2.2.1 向量的加法课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.2.1 向量的加法 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解向量加法的定义，会用向量加法的平行四边形法则和向量加法的三角形法则作两个向量的和向量，体现逻辑推理能力（重点） 2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们求多个向量的和，体现逻辑推理能力（重点） 3.应用向量的运算律解决实际问题（难点） 课程引入 天车是大型生产车间或工地进行起重作业的重要设备.如图，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移，实际位移 可以看作竖直方向的位移 与水平方向 的位移的合成. A C B D 新课学习 A C B D 位移 是以AC,AD为邻边的□ABCD的对角线，位移的合成遵循平行四边形法则. 实际上，力的合成和速度的合成，也与位移的合成一样，都遵循平行四边形法则. 新课学习 向量的平行四边形法则 求两个向量和的运算，称为向量的加法. 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A,作有向线段 ＝a， ＝b，以有向线段 和 为邻边作□ABCD，则有向线段 表示的向量即为向量a与向量b的和，记作a＋b. 这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则. 新课学习 向量的三角形法则 显然，作有向线段 =a，以有向线段 的终点为起点，作有向线段 =b，连接A，C得到有向线段 ，也可以表示向量a与b的和. 这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则. a b a＋b A B C 新课学习 思考一下：若a,b共线，如何求这两个共线向量的和？ 分类讨论： 1.当向量a，b同向时： a b a b a＋b 当两个共线方向相同，则它们的和向量方向与原方向一致，大小为两个向量大小之和. 2.当向量a，b反向时： a b a b a＋b 当两个共线方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与模较大的向量一致，大小为两个向量大小差的绝对值. 新课学习 思考一下：若两个向量互为相反向量，则这两个向量有什么结论？ a -a 设一个向量为a， 则相反向量为-a， a+(-a) 结论：互为相反向量的两个向量的和为零向量，即 a+(-a)=0. 新课学习 例1：如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 作法1:平行四边形法则 在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，以 OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则 ＝a＋b. a b a b O A B C 作法2：三角形法则 在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b. a b O A B 新课学习 思考交流：对任意两个向量a、b，|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|之间具有怎样的大小关系？通过作图进行说明. |a＋b|的作图表示： a b a＋b 当a、b同向时，|a|＋|b|的作图表示： a b a b a＋b 即|a＋b|=|a|＋|b| 新课学习 思考交流：对任意两个向量a、b，|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|之间具有怎样的大小关系？通过作图进行说明. a a b b a+b 结论：|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b同向，等号成立； |a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a，b反向，等号成立. 当a、b反向时，|a|＋|b|的作图表示： 新课学习 例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.（精确到0.1n mile） 设正东方向所在直线为AE，过点B作AE的垂线，垂足为点D.在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝30°， ＝40n mile. 所以 (n mile) 新课学习 例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置. (n mile) 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， (n mile)，由勾股定理得 ≈69.3(n mile) 由 ，得∠CAD＝60°， 因此，此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港约69.3n mile的C处. 新课学习 思考一下：实数的加法运算满足结合律和交换律，即对任意α，β∈R，都有(α＋β)＋γ=α＋(β＋γ)，α＋β＝β＋α，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 向量的加法也满足结合律和交换律，即 (a+b)+c=a+(b+c)， a+b=b+a 先证明向量a，b，c的加法满足结合律.由图可知 (a+b)+c= a+(b+c)= 所以 (a+b)+c=a+(b+c) 新课学习 思考一下：实数的加法运算满足结合律和交换律，即对任意α，β∈R，都有(α＋β)＋γ=α＋(β＋γ)，α＋β＝β＋α，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 再证明向量a，b的加法满足交换律.由图可知 a+b= b+a= 所以 a+b=b+a 新课学习 向量加法的交换律和结合律 1.向量加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 2.向量加法的交换律： a+b=b+a 新课学习 例3：如图，已知向量a，b，c，d，作出a＋b＋c＋d，并说出多个向量求和的方法及依据. a b c d 可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法. 如图，在平面上任取一点A，作 =d，则 方法1： a+b+c+d=[(a＋b)＋c]+d=( +c)+d = +d= 新课学习 例3：如图，已知向量a，b，c，d，作出a＋b＋c＋d，并说出多个向量求和的方法及依据. a b c d 方法2： 如图，在平面上任取一点A'，作 a+b+c+d=(a+d)+(c+b)= 新课学习 多个向量加法的定义 由于向量加法满足结合律与交换律，因此求n个向量α1，α2，…，αn的和可以按以下步骤进行： 任取一点O，依次作有向线段 即为这n个向量之和. 当然，也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和. 课程练习 D 课程练习 课程练习 D 课程练习 D 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.向量加法的定义 2.向量加法的运算律 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $