重难点10 三角函数九大综合问题训练-2025-2026学年高一数学下学期沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点10：三角函数九大综合问题 题型01：三角函数的图像变换 1．已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 2.设，函数的最小正周期为，且． 求和的值 在给定坐标系中作出函数在上的图象 若，求的取值范围． 3.已知函数． （1）求的最小正周期及的最小值； （2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图像，求的严格增区间． 4.已知函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式及零点； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 题型02：解不等式 5. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． 求函数的单调递增区间； 设，求不等式的解集． 6.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求 关于x的不等式的解集. 7.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 题型03：三角函数的值域、最值 8．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 10．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值． 题型04： 方程实数根问题 11．（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 12．（2024·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 13.已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 题型05： 零点问题 14．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 15．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 16．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 17．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 题型06：恒成立与存在性问题 18.已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 19．（24-25高一下·闵行期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 题型07：求参数的取值范围 21．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 22.已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上存在最小值，求实数的取值范围. 题型08：三角函数与解三角形综合 23．（2024·上海普陀·二模）设函数，，，它的最小正周期为. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值. 24．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 25．（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 题型09：三角函数新定义问题 26．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 27．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 1.已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 2.已知． (1)求函数在上的严格增区间； (2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值． 3.已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 4.已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 5.函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 6.已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 7.已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 8.将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 9.已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 10. 已知函数，且. （1）求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）； （2）若，求的值域； （3）是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由. 11.已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 12．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 14.已知函数在一个周期内的函数图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象向右平移后得到函数的图象，写出函数的解析式；设函数的最小值为，且，求的值． 15.设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 16．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点10：三角函数九大综合问题 题型01：三角函数的图像变换 1．已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【解题思路】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【解答过程】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 2.设，函数的最小正周期为，且． 求和的值 在给定坐标系中作出函数在上的图象 若，求的取值范围． 【答案】解：函数的最小正周期，． ，且，． 由知，列表如下： 在上的图象如图所示： ，即，， 则，即． 的取值范围是．  【解析】本题考查三角函数的图象与性质，属基础题． 3.已知函数． （1）求的最小正周期及的最小值； （2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图像，求的严格增区间． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，再结合周期公式即可求出最小正周期，结合函数的图象与性质即可求出最小值； （2）先根据平移变换求出的解析式，进而结合函数的单调性，整体代入法解不等式即可求出结果. 【解析】（1）因为 ， 所以的最小正周期； 当时，； （2）由题意可知， 因为在上单调递增， 所以，即， 所以的严格增区间 4.已知函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式及零点； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）由题意先求出，再求出的零点； （2）由图象平移与变换法则得到，再利用整体代入法即可得解. 【解答过程】（1）的图象关于直线对称， ，得， 又，，， 令，即，得， 的零点为. （2）由将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 令，，可得，， 故的单调递减区间为． 题型02：解不等式 5. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． 求函数的单调递增区间； 设，求不等式的解集． 【答案】解：由题意的最小正周期，所以， 因为的图象过点，所以， 又，所以， 所以函数， 令，， 解得，， 所以函数单调递增区间为 因为，所以， 所以，， 解得，， 因为，当时，，当时，， 所以原不等式的解集为或  6.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求 关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，化简，再根据为奇函数求解当时，函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可. 【解析】（1）当时，函数 . 当时，； 当时，， 即； 因为， 所以. 因此； （2）当时，， 因此有在上严格单调递增； 而当时， 因此有在上严格单调递增； 原不等式可化为：； 而是定义在上的严格增函数， 所以； 因此不等式的解集为. 7.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 题型03：三角函数的值域、最值 8．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间； （2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域. 【解析】（1）, 由，可得， 即函数的单调递减区间为. （2）当，，则， 故函数的值域为. 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先用二倍角公式化简，后用周期公式计算即可． （2）由范围，得到范围，再得到范围，最后得到范围即可． 【解析】（1），，则的最小正周期为． （2），则，，． 所以在上的最大值为，最小值为． 10．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案； （2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）． ∴函数的最小正周期为． （2）， ，则． 令，因为，则． 当或，即或时，． 当，即时，． 题型04： 方程实数根问题 11．（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间； （2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围． 【解析】（1）， 则函数的最小正周期； 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 12．（2024·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间； （2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围． 【解析】（1）， 则函数的最小正周期； 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间； （2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解. 【解析】（1） ， 由为奇函数，则， 即，， 又，所以， 又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，， 解得， 则，或， 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； （2）设，则方程可转化为，解得或， 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或或，即方程的解有，，； 若，则，则此时满足，即， 此时 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或，即方程的解有，； 若，由（1）得此时函数在上单调递减， 即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减， 又，且，， 所以在和分别各有一解，在上无解， 且满足与关于对称轴对称， 则， 此时. 13.已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2)． (3) 【分析】（1）先将函数解析式化简整理得到，再由正弦函数的周期性，即可求出结果； （2）根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （3）关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，求出值域，即可得到关于的不等式，求解即可． 【解析】（1）函数 故函数的最小正周期为． （2）令，解得， ∴单调递增区间为． （3）因为， 所以， 所以， 所以的值域为， 关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 所以， 所以， 所以实数的取值范围是． 题型05： 零点问题 14．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 15．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【解析】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    16．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 17．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【解析】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又， 即， 综上所述，． 题型06：恒成立与存在性问题 18.已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上，m的取值范围是. 19．（24-25高一下·闵行期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将题给不等式进行参变分离，再利用换元法和二次函数性质即可求得实数的取值范围； （2）先求得函数的解析式，再依据题给条件求得的值，进而利用三角函数的性质求得实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，对任意时， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由，可得，则， 令，则， 则时，不等式， 即恒成立， 令，则，又在上单调递减， 则，则， 则，解之得 （2）由题意得，， 存在非零常数，对任意，有 即成立， 由， 则，则，解之得， 当时，，则2为的一个周期， 则2为的最小正周期的整数倍，即， 则. 当时，， 即恒成立， 则，即， 综上： 题型07：求参数的取值范围 21．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围. 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）当时，. 若时，， 当时，函数取得最大值，即.     而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得，    ①当时，可得，则有，解得；     ②当时，可得，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，的取值范围为. 22.已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简函数，令，解得函数递减区间； （2）求出函数的对称轴，由（1）可知函数的单调区间，结合对称性得出函数有最小值的条件. 【详解】（1）， ， ， ， 令，则， 即的单调递减区间为：. （2）令，解得， 即是函数的对称轴， 又由（1）可知函数在区间上单调递增， 结合对称性可知当时，， 此时函数在上不存在最小值， 当时，， 在区间上最小值 或者在处取得， 或者在整个函数的最低点处取得， 当时，，即时取得最小值， 所以实数的取值范围. 题型08：三角函数与解三角形综合 23．（2024·上海普陀·二模）设函数，，，它的最小正周期为. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式可求，又函数是偶函数，结合，即可求解的值； （2）由，可得，结合题意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，进而可求的值． 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，且， 所以，即， 则， 又函数是偶函数， 则，， 即，又， 则. （2）由得，， 又，，则，即， 由余弦定理得，， 即，则. 24．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 25．（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【答案】(1)函数的最小正周期为，最大值为 (2) 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【详解】（1）， 故函数的最小正周期为，最大值为. （2）由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 题型09：三角函数新定义问题 26．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【解析】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 27．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 【答案】(1)不是“M函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“函数”的定义，即可判断； （2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解； （3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和. 【解析】（1）的周期为，满足， ，， ，所以函数不是“函数”； （2）若为“M函数”， 满足且， 所以函数的周期为，且函数关于对称， 根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象， 设，， 所以， 根据周期可知，的图象，如上图所示， 线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离， 即， 所以的最小值为. （3）设，则 所以， 设，则， ， 设，则， ， 所以； 所以 作出函数的图象，如图所示， 关于的方程（为常数）有解等价于函数与的图象有交点， 由图可知，当时，方程（为常数）有3个解， 则方程所有的解的和为, 当或时，方程（为常数）有4个解，其方程所有解的和, 当时，方程（为常数）有6个解，其方程所有解的和， 当时，方程（为常数）有8个解，其方程所有解的和 综上所述，当，关于的方程（为常数）所有解的和为， 则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“函数”的定义，确定函数的周期和对称性，利用周期性和对称性求函数的解析式，以及画出函数的图象. 1.已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【解答过程】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 2.已知． (1)求函数在上的严格增区间； (2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变化得到，利用整体法求解出函数的单调递增区间，得到答案； （2）先求出的解析式，得到，由对称性得到，得到的最小值，求出答案. 【解析】（1）， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得：， 故函数在上的严格增区间为； （2）， 的图像关于点对称，故， ， 故，解得：， 因为，所以当时，取得最小值， 故的最小值为. 3.已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图知，，， ，解得， 又过点，即，， ，解得， ，， ； （2）的单调递增区间为， ， 解得， 故的单调递增区间为； （3）函数与的图象关于对称， ， 则函数的最小正周期，且为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 的解集为． 4.已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【解题思路】（1）根据周期公式可求出函数的最小正周期，由可求出函数的减区间； （2）先由求出的范围，然后根据正弦函数的性质可求出其最值. 【解答过程】（1）函数的最小正周期， 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间是. （2）由，得， 则当，即时， 当，即时， ， 所以函数在上的最大值为，此时； 最小值为，此时. 5.函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【解答过程】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 6.已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 【答案】(1)，增区间为； (2)[-1,2]. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间． （2）利用函数的图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围． 【解析】（1）根据函数的图象，可得， ，所以，， 由五点法作图，可得， ，故， 令，求得，Z， 的单调递增区间，Z． （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 7.已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）最小正周期为．令，解不等式即可得单调增区间； （2）令，将题目转化为与在内的图象有两个交点，结合图象可得，即，即可求得答案. 【解答过程】（1）由可得函数的最小正周期为． 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以令，在内的图象如图所示．    令，可得，即， 若函数有两个零点， 则与在内的图象有两个交点， 结合图象可得，即， 所以实数的取值范围为． 8.将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【解析】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 9.已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因为，. 所以在区间上的值域为. （2）令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 10. 已知函数，且. （1）求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）； （2）若，求的值域； （3）是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1），函数的最小正周期为 （2） （3）存在正整数，理由见解析 【小问1详解】 函数， ∵， ∴，解得：， 所以， 因为的周期是都， 又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 若，则， 设，则， 则， 所以， 所以其值域为； 【小问3详解】 存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点． 当时，． 设， 则， 于是， 令，得或， 此时，或或，其中， 当时，． 设，则， 于， 令， 解得或， 故在没有实根． 综上，上有4个零点， 又的最小正周期为，而， 所以函数在有2025个零点． 11.已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求解； （2）利用的图象与性质，直接求出的单调区间，再结合条件，即可求解； （3）根据条件，得在内恒成立，构造函数，，求出的最大值，即可求解. 【解答过程】（1）由，又，解得. （2）由（1）知， 由，，解得，， 当时，得，又，所以， 当时，得，又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和 （3）因为不等式在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，， 则，当时，， 则，， 故m的取值范围为. 12．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或; (2); (3) 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【解析】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 14.已知函数在一个周期内的函数图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象向右平移后得到函数的图象，写出函数的解析式；设函数的最小值为，且，求的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意可知，，又因为函数的最小正周期为， 所以，此时， 由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为. （2）由三角函数图象变换得， 又因为， 令，则，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ①当时，即当时，函数在上单调递增， 此时，不符合题意； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，即， 解得或（舍去）； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，得（舍去）. 综上，. 15.设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 16．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【解析】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 17．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数与具有“m关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案. （2）根据满足的性质，推出其对称性以及周期，可得，再结合正弦函数的性质推出，即说明不存在，使得，即可得结论. 【解析】（1）由题意可知， 故， 则m的取值范围为； （2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 故在上当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有，可知图象关于点对称， 又，即， 故2a为函数的周期， 故， ， 当时，， 时，， 若，，，此时有为最大值； 当时，， 时，， 若，，此时有为最大值， 由于，故， 即不存在，使得， 所以与不具有“4关联”性． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解函数与具有“m关联”性质的定义，明确其含义，继而结合定义去解决问题，特别是第2问的证明，要结合定义说明不存在，使得成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $