专题4.3.2十字相乘法和分组分解法（一课一练）2025-2026学年浙教版数学七年级下册

2025-2026七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】 专题4.3.2十字相乘法和分组分解法（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意； B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原结果错误，故此选项不符合题意； D、，结果正确，故此选项符合题意： 故选：D． 2．已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴； 故选：D 3．下列各式不是多项式的因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故不是多项式的因式， 故选：D． 4．若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ， ． 故选：B． 5．若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 【答案】B 【详解】解： ， ∵关于x的多项式可因式分解为， ∴， 故选：B． 6．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【详解】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 7．若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：, 因为, 所以, 当时，, 因此的最小值是， 故选：B. 9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴， ∴，即， ∴△ABC是等腰三角形， 故选：C． 10．若，则称x是以10为底N的对数．记作：． 例如：，则；，则． 对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解： 故选：C 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．多项式分解因式的结果为 ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 故答案为：或． 13．若多项式有一个因式为，那么 ． 【答案】2 【详解】解：设另一个因式为， 则， 即， 解得． 故答案为：2． 14．若实数a、b满足，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 答案为：． 15．若，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：1． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【答案】8100 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 17．若，则 ． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 18．我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出 ；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为 ． 【答案】 106 809190 【详解】解： ； 根据定义可知，， ∵一位数一位数， ∴上面两个加法每个数位都没有进位， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数的10倍， ∵后三位以及后两位存在， ∴， ∴m最大取8， ∴最大可以为， 此时，， ∴， ∴． 故答案为：106，809190． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． 20．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2） 当时， 原式 21．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 【答案】(1)110；990 (2)见解析 【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c， 由题意，得， 要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1， b最小是， 此时c最小是0， 所以最小的“和谐数”时110； 最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9， 十位上b最大是9， 此时， 所以最大的“和谐数”是990． 由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990； 故答案为：110；990； （2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c）， 由题意，得， ∴“和谐数”为，则有： ， ∵a，b是整数， ∴是整数， ∴任意“和谐数”一定能被11整除． 22．当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式 ． 23．对于多项式可以直接用公式法分解因式为的形式，但对于多项式就不能直接用公式法了，此时我们可以在多项式中先加上，使其成为完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像上面这样分解因式的方法叫做添项法． (1)利用上述方法分解因式：； (2)求多项式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1) (2)最小值是3 【详解】（1） ； （2）， ∵， ∴当时，多项式有最小值， ∴当时，多项式有最小值，最小值是3． 24．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】 专题4.3.2十字相乘法和分组分解法（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列各式不是多项式的因式的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 6．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 7．若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 8．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10．若，则称x是以10为底N的对数．记作：． 例如：，则；，则． 对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．多项式分解因式的结果为 ． 12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 13．若多项式有一个因式为，那么 ． 14．若实数a、b满足，，则的值是 ． 15．若，则的值为 ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 17．若，则 ． 18．我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出 ；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 20．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 21．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 22．当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 23．对于多项式可以直接用公式法分解因式为的形式，但对于多项式就不能直接用公式法了，此时我们可以在多项式中先加上，使其成为完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像上面这样分解因式的方法叫做添项法． (1)利用上述方法分解因式：； (2)求多项式的最小值，并求出此时的值． 24．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $