立 8/26 【例8】若u∈[0,2π]且 1+cosa 1-cosa d 则aα的取值范围是 2 2 -c0S 【分析 利用半角公式cos 1+cosa =土 =士 1-cosa 化简等式，再利用三角函数值的正负即可得 2 2 和sin2 2 到a的取值范围 【详解】 由半角公式cos =土 1+cosa和sin =土 1-cosa 化简得 2 2 2 a a coS sin 2 2 -cos 2+sin 2 2, 且g∈0，π 2 得 π 所以a∈π，2π 【跟踪训练】 12 1.已知sina= 则sing= cos tan 13 2 2 2 【答案】 313 213 13 13 【分析1先由角的范围得出sin之 ←c0s>0.sm+ccs>0进-步结合公式sin”c0sa13 2 2 213 sin+cos 53即可依次求解 13 【详解】因为a∈ 所以号引 2 2 所以sin& a =1-sina 3 同理sing+cosg=V+sina= 5v13 -Cos sin -CoS- 2 13 2 2 13 3V13 sin- 所以si a3V13 2W13 从而tan 2 =13 3 13 ,cosa 13 2 s2132 cos 2 13 故答案为： 3V132V133 13’13’2 2.若sin0= 3 <0<3r,则an9 5'2 +2cos 【答案】3-10#15-10 5 5 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的关系求出c0s0,再利用半角公式求出c0号，s血】从而可求出a?进而可求得答 0 案 【详解】 9/26 因为sin0= 3 5' 5π<θ<3r 2 所以cos0=-1-sin0=-1- 因为亚<8<3玩 2 所以n<93远 422 4 4 所以。6 1+cos0 cos v10 0 1-cos0 3V10 sin 2 10 10 sin 所以an2司=3。 cos 2 所以tan +2cos 0 s3、f0 5 故答案为：3- 5 3.若是签三象限角.且血a+Be引oB-血p-o+例=则m号的值为(） A.-5 B.5 C.-5 13 0.3 I答案】A 【详解】由已知及正弦公式得，s血a=- 13 a是第三象限角，cosa=-12 13 5 a sina ∴.tan 13 =-5 2 1+cosa 12 1+ 13 故选：A A已知a∈(0，) 0+sina0+cosa=4W2+1,则sin2a=(） V(1-sina)(1-cosa) A. 4W2+1 B. 4V2+1 c.42-1 D.42-1 8 16 8 16 【答案】A sina+cosa +1 1 【分析标】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为 cosa-1 1 2—=4√2+1，解得 2+sina 2 sina +cosa =1+ 2 两边平方即可求解 4 10/26 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 三角变换的八大技法 1.拼凑思想 2.升降幂公式 升幂公式：， 降幂公式：， 3.辅助角公式 ，，其中， 4.半角公式 sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝. 5.万能公式 6.积化和差、和差化积 7.三倍角公式 8.正余弦平方差公式 正弦平方差公式: 余弦平方差公式: 题型01：配凑角 【方法点拨】拼凑思想的核心是观察目标，通过对已知式进行灵活的代数或三角恒等变形，将其“拼凑”成与目标一致或更易求解的形式，是实现高效化简与转化的关键策略。 【例1】的值为________ 【例2】已知，则_________ 【跟踪训练】 1.若，则的值为________ 2.若，，且，，则________ 3.若，则的值为________ 4.已知. (1)求的值； (2)求的值. 题型02：升（降）幂公式 【方法点拨】观察表达式中是否含有 、 等二次项，或隐含可化为二次项的结构（如 ）。利用二倍角公式的变形 ， 进行幂次转换，以实现简化表达式、统一角度、求最值或积分等目的。 【例3】已知，则________ 【跟踪训练】 1.已知，则_________ 2.已知角的终边经过点，则________ 3.已知，则＝________ 题型03：辅助角公式 【方法点拨】=。令 ，（或反之，取决于合并为正弦或余弦），则原式 。其中 角由 所在象限决定。1. 统一函数名：这是化一公式的主要应用。2. 确定 角：通常由 及 符号共同确定象限，建议用 的值确定。3. 注意系数符号：若 ，提取模长后，需调整辅助角的取值，确保公式正确。 【例4】已知，则 ． 【例5】若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【跟踪训练】 1.若，则k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2.已知函数，其中，满足，则 ． 3.已知，则 ． 题型04：半角公式 【方法点拨】利用公式 ， ， 进行角度减半或平方关系的转换。 【例6】若，，则 ． 【例7】已知，求证：． 【例8】若且，则的取值范围是________ 【跟踪训练】 1.已知，，则 ， ， . 2．若，，则____________． 3．若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型05：万能公式 【方法点拨】万能公式（亦称万能代换公式）将正弦、余弦、正切函数统一用半角正切 表示，实现了三角函数的“有理化”，在解特定类型方程、求值及积分中优势明显。 引入参数 ，则 ， ， 。将三角问题转化为关于 的代数问题。 【例9】若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 2.已知， ，则 题型06：三倍角公式 【方法点拨】三倍角公式建立了单角三角函数与其三倍角函数之间的直接关系，主要用于高次方程的求解、特定角的化简求值，以及证明某些恒等式。用公式将 、 表示为 、 的三次多项式，实现“降次”（从3倍角降至单角）。升次/因式分解方向：将公式变形为 ，用于处理三次式。 1. 记忆公式：正“正弦”是“3-4”，即 ；余“余弦”是“4-3”，即 。2. 用于解三角方程：如 可化为 ，再求解。3. 求特定值：如求 可利用三倍角正弦公式的变形。 【例10】某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式： ①；② 根据以上研究结论，回答： (1)在①和②中任选一个进行证明： (2)求值：. 【跟踪训练】 1．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如： (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求证：是方程的一个根． 题型07：正余弦平方差公式 【方法点拨】 对于 ，可先化为 或利用诱导公式和平方差处理。 【例11】已知 , 则 ________ 【跟踪训练】 1.函数 是 A. 周期为 的偶函数 B. 周期为 的奇函数 C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的奇函数 2.已知，，则（） A． B． C． D． 题型08：积化和差、和差化积 【方法点拨】积化和差：将两个三角函数的乘积转化为两个三角函数和差的一半，降低乘积次数。和差化积：将两个三角函数的和或差转化为两个三角函数乘积的两倍，便于因式分解或约分。 【例12】证明：． 【例13】已知，求的值． 【例14】化简． 【跟踪训练】 1．等于（    ） A． B． C． D． 2． ． 3．若，则 ． 4．已知，则的值为______ 5．（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 一、填空题 1._________ 2.已知，则的值为_____________． 3.已知，则的值为______ 4.________ 5.已知 则 _______ 6.已知为锐角，，则_________ 7.已知，则_______ 8.已知是第三象限的角，，，则等于_______ 9．已知，且是第一象限的角，则______． 10．已知，则_________ 11.若，，则________ 12.已知，则________ 二、选择题 13.已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 14.若，则（    ） A． B． C． D． 15.已知，则（    ） A． B． C． D． 16.若，，下列判断错误的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 17.已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 18.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3、 解答题 19.已知，，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $