2.2.1 向量的加法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量加法，涵盖定义、平行四边形法则、三角形法则及运算律，通过位移合成实例导入，衔接向量几何表示，以课前自主预习为基础，为课堂迁移应用搭建学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，结合几何直观与逻辑推理，通过船航行方向、力的合成等实例培养数学眼光与思维，思维建模总结法则应用要点，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

§2 从位移的合成到向量的加减法 2.1 向量的加法 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.向量加法的定义 求____________的运算,称为向量的加法. 2.向量加法的两种法则 平行 四边形法则 已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作▱ABCD,则有向线段______表示的向量即为向量a与b的和,记作_______.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则 两个向量和 a+b 三角形法则 作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示________________.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则 向量a与b的和 续表 平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 |微|点|助|解| 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定 3.向量加法的运算律 结合律 (a+b)+c=___________ 交换律 a+b=__________ a+(b+c) b+a (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立. (2)因为向量的加法满足交换律和结合律,所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). |微|点|助|解| 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量. ( ) (2)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.( ) (3)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同. ( ) √ × × 2.在△ABC中,必有++等于(　　) A.0　　　 B.0 C.任一向量 D.与三角形形状有关 √ 3.在正方形ABCD中,||=1,则|+|=__________. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图甲所示,求作向量a+b; 解:首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图所示. (2)如图乙所示,试用三角形法则作向量a+b+c. 解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c. 　　[变式拓展] 本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作a+b+c. 解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作▱OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作▱ODEC,连接OE,则=+=a+b+c. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合. (3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单. |思|维|建|模| 针对训练 1.已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c. 解:在平面内任取一点O,作=a,=b, =c,如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c. [例2]　如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点, F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,化简下列各式: (1)+; 题型(二)　向量加法及其运算律 解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知: +=+=. (2)+; 解:+=+=. (3)++. 解:++=++=. 　　[变式拓展] 1.在本例条件下,求+. 解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形, 所以+=. 2.在本例图形中求作向量++. 解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G, 则+=,作=,连接DH, 则=++,如图所示. 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. |思|维|建|模| 2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++=(　　) 针对训练 A. B. C. D. 解析:由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=. √ 3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++=__________. 解析:++=++=. 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向. 解:作出图形,如图.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形, 在Rt△ACD中,||=||=v水=10 m/min, ||=|v船|=20 m/min, ∴cos α===. ∴α=60°,从而船与水流方向成120°角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少? 解:由题意可知||=||, 即v实际=v船=×20=10(m/min) =(km/h), 则经过3小时,该船的实际航程是3×=(km). 应用向量解决平面几何问题的基本步骤 |思|维|建|模| 表示 用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题 运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题 还原 根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题 针对训练 4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地, 然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离. 解:如图所示,=+,∠BAC=90°, ||=||=300 km,所以||=300 km. 又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处. 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°, B,C两地间的距离为300 km. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 2 1.某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示 (　　) A.向东南走3 km B.向东北走3 km C.向东南走3 km D.向东北走3 km 解析:由题意和向量的加法,得a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,即向东北走3 km.故选B. √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 2 3 4 2.[多选]对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为的是(　　) A.++ B.++ C.++ D.++ 解析:在A中,++=+=; 在B中,++=+=; 在C中,++=+=; 在D中,++=+=+=. √ √ √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H, 则+=(　　) A. B. C. D. 解析:由题图易知,+=.故选C. √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 4.若非零不共线向量a,b满足|a+b|=|b|,则 (　　) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 解析:|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于a,b是非零不共线向量,所以a+b与b不共线,故等号不成立. √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 5.[多选]设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 解析:因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0,又b是一个非零向量,所以a∥b成立,A正确.a+b=0+b=b,B不正确,C正确.由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,D不正确.故选AC. √ √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 6.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 解析:因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,即|a|2+|b|2= |a+b|2,||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形. √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 7.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是(　　) A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 解析:+=,根据向量加法的平行四边形法则, 如图,则点P在△ABC的外部.故选D. √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 8.作用在同一物体上的两个力|F1|=60 N,|F2|=60 N,当它们的夹角为120°时,则这两个力的合力大小为 (　　) A.30 N B.60 N C.90 N D.120 N 解析:如图,=F1,=F2,∠BAD=120°,作平行四边形ABCD,则=F1+F2,因为=,所以四边形ABCD是菱形.又∠BAD=120°,所以△ABC是等边三角形, ==60 N. √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 9.(5分)化简(+)+(+)+=__________. 解析:原式=(+)+(+)+ =++=+=. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为__________. 4 解析:因为+=,所以++的长度为的模的2倍.又||==2,所以向量++的长度为4. 11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知点G是△ABC的重心,则++=__________. 0 解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点E, 则点E为BC的中点,延长AE到点D,使ED=GE,连接BD,CD,则+=.又+=0, ∴++=0. 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心, 作出下列向量: (1)+;(3分) 解:由图知,四边形OABC为平行四边形, ∴+=. (2)+;(3分) 解:由图知===, ∴+=+=. (3)+.(4分) 解:∵=,∴+=+=0. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:四边形EBFD是平行四边形. 证明:∵=+,=+, 又E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,∴=. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴=,∴=,∴DE∥FB,DE=FB, ∴四边形EBFD是平行四边形. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,已知向量a,b,c,d. (1)求作a+b+c+d.(5分) 解:在平面内任取一点O,作=a, =b,=c,=d, 则=a+b+c+d. (2)设|a|=2,e为单位向量, 试探索|a+e|的最大值.(5分) 解:由向量三角不等式知|a+e|≤|a|+|e|=3, 当且仅当a,e同向时等号成立,故|a+e|的最大值为3. 11 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $